初中数学苏科版八年级下册第11章 反比例函数11.1 反比例函数优秀当堂检测题

11.3 用反比例函数解决实际问题

1．（）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）小华以每分钟40个字的速度打一篇演讲稿，把这篇演讲稿打完恰好用了30分钟．

(1)小华打字速度（单位：字/分）与打完讲稿所用时间（单位：分钟）之间有怎样的函数关系？写出速度关于时间的函数关系式．

(2)由于遇到紧急情况，这篇演讲稿必须在20分钟内打完，那么小华平均每分钟至少要打多少个字？

【答案】(1)打字速度与打完讲稿所用时间之间有反比例函数关系，函数关系式为；

(2)小华平均每分钟至少要打60个字．

【分析】（1）根据录入的速度录入总量录入时间即可得出函数关系式；

（2）把代入即可求解．

【详解】（1）解：演讲稿的总字数为(字)，

则速度关于时间的函数关系式为，

答：打字速度与打完讲稿所用时间之间有反比例函数关系，函数关系式为；

（2）解：当时，(字/分)，

答：小华平均每分钟至少要打60个字．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数关系是关键．

2．（）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，．

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设与之间的函数表达式为，把时，代入即可求解

（2）利用函数关系式，当时，求出x，即可求解

【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为

∵ 当时，

∴    

∴

∴

（2）当时，

解得

根据反比例函数的性质，随的增大而减小

∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为3.34

【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出解析式，再根据题意解答．

3．（）（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．

(1)求y与x的函数表达式；

(2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？

【答案】(1)

(2)8万只

【分析】（1）根据表格中数据得出每时生产口罩的数量与时间的积一定，即可得出反比例函数解析式；

（2）把y＝18代入，可得，再根据反比函数的性质，即可求解．

【详解】（1）解：根据题意得：每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每小时生产口罩的数量与时间成反比例，

∴．

∴y与x的函数表达式为．

（2）解：把y＝18代入，得：，

解得：，

∵144>0，

∴当x>0时，y随x的增大而减小，

∴每小时至少需要生产8万只口罩．

【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数关系式是解题关键．

4．（）（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（）之间成反比例关系，其图像如图所示．

(1)求P与V之间的函数关系式；

(2)当时，求P的值；

(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？

【答案】(1)P=

(2)千帕

(3)不少于m3

【分析】（1）设出反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可解决；

（2）由题意可得V=1.8m3，代入到解析式中即可求解；

（3）为了安全起见，P≤40000kPa，列出关于V的不等式，解不等式，即可解决．

【详解】（1）解：设这个函数解析式为：P=，

代入点A的坐标（1.5，16000）得， =16000，

∴k=24000，

∴这个函数的解析式为P=；

（2）由题可得，V=1.8m3，

∴P=（kPa），

∴气球内气体的压强是千帕；

（3）∵气球内气体的压强大于144kPa时，气球将爆炸，

∴为了安全起见，P≤40000kPa，

∴≤40000，

∴V≥m3，

∴为了安全起见，气球的体积不少于m3．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出解析式是解决此题的突破口．

5．（）（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．

(1)_____________；

(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；

当时，y与x之间的函数关系式为_____________；

(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？

【答案】(1)19

(2)；

(3)135分钟

【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；

（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；

（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．

【详解】（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；

（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b

∵经过点（5，0），（100，19）

∴

解得：，

∴解析式为y＝0.2x﹣1；

当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，

∵经过点（100，19），

∴＝19

解得：k＝1900，

∴函数的解析式为y＝；

（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，

令y＝＝10，解得：x＝190

∴190﹣55＝135分钟，

∴服药后能持续135分钟；

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．

6．（）（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．

(1)直接写出y与x之间的函数表达式______；

(2)若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则：

①老李家距离单位_____m；

②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？

【答案】(1)

(2)①3000；②75

【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可求解；

（2）①根据路程=速度×时间即可求解；②将y=40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论．

【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，

∵点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．

∴，解得：k=±3000，

∵图象位于第三象限，

∴k＞0，

∴k=3000，

∴y与x之间的函数表达式为；

故答案为：

（2）解：①根据题意得：，

∴xy=3000，

∴老李家距离单位3000m；

故答案为：3000

②∵，

∴当y=60-15-5=40时，，

解得：x=75，

∴老李步行速度至少为多少才能不迟到．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键．

7．（）（2022春·江苏南京·八年级统考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，平均速度是，用时．

(1)当他按原路匀速返回时，汽车速度与时间之间的函数关系式是______；

(2)返回时，规定最高车速不得超过每小时，问返程最少需要几小时？

【答案】(1)

(2)4.8h

【分析】（1）根据速度×时间=路程，可以求出甲地去乙地的路程；再根据行驶速速度=路程÷时间，得到v与t的函数解析式；

（2）计算v≤100时t的值即可求得范围．

(1)

根据“速度=路程÷时间”，可设汽车速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数关系式为：

，

当v=80，t=6时，有，

因此s=480，

故v与t之间的函数关系式为：

故答案为：

(2)

根据题意得v≤100，

即480÷t≤100，

解得t≥4.8，

故返程时间最少是4.8h．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

8．（）（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示．

(1)该蓄水池的蓄水量为_________；

(2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________；

(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？

【答案】(1)18000

(2)

(3)1800

【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设，再把点（6，3000）代入即可求出答案；

（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；

（3）设原计划每小时的排水量是，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可．

【详解】（1）解：设，

∵点（6，3000）在此函数图象上，

∴蓄水量为6×3000＝18000m3．

故答案为：18000．

（2）蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系式为：，

∵每小时排水量不超过，

∴根据反比例函数的增减性可知，时，每小时排水量不超过．

故答案为：．

（3）设原计划每小时的排水量是，根据题意得：

，

解得：，

经检验：是所列方程的解，

答：原计划每小时的排水量是．

【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键．

9．（）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：

(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；

(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；

(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．

【答案】(1)300

(2)

(3)不能，理由见解析

【分析】（1）根据即可得s的值；

（2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可；

（3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断．

【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵

∴s = 300，

∴该公司到杭州市场的路程为300千米；

故答案为：300；

（2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设，

∵v=75时，t= 4，

∴k=75×4=300，

∴；

（3）解：不能．

理由如下：∵10-7.5=2.5（小时），

∴t=2.5时，，

∵120＞100，

∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．

【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键．

10．（）（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟，据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为，加热5分钟使材料温度达到时停止加热．停止加热后，过一段时间，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系．

(1)分别求出该材料加热过程中和材料温度逐渐下降过程中，与之间的函数表达式，并写出的取值范围；

(2)根据工艺要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？

【答案】(1)，

(2)分钟

【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可；

（2）分别令两个函数的函数值为16，解得两个x的值相减即可得到答案．

【详解】（1）设线段AB解析式为：，代入（0，10）（5，20），

可得：．

双曲线CD解析式为：，

∵C（10，20），

∴k＝200，

∴双曲线CD的解析式为：；

（2）把y＝16代入中，

解得：，

y＝16代入，

解得：x＝3，

∴，

答：该材料进行特殊处理所用的时间分钟．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．

11．（）（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

【答案】（1）20；（2）能，见解析

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值

（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论

【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，

∴，

∴．将x=45代入

将x=45代入得：

点对应的指标值为．

（2）设直线的解析式为，将、代入中，

得，解得．

∴直线的解析式为．

由题得，解得．

∵，

∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。

12．（）（2021春·江苏盐城·八年级统考期末）为防控新冠疫情，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行5min的药物喷洒，接着封闭教室10min，然后打开门窗进行通风．教室内每立方米空气中的含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系．

（1）求药物喷洒后空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数表达式；

（2）如果室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于20分钟，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？

【答案】（1）当，；当时，；当时，；（2）消毒有效，证明见详解．

【分析】（1）分类讨论：当时，易得正比例函数解析式；当时，利用两个坐标得到y与x的关系式；当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式；

（2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于5mg/m3的持续时间，然后与20分钟比较大小即可判断此次消毒是否有效．

【详解】解：（1）①当时，

设，将代入，

则，解得：，

∴；

②当时，

设，将，代入，

则，解得：，

∴；

③当时，

设，将代入，

则，

∴．

故答案为：当，；当时，；当时，；

（2）此次消毒有效．理由如下：

当时，，解得，

当时，，解得，

∵，

∴此次消毒有效．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键．