初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.5 分式方程精品习题

10.5 分式方程

解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。

2）解整式方程。

3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，

情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；  

情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。

分式的化简求值：

1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0；

2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；

3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。

分式方程解决实际问题的步骤：

1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5） 写答案

【题型一】解分式方程

【典题】（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）解方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)无解

【分析】（1）先去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，最后进行检验即可；

（2）先去分母，去括号，然后移项合并，最后进行检验即可．

【详解】（1）解：，

两边同时乘得，，

去括号得，，

移项合并得，，

系数化为1得，，

经检验，为原分式方程的根，

∴分式方程的解为．

（2）解：，

两边同时乘得，，

去括号得，，

移项合并得，，

检验：当时，，

∴为分式方程的增根，

∴原方程无解．

【点睛】本题考查了解分式方程．掌握解分式方程的步骤，正确的运算并检验是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·江苏盐城·八年级校考期末）解分式方程：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)该分式方程无解

【分析】（1）利用去分母化为整式方程后，解整式方程，再代入最简公分母中检验即可．

（2）利用去分母化为整式方程后，解整式方程，再代入最简公分母中检验即可．

【详解】（1）解：

方程两边同时乘以，得：

，

，

检验：当时，，

∴是该分式方程的解．

（2）解：

方程两边同时乘以，得：

，

，

检验：当时，，

∴不是该分式方程的解．

所以该分式方程无解．

【点睛】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的步骤，即先利用去分母将分式方程化为整式方程，求解后，再检验．

2．（）（2022春·江苏南京·八年级校考期中）（1）                

（2）

【答案】（1）无解；（2）

【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；

（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．

【详解】（1）解：

方程两边同时乘以：，

即，

∴，

解得：，

当时，，

∴是原方程的增根，原方程无解；

（2）解：

方程两边同时乘以：

即，

解得：，

当时，，

∴是原方程的解．

【点睛】本题考查了解分式方程，找到公分母是解题的关键．

3．（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）解方程：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)无解

【分析】(1)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解；

(2)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解．

【详解】（1）解：去分母，得：，

去括号，得：，

解得，

经检验：当时，，

故原方程的解是；

（2）解：去分母，得：，

去括号，得：，

解得，

经检验：当时，，

故是原方程的增根，

所以原方程无解．

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤是解决本题的关键．

【题型二】根据分式方程解的情况求值

【典题】（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知关于的分式方程

(1)若方程的增根为，求的值；

(2)若方程无解，求的值．

【答案】(1)

(2)或或

【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把代入整式方程，即可求解；

（2）根据方程无解可得两种情况：①时，方程无解，②方程有增根，进而即可求解．

【详解】（1）解：方程两边同时乘以，

去分母并整理得，

是分式方程的增根，

，

解得：；

（2）解：由（1）知，当时，该方程无解，此时；

当时，要使原方程无解，

则，

解得：或，

即或 ，

 或，

综上，的值为或 或．

【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，把分式方程化为整式方程，理解分式方程产生增根的原因是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．

【答案】1

【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解．

【详解】解：原方程可化为：，

．

原方程的解为正数，

，

，

，

，

，

，

∴的取值范围为且，

正整数的值为1．

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况．

2．（）（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）若关于x的方程无解，求 m 的值．

【答案】或或

【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．

【详解】解：方程两边同乘以，得：

，

化简得：，

当时，原方程无解，

可能的增根是或，

当时，，

当时，，

当或时，原方程无解，

或或时原方程无解．

【点睛】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．

3．（）（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）已知关于x的方程

(1)当时，求方程的解；

(2)当m取何值时，此方程无解；

(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3)且

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值；

（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．

【详解】（1）解：分式方程去分母得：，

整理得：，

（1）当时，，

解得：，

经检验：是原方程的解；

（2）解：∵分式方程无解，

∴，

∴，

当时，，

∴时该分式方程无解；

（3）解：解关于x的分式方程得：，

∵方程有解，且解为正数，

∴ ，

解得：且．

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

4．（）（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程x+的解为．

(1)【理解应用】解方程；

(2)【知识迁移】若关于x的方程的解为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据给定的方法解方程即可；

（2）根据给定的方法可得，再根据完全平方公式进一步计算即可．

【详解】（1）∵，

即，

∴；

（2）∵关于x的方程的解为，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求解，并结合完全平方公式的变形对代数式求解是解题的关键．

5．（）（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）若关于的方程有增根，求增根和的值．

【答案】是增根，

【分析】找出各个分母得最简公分母，即可得到增根，把增根代入去分母后的方程，即可求出k的值．

【详解】解：∵关于的方程有增根，最简公分母为：

∴，即：或是增根，

去分母得：，

把或代入上式得：（等式不成立，舍去）或，

解得：．

综上，方程的增根为，

【点睛】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母，掌握分式方程增根的概念是是解题的关键．

【题型三】分式方程的实际应用

【典题】（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少万个口罩?

【答案】口罩厂现在每天生产10万个口罩

【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产(x + 4)万个口罩，根据工作时间=工作总量工作效率，结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解方程，即可得出答案．

【详解】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，

依题意，得：，

解得：x＝6，

经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，

则x+4＝10，

答：口罩厂现在每天生产10万个口罩

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2020春·江苏泰州·八年级统考期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？

【答案】40．

【分析】根据题意,找到等量关:原计划所用时间=实际所用时间+4天,列出方程,解答即可．

【详解】解:设原计划每天种树x棵．

由题意,得4,

解得：x=40,

经检验,x=40是原方程的解．

答：原计划每天种树40棵．

【点睛】此题主要考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程类问题主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．

2．（）（2020春·江苏泰州·八年级统考期末）为深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某单位积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗、已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元．

（1）求甲种树苗的单价；（请根据题意列方程解答）

（2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？

【答案】（1）40元（2）34棵

【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；

（2）根据题意列出不等式求解即可．

【详解】解：（1）设甲种树苗每棵x元，由题意得

，

解得：x＝40，

经检验，x＝40是原方程的根且符合题意，

答：甲种树苗每棵40元．

（2）设购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗（100﹣y）棵，

由题意得：40（100﹣y）+34y≤3800，

解得：y≥，

答：至少购买乙种树苗34棵．

【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．

3．（）（2020春·江苏常州·八年级统考期末）小敏去超市购买某商品，第一次按原价购买，用了60元，几天后，正好遇上这种商品八折出售，他用80元又买了一些，两次一共购买了40公斤，请问这种商品的原价是多少元?

【答案】这种商品的原价是4元．

【分析】设商品的原价为元，根据数量=则第一次购买的数量为，第二次购买的数量为，通过两次一共购买了40公斤可得，解方程即可．

【详解】解：设商品的原价元

根据题意可得：

解得：

检验：把代入得：

∴是原方程的解

答：这种商品的原价是4元．

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，通过两次购买的总和建立出分式方程是解题的关键．

4．（）（2020春·江苏泰州·八年级校联考期中）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；

（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．

试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．

【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．

【详解】解：设规定日期为x天．由题意得

，

∴，

∴，

∴；

经检验：x=12是原方程的根．

方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；

方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；

方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．

∵28.8＞26.4，

∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．

5．（）（2022秋·河南郑州·八年级统考期末）刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？

【答案】刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米

【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．

【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米，

根据题意，得，

解得，

经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，

∴（千米/时），

答：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．

6．（）（2022春·上海·八年级校考期中）甲、乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了1倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用时间少小时，甲、乙两人原来每小时各加工多少个零件？

【答案】甲每小时加工60个零件，乙原来每小时加工50个零件．

【分析】设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时，列出分式方程，解分式方程，再利用甲的工作效率=300÷（乙加工300个零件所需时间-1），即可求出甲的工作效率．

【详解】解：设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，

依题意得：，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

在300÷（）=60，

答：甲每小时加工60个零件，乙原来每小时加工50个零件．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

7．（）（2022秋·云南红河·八年级统考期末）某部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了9小时完成任务．

(1)按原计划完成总任务的时，已抢修道路_____________米；

(2)求原计划每小时抢修道路多少米?

【答案】(1)900

(2)原计划每小时抢修道路300米

【分析】（1）按原计划完成总任务的时，列式计算即可；

（2）设原计划每天修道路x米．根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=9，等量关系列出方程．

【详解】（1）解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路为（米），

答：按原计划完成总任务的时，已修建道路900米；

故答案为：900；

（2）解：设原计划每小时抢修道路米，根据题意得：

，

解得：．

经检验：是原方程的解．

答：原计划每小时抢修道路300米．

【点睛】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．