初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形优秀巩固练习

9.3 平行四边形

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形的性质：1)对边平行且相等；   2)对角相等、邻角互补；   3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行四边形的判定定理：

1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

   ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

  ⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．

3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行四边形的面积公式：面积=底×高

平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；

2）两条平行线间的任何平行线段都相等；

3）等底等高的平行四边形面积相等。

【题型一】利用平行四边形的性质求解

【典题】（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期末）已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（    ）

A．125° B．135° C．145° D．155°

巩固练习

1（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（    ）

A． cm B．8cm C．3cm D．cm

2（）（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（  ）

A．61° B．109° C．119° D．122°

3（）（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（　　）

A．10 B．13 C．18 D．20

4（）（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．18

5（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　 　）

A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③

6（）（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是__________．

7（）．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，由钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且DE=4cm，DF=5cm．

(1)求这个平行四边形的面积．

(2)与∠B的关系怎样？为什么？

(3)平行四边形两条对角线长分别为8cm和10cm，求则其边长x的范围．

8（）（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在中，的平分线AE交CD于点E，AB＝6cm，BC＝4cm，求EC的长度．

【题型二】利用平行四边形的性质证明

【典题】（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②∠DFE＝3∠AEF；③EF＝CF；④S△BEC＝S△CEF．一定成立的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④

 巩固练习

1（）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（    ）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④

2（）（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小明给出如下结论：①AB=CD，②AB=BC，③∠A=∠C，④ ∠ABC=60°，⑤∠A+∠B=180°，其中正确的个数有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3（）（2021春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

4（）（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．

（1）求证：△ABC≌△EAD；

（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．

5（）（2021春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE＝CD；

（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：点C是线段BE的中点．

【题型三】判断能否构成平行四边形

【典题】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D

C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC

巩固练习

1（）（2022春·江苏无锡·八年级期中）下列给出的条件能判定四边形为平行四边形的是（    ）

A．AB//CD， B．，

C．， D．，

2（）（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）以下条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等

C．一组对边相等，一组对角相等D．一组对边平行，一组邻角互补

3（）（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ）

A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是

C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是

【题型四】添加一个条件构成平行四边形

【典题】（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（    ）

A．AB＝CD B．BC＝AD C．∠A＝∠C D．

 巩固练习

1（）（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

2（）（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　）

A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥

3（）（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知      (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．

【题型五】证明四边形是平行四边形

【典题】（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF，

求证：四边形BECF是平行四边形．

 巩固练习

1（）（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．

2（）（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在AD、BC上，，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．

(1)求证：：

(2)连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

3（）（2021春·江苏盐城·八年级统考期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A顺时针旋转个角度a得到△ADE，点B、C的对应点分别是D、E．

（1）如图1，若点E恰好与点B重合，DF⊥AB，垂足为F，求∠BDF的大小；

（2）如图2，若a＝108°，连接EC交AB于点G，四边形ADEG是平行四边形吗？请说明理由．

【题型六】利用平行四边形的性质与判定求解

【典题】（2022春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　 　)

A．2 B．3 C．4 D．6

 巩固练习

1（）（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　）

A．6 B．8 C．10 D．13

2（）（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，，，，则的长为（    ）

A．6 B． C．12 D．

3（）（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______．

4（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．

【题型七】反证法证明中的假设

【典题】（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设___________ ．

 巩固练习

1（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________．

2（）（2022春·江苏镇江·八年级镇江市外国语学校校考期中）用反证法证明：若内错角不相等，则两直线不平行．证明时可以先假设 ____．

3（）（2022春·江苏南京·八年级统考期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____．

【题型八】用反证法证明命题

【典题】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立．∴

③假设在中，④由，得，即．

这四个步骤正确的顺序应是（    ）

A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②

巩固练习

1（）（2022春·河南郑州·八年级统考期末）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．

（2）所以∠B＜90°．

（3）假设∠B≥90°．

（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．

请你写出这四个步骤正确的顺序______．

2（）（2022秋·河南周口·八年级统考期末）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．

已知：直线a，b，c在同一平面内，，，

求证：　   　．

证明：