数学八年级下册12.1 二次根式精品精练

12.1 二次根式

二次根式的概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。

2）二次根式中a是一个非负数。

二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。

二次根式的概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。

2）二次根式中a是一个非负数。

二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。

【题型一】求二次根式的值

【典题】（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）与结果相同的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0

故选：A．

【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．

巩固练习

1．（）（2019秋·江苏南京·八年级统考期末）下列各式中，正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一个正数的算术平方根和平方根的性质可判断A、B；根据=∣a∣可判断C；根据立方根的定义可判断D．

【详解】解： =2，故A错误；

±=±3，故B错误；

=|﹣3|=3，故C错误；

=﹣3，故D正确．

故选D．

【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根和算术平方根的性质，熟记性质是解题的关键．

2．（）（2020春·江苏南京·八年级统考期中）已知 ，则的值为（    ）

A．2 x  5 B．—2 C．5  2 x D．2

【答案】C

【分析】结合1  x  2 ，根据绝对值和二次根式的进行计算，即可得到答案．

【详解】因为1  x  2 ，所以== 5  2 x.故选择C．

【点睛】本题考查不等式、绝对值和二次根式，解题的关键是掌握不等式、绝对值和二次根式．

3．（）（2022春·浙江温州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】A

【分析】将代入计算即可得．

【详解】解：当时，，

故选：A

【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．

4．（）（2022春·陕西安康·八年级校联考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的定义即可得出正确选项．

【详解】A、是三次根式，不合题意；

B、的被开方数是负数，不合题意；

C、是二次根式，符合题意；

D、中，当时，不是二次根式，不合题意；

故选C．

【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是本题的关键．

【题型二】二次根式有意义的条件

【典题】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式被开方数非负即可求解．

【详解】由已知得：，

求解得：．

故选：B．

【点睛】本题考查二次根式是否有意义，根据被开方数非负直接求解不等式即可．

巩固练习

1．（）（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）函数 的自变量的取值范围是(　　)

A． B．且 C．且 D．且

【答案】C

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．

【详解】解：根据题意可得：，

解得：且

故选：C．

【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的添加以及分式有意义的条件是解题的关键．

2．（）（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式组计算即可．

【详解】解：∵代数式有意义，

∴，

∴．

故选B．

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．

3．（）（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）设A，B均为实数，且，，则A，B的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据确定的范围，然后再确定的范围即可．

【详解】解：

，

，

故选D

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，相关知识点有：算术平方根、立方根等，二次根式有意义的条件的利用是解题关键．

4．（）（2022春·江苏南通·八年级校考期中）使函数y＝有意义的自变量x的取值范围为（    ）

A．x≠0 B．x≥1 C．x≥1且x≠0  D．x＞－1且x≠0

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母不等于0，据此即可求解．

【详解】解：根据题意得：x−1≥0且x≠0，

解得：x≥1．

故选：B．

【点睛】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

【题型三】利用二次根式的性质化简

【典题】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质，零次幂，化简绝对值进行计算即可求解．

【详解】原式

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质化简，正确的计算是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：

(1)化简：______，______；

(2)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．

【答案】(1)3；π-3

(2)a-b

【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；

（2）由数轴可得a＜b＜0＜c，从而可得c-a＞0，b-c＜0，再进行化简即可．

（1）

解：

=3

=|3-π|

=π-3

故答案为：3；π-3．

（2）

．解：由数轴得：a＜b＜0＜c，

∴c-a＞0，b-c＜0，

∴

=-（c-a）+c-b

=-c+a+c-b

=a-b

【点睛】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．

2．（）（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）求代数式的值，其中a＝﹣2021．如图是小扣和小芳的解答过程．

（1）　　　的解法是错误的；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　　　；

（3）求代数式的值，其中a＝﹣2022．

【答案】（1）小芳；（2）；（3）2034

【分析】（1）由a=-2021知1-a>0，据此可得，从而做出判断；

（2）根据二次根式的性质可得答案；

（3）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得．

【详解】解：（1）∵a=-2021，

∴1-a>0，

则

所以小芳的解法是错误的，

故答案为：小芳；

（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质．

故答案为：．

（3）=

当a=-2022时，a-6＜0，

则原式=

=a+2|a-6|

=a-2（a-6）

=a-2a+12

=-a+12

=2022+12

=2034．

【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．

3．（）（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知实数、、表示在数轴上如图所示，化简．

【答案】

【分析】根据数轴可得：，，，且，然后利用算术平方根和绝对值的性质化简即可．

【详解】由题意可知：，，，且，

∴，，

∴原式

【点睛】本题主要考查了利用算术平方根和绝对值的性质化简，解题的关键是正确得出各部分符号．

4．（）（2022秋·河北承德·八年级统考期末）观察下列各式：

；；

，…

请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题

(1)猜想：＝ ＝ ；

(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；

(3)应用：计算．

【答案】(1)，

(2)

(3)1

【分析】（1）根据所给例子解答即可；

（2）根据所给例子用含n（n为正整数）的代数式表示即可；

（3）先将改写成，然后根据规律解答即可．

【详解】（1）猜想：；

故答案为：，；

（2）由所给例子可得，．

故答案为：；

（3）

＝

＝

＝1．

【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的性质与化简，观察出规律是解答本题的关键．