初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式精品课后复习题

12.2-12.3 二次根式的乘除 二次根式的加减

二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

即：

【注意】

1）要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。

2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：

3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。

4）逆用公式：

化简二次根式的步骤（易错点）：

1）把被开方数分解因式(或因数) ；

2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。

【注意】1）要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。

2）逆用公式： 。

最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例：、、 不是 二次根式（易错）。

最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例：、、 不是 二次根式（易错）。

【题型一】二次根式的乘法与除法运算

【典题】（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算即可；

【详解】解：原式＝ ；

故选：B．

【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．

巩固练习

1．（）（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）下列计算中，正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的除法、乘方、性质、乘方分别进行计算即可得．

【详解】A. =3÷=3，故A选项错误；

B. =16×2=32，故B选项错误；

C. ，正确；

D. ，故D选项错误，

故选C．

【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式乘除运算的法则、乘方运算的法则是解题的关键．

2．（）（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可．

【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；

B、，选项错误，不符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．

3．（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）下列计算正确的是（　　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．

【详解】解：A．，故此选项不合题意；

B．，故此选项不合题意；

C．，故此选项不合题意；

D．，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．

4．（）（2021秋·江苏苏州·八年级统考期中）下列各数中，与2﹣的积是有理数的是（　　）

A．2 B．2 C． D．2

【答案】A

【分析】根据平方差公式，完全平方公式、将式子化简计算即可判断．

【详解】解：（2﹣）×（2+）＝1，故A项符合题意；

（2﹣）×2＝4﹣2，故B项不符合题意；

（2﹣）×＝2-3，故C项不符合题意；

（2-）（2-）＝7﹣4，故D项不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了有理数与无理数的判断，熟练掌握利用平方差公式和完全平方公式的运用是解题的关键．

【题型二】最简二次根式的判断

【典题】（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可得．

【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；

B、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；

C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；

D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件．

巩固练习

1．（）（2022秋·江苏盐城·八年级校考期末）若a>0，则下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据最简二次根式定义逐项分析判断即可．

【详解】解：、，不是最简二次根式，故此选项不合题意；

、，不是最简二次根式，故此选项不合题意；

、是最简二次根式，故此选项符合题意；

、，不是最简二次根式，故此选项不合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

2．（）（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据最简二次根式的定义和特征判断即可．

【详解】因为=4，

所以不是最简二次根式，

故A不符合题意；

因为是最简二次根式，

故B符合题意；

因为含有小数，

所以不是最简二次根式，

故C不符合题意；

因为=，

所以不是最简二次根式，

故D不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查了最简二次根式即被开方数中不含有开方不尽的因数或因式，熟练掌握定义是解题的关键．

【题型三】同类二次根式的判断

【典题】（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）下列各式中，与能合并的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义判断即可．

【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；

B． ，故该选项正确，符合题意；

C．，故该选项不正确，不符合题意；

D．，故该选项不正确，不符合题意．

故选B．

【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）下列各数中，与不是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对选项中各式进行化简,根据同类二次根式的定义判断即可．

【详解】解：，，，，

与不是同类二次根式的是，

故选：B．

【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，将原式化简为最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．

2（）（2022秋·江苏苏州·八年级统考期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（    ）

A．2 B．4 C．-1 D．1

【答案】D

【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．

【详解】解：由题意，得：

1+2a=3，

解得a=1，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

3．（）（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）若最简二次根式与能合并，则a的值为（    ）

A． B． C．﹣1 D．1

【答案】D

【分析】最简二次根式与是同类二次根式，则被开方数相等，即可求得a的值．

【详解】根据题意得：1＋2a＝5−2a，

解得：a＝1．

故选：D．

【点睛】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是知道同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

【题型四】二次根式的乘除混合运算

【典题】（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）（1）解方程：

（2）计算：

【答案】（1）无解；（2）．

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）原式利用二次根式的乘除法法则计算，即可得到结果．

【详解】解：（1）

去分母得：，

解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的增根，

∴原方程无解；

（2）

=．

【点睛】本题考查了解分式方程，二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

巩固练习

1．（）（2021春·江苏连云港·八年级统考期末）（1）；

（2）．

【答案】（1）11；（2）2．

【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可.

【详解】（1）原式＝，

＝×，

＝11；

（2）原式＝（）2﹣（）2

＝5﹣3

＝2．

【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式加减乘除运算法则.

2．（）（2021春·江苏盐城·八年级统考期中）已知x=3+2，y＝3﹣2，求的值．

【答案】34

【分析】先算分式的加法，再利用完全平方公式和平方差公式变形后，代入求值即可．

【详解】解：∵x=3+2，y＝3﹣2，

∴=

=

=

=．

【点睛】本题主要考查分式的加法运算，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和通分，是解题的关键．

【题型五】二次根式的加减混合运算

【典题】（2021春·江苏盐城·八年级响水县运河中学校考期末）计算：

(1)+2-

(2)（）2 +（2+）（2-）

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式的加减法进行计算；

（2）先根据二次根式的性质和平方差公式进行化简，然后再进行计算即可．

(1)

解：+2-

(2)

（）2 +（2+）（2-）

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式，是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2021春·江苏常州·八年级-常州实验初中校考期中）（1）计算：        

（2）计算：

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先分别化为最简二次根式，再计算加减即可；

（2）先利用乘法分配律展开，再计算二次根式的乘法，最后计算加减即可．

【详解】解：（1）原式＝

＝；

（2）原式＝

＝

＝．

【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

2．（）（2021秋·江苏扬州·八年级统考期末）计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）3

【分析】（1）直接利用算术平方根的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简在计算得出答案．

（2）直接利用绝对值的性质、平方的的性质计算得出答案．

【详解】解：（1）

（2）

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

3．（）（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1） ；（2）

【分析】（1）将二次根式进行化简后再进行加减运算；

（2）先将带分数化为假分数，再利用二次根式乘除法则运算．

【详解】（1）解：原式=

             =

             =

             =

（2）解：原式=

             =

             =

             =

【点睛】本题考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简以及运算法则是解题关键．

【题型六】二次根式的加减混合运算

【典题】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）计算

【答案】

【分析】根据二次根式的乘法，负整数指数幂，绝对值的化简计算即可．

【详解】

=

=

．

【点睛】本题考查了二次根式的乘法，负整数指数幂，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据平方根，算术平方根，立方根的性质化简，再计算，即可求解；

（2）先计算乘法，然后合并，即可求解．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．

2．（）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：

(1)

(2)．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则化简得出答案；

（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．

【详解】（1）解：；

（2）解：

．

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

3．（）（2022秋·江苏南京·八年级校考期中）计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接二次根式的性质及绝对值的性质进行化简，再进行加减即可得出答案．

（2）直接二次根式的运算法则进行化简，再进行加减即可得出答案．

【详解】（1）解：原式=

=；

（2）解：原式=

=

=

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

【题型七】已知字母的值化简求值

【典题】（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中

【答案】，

【分析】先利用单项式乘多项式，以及平方差公式计算，去括号合并得到最简结果，然后把的值代入计算即可求出值．

【详解】解：原式=

=

将代入得：

=

=

=

=

【点睛】本题考查了单项式乘多项式、二次根式化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．

巩固练习

1．（）（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）将字母的值代入，利用平方差公式，进行计算即可求解；

（2）将字母的值代入，根据完全平方公式变形进行计算即可求解．

【详解】（1）解：∵，，

∴

；

（2）解：∵，，

∴，

由（1）可知，

∴

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则，乘法公式是解题的关键．

2．（）（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．

【答案】，1+．

【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，分解因式约分后，将x的值代入计算即可．

【详解】解：原式=

=

=，

当时，

原式=

=1+．

【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，能将分式通分和约分，把分式化简．

3．（）（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）（1）先化简，再求值：，其中；

（2）当时，求的值．

【答案】（1），；（2）-2-

【分析】（1）先根据分式运算法则进行化简，再代入数值计算即可；

（2）先分母有理化，再根据二次根式的性质化简求接即可．

【详解】解：（1）原式＝[]

＝

＝  

 当x＝时，原式＝  

（2）解：∵，

∴a＝  

∴a―1＝＜0   

∴原式＝＝＝-2-

【点睛】本题考查了分式化简求值和二次根式化简求值，解题关键是熟练运用分式和二次根式运算法则进行化简，代入数值后准确计算．

【题型八】二次根式的应用

【典题】（2022秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．

(1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；

(2)求阴影部分的面积．

【答案】(1)正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4

(2)阴影部分的面积为12

【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可；

（2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积．

【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32，

∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．

（2）阴影部分的面积为：

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，

(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

【答案】(1)

(2)6600元

【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可；

（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．

【详解】（1）解：长方形的周长，

答：长方形的周长是；

（2）解：购买地砖需要花费

（元）

答：购买地砖需要花费6600元．

【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．

2．（）（2022春·广西崇左·八年级统考期中）先观察下列等式，再回答问题：

① =1+1=2；

②=2+ =2；

③=3+=3；…

（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；

（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．

【答案】（1）；（2），证明见解析．

【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；

（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立．

【详解】（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的数字分别为1、2、3，

∴④ ．

（2）观察，发现规律：1+1=2，223344，…，∴ ．

证明：等式左边=n右边．

故n成立．

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．

3．（）（2022春·北京西城·八年级北京铁路二中校考期中）（1）用“”、“”、“”填空： ， ， ．

（2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由．

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？

【答案】（1），，；（2）；（3）40米

【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；

（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；

（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．

【详解】解：（1）∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

故答案为：＞，＞，＝．

（2）理由如下：

当m≥0，n≥0时，

∵

∴

∴

∴

（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，

根据（2）的结论可得：．

∴篱笆至少需要40米．

故答案为：40．

【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．