【同步讲义】苏科版数学八年级下册：9.4.1 矩形 讲义

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9.4.1 矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
3）对角线互相平分且相等；
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的面积公式： 面积=长×宽
 
【题型一】利用矩形的性质求角度
【典题】（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用互余计算出，再根据平行线的性质得，接着根据折叠的性质得，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵矩形沿对角线折叠，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变换—折叠，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质等知识．理解和掌握折叠的性质是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　）

A．55° B．40° C．35° D．20°
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55°，由直角三角形的性质求出∠ODE=20°，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110°，
∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2（ê）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为____________．

【答案】
【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE， ∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=
故答案为75°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．
3（êê）（2022春·江苏镇江·八年级镇江市外国语学校校考期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝m°，则∠E＝_____度（用含m的代数式表示）．

【答案】45－m
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC，继而可得∠OCB=∠OBC，∠E=∠CAE，由∠ABD=m°，可得∠OBC=90°-m°，再由三角形外角的性质即可求得答案.
【详解】连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠ABD=m°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABD=90°-m°，
∵∠OCB=∠CAE+∠E，
∴∠E+∠E=90°-m°，
∴∠E=(45－m)°，
故答案为45－m．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握各有关的性质定理是解题的关键.
【题型二】利用矩形的性质求线段长
【典题】（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作到交数轴的正半轴于M，则点M，在数轴上表示的数为（     ）

A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示-1，可得M点表示的数．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵A点表示-1，
∴M点表示的数为：
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和数轴的应用，矩形的性质，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，则矩形的对角线长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形性质得出，，，，推出，求出等边三角形，求出，即可得出答案．
【详解】，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出、的长．
2（êê）（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（   ）

A．3 B． C． D．6
【答案】A
【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，
∵∠BOC＝120°＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
当OP⊥AD时，OP有最小值，
在Rt△OPD中，
∴OP＝OD＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边长度是斜边的一半，垂线段最短，掌握矩形的性质是本题的关键．
3（ê）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形ABCO中，点B坐标为，AC与y轴相交于点D，若轴，则（    ）

A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．2
【答案】D
【分析】连接OB，与AC交于点M，根据矩形的性质可知M（，2），由于轴，所以D的坐标可求．
【详解】解：如图，当轴时，连接OB，与AC交于点M，

∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝MB，
∵B（3，4），
∴M（，2），
∵轴，
∴轴，
∵点D在y轴上，
∴D（0，2），
∴OD＝2，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
2（ê）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作交AD于点E，若，，则DE的长为______．

【答案】3
【分析】连接，由矩形的性质可得，，，，由，，可知垂直平分，则可得；设，则，在中，由勾股定理得关于的方程，求解即可．
【详解】解：连接，如图：

在矩形中，，，
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得．
的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4（êê）（2022春·江苏常州·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF、DE交于点O．

(1)求证：△AOD是等腰三角形；
(2)若AF⊥DE，OF＝OA＝1，求矩形ABCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）通过证明得到和，利用等角对等边和等式的性质即可得到，即可完成求证；
（2）利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理分别求出AD和AB的长即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∵BE＝CF，
∴BC-BE＝BC-CF，
∴BF=CE，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴△AOD是等腰三角形．
（2）
∵OF＝OA＝1，
∴
∴
∵AF⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∵矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF=∠CDE=45°，
∴∠AFB=45°=∠BAF，
∴AB=BF，
∵，
∴，
∴矩形ABCD的周长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是理解题意并牢记相关概念．
5（ê）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB的中点，过点B作交AE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：；
(2)若，求出四边形BOCF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】(1)利用AAS即可证明结论；
(2)根据条件可证得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质即可得出答案．
（1）
∵E是OB的中点，
∴，
∵，
∴，
∴△AOE≅△FBE；
（2）
∵△AOE≅△FBE，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，

在矩形ABCD中：,，
∴，
∴四边形BOCF的周长为：20．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质判定，全等三角形的性质判定，掌握以上知识点的是解题的关键．
【题型三】利用矩形的性质求面积
【典题】（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（    ）

A．2 B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，以及，可得是等边三角形，进而在中可得，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求得矩形的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，
∴，
是等边三角形，
，
在中，，


矩形的面积是
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质判定，掌握矩形的性质是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（　　）

A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝22+(4﹣x)2，
解得：x＝，
即CE的长为，
DE＝4﹣＝，
所以△DCE的面积＝××2＝，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
2（êê）（2022春·江苏南通·八年级统考期中）两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ）

A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根据平行四边形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，在两张全等的矩形纸片，中，，
，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
则图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
3（ê）（（2022春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E，F，连接PB，PD，若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为___________

【答案】12
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，根据矩形的性质可得S△PEB=S△PFD即可求解.
【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴，
∴S△DFP=S△PBE=×2×6=6，
∴S阴=6+6=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质.
4（ê）（（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）已知矩形的两条对角线的夹角为，矩形的宽为2，则矩形的面积为________．
【答案】
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB=2，由勾股定理求出BC，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，
∴OA=OB， 又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC=，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC是解决问题的关键．
5（êê）（（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2．

(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求证：OE＝FE．
【答案】(1)矩形ABCD的面积为；
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得到AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，再根据角平分线的定义和等边三角形的判定与性质求得AC=4，由勾股定理求得BC即可求解；
（2）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质证得∠OFE＝∠BOE即可证得结论．
（1）
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝2，
∴矩形ABCD的面积为：AB×BC＝4；
（2）
证明：∵△ABO是等边三角形，
∴BO＝AB，∠ABO＝60°，
∵∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB，
∴BO＝BE，∠EBO＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∴∠BOE＝（180°﹣∠EBO）＝75°．
∴∠OFE＝∠OBE+∠BEF＝75°，
∴∠OFE＝∠BOE，
∴OE＝FE．
【点睛】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【题型四】利用矩形的性质证明
【典题】（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在ABCD中，延长BC到点E，使得，连接AE、DE．

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果，，求四边形ACED的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据，可得，根据一组对边平行且相等即可得证；
（2）先证明四边形ACED是矩形，根据勾股定理求得的长，进而即可求解．
（1）
证明：四边形是平行四边，
，，
，
，
在的延长线上，
，
四边形ACED是平行四边形；
（2）
四边形是平行四边，
，
，
，
四边形ACED是平行四边形；，
四边形ACED是矩形，
，
，
中，，
四边形ACED的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏淮安·八年级校联考期中）如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF．

(1)若∠BAE＝50°，求∠DGF的度数；
(2)求证：DF＝DC．
【答案】(1)∠DGF=25°；
(2)见解析
【分析】（1）由旋转的性质得出AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案；
（2）证出四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．
(1)
解：由旋转得AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，
∴∠BAE=∠DAG=50°，
∴∠AGD=∠ADG==65°，
∴∠DGF=90°-65°=25°；
(2)
证明：连接AF，

由旋转得矩形AEFG≌矩形△ABCD，
∴AF=BD，∠FAE=∠ABE=∠AEB，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=DC．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记矩形的性质并准确识图是解题的关键．
2（ê）（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．

(1)判断△BEC的形状，并加以证明；
(2)若∠ABE＝45°，AB＝时，求BC的长．
【答案】(1)△BEC是等腰三角形，证明见解析
(2)BC＝
【分析】（1）△BEC是等腰三角形，根据矩形的性质可知，AD∥BC，进而可知∠DEC＝∠BCE，由EC平分∠BED，可得∠BEC＝∠DEC，则∠BEC＝∠BCE，进而可知BE＝BC，则可证△BEC是等腰三角形；
（2）在矩形ABCD中，∠A＝90°，且∠ABE＝45°，△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．
(1)
解：△BEC是等腰三角形，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形．
(2)
解：在矩形ABCD中，∠A＝90°，且∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝，
∴BE＝＝，
由（1）知BC＝BE，
∴BC＝．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理，能够再实际问题中灵活应用勾股定理是解决本题的关键．
3（ê）（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)27
【分析】（1）根据矩形的性质得出，BC∥AD，根据平行四边形的判定可推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出，从而结论得证；
（2）先根据勾股定理求得的长，再根据矩形的性质并结合（1）可得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
由（1）知，；
∴的周长为：
．
∴的周长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识．解此题的关键是由矩形的性质得出和判定四边形是平行四边形．
【题型五】求矩形的顶点在平面直角坐标系中的坐标
【典题】（2022春·江苏苏州·八年级苏州市第十六中学校考期中）将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（　　）

A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，）
【答案】D
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．
【详解】解：如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，

∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO，
∴∠AEO∽△COM，
∴，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中

∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出CM的长是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏镇江·八年级镇江市外国语学校校考期中）矩形中，，，，则点坐标为__________．
【答案】（-3，3）
【分析】先在坐标系内描出A，B，C三点的坐标，然后根据矩形的性质写出D点坐标．
【详解】解：在矩形ABCD中A（-3，2），C（0，3），B（0，2）．
∴点D的横坐标为-3，纵坐标为3．
∴点D的坐标为（-3，3）．
故答案为：（-3，3）．
【点睛】本题考查了坐标系内点的坐标特征，矩形的性质，是常见题型．
【题型六】与矩形有关的折叠问题
【典题】（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）

A． B．6 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论．
【详解】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∴AF=CF，
∴AC=2AB=6，
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（    ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
∴∠ABD=90°-=66°
∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处
∴
∴
故选C．
【点睛】此题主要考查矩形内的角度求解，解题的关键是熟知矩形及折叠的性质．
2（ê）（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为（   ）

A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF＝DB′，再证明DB′＝EC＝BF＝1，由直角三角形的性质求出AB′，则可得结论．
【详解】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′，∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°，
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，
，
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），
∴BF＝DB′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°，
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′＝EC＝1，
∴BF＝EC＝1，
由翻折的性质可知，BF＝FG＝1，∠FAG＝45°，∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°，
∴AG＝FG＝1，
∴AF＝．
∴AB＝AB′＝1＋，
∴AD＝AB′＋DB′＝2＋，
故选B．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形ECDB′是矩形．
3（ê）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市第十六中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB＝6，BE：EC＝4：1，则线段DE的长为（    ）

A．4 B．2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】由翻折易得△DFE≌△DCE，则DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，再由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA；则AE＝AD，设CE＝x，从而表示出BE，AE，再由勾股定理，求得DE．
【详解】解：由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC．
由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE，
∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，
∴DF＝AB，∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠B，
由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，
在△ABE与△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∵BE：CE＝4：1，
∴设CE＝x，BE＝4x，则AD＝BC＝5x，
由△ABE≌△DFA，得AF＝BE＝4x，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF＝3x，
又∵DF＝CD＝AB＝6，
∴x＝2，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的内容．
4（ê）（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；
（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可
【详解】（1）四边形是矩形


因为折叠，则

是等腰三角形
（2）四边形是矩形
,
设，则
因为折叠，则，,
在中

即
解得：

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．
5（êê）（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，B C′与AD交于点E．

(1)试判断重叠部分△BED的形状，并证明你的结论；
(2)若BE平分∠ABD，BC＝12，求△BED的面积．
【答案】(1)△BED是等腰三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由ADBC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，即可证明△BED是等腰三角形；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=12-x，由BE平分∠ABD和∠CBD=∠EBD，得出，进而得到，列方程即可求出DE，再利用勾股定理求出AB，利用三角形面积公式即可求解．
（1）
解：△BDE是等腰三角形，证明如下：
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵ADBC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）
解：∵四边形ABCD是长方形，BC＝12，
∴，，
设DE=x，则BE=x，AE=12－x，
∵BE平分∠ABD，∠CBD=∠EBD，
∴∠ABE=∠CBD=∠EBD，
又∵∠ABE＋∠CBD＋∠EBD=∠ABC=，
∴，
∴，即，
解得，
∴，，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
，即，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查翻折变换、等腰三角形的判定、勾股定理、矩形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，有一定综合性，难度一般，解题关键是由BE平分∠ABD和翻折的性质得出．
【题型七】添加一个条件证明四边形是矩形
【典题】（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
【答案】B
【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果．
【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏南通·八年级校考期中）在四边形中，对角线，互相平分，若添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是（ ）
A． B．AC⊥BD
C．AB=CD D．AB // CD
【答案】A
【分析】因为在四边形中，对角线，互相平分，所以四边形是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
【详解】解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD或有个内角等于
故选A．
【点睛】考查矩形的判定，常见的判定方法有：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形．
2（ê）（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，、是它的两条对角线，下列条件中能判断这个平行四边形是矩形的是（    ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：A、∠BAC=∠ACB，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC=∠ACD，不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选C．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解题关键．
【题型八】矩形的证明
【典题】35．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90°，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴（AAS）；
（2）证明：∵，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明与矩形证明，熟练掌握相关概念是解题关键.
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，

(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AB=5，OE=，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据菱形的性质可得AD∥BC且AD=BC，进而证明四边形AEFD是平行四边形，根据AE⊥BC，即可证明四边形AEFD是矩形；
（2）根据菱形的性质以及已知条件，勾股定理求得的长，进而根据等面积法即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC且AD=BC，
∵ BE=CF，
∴ BC=EF，
∴ AD=EF，        
∵ AD∥EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，
∵ AE⊥BC， 即 ∠AEF=90°，
∴ 四边形AEFD是矩形

（2）
解：∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴ BC=AB=5，AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵ AE⊥BC，即∠AEC=90°，
∴ OE=AC=OA=，AC=2OE=2，
∴ ，
∴ BD=2OB=4，
∵ 菱形ABCD的面积=BD×AC=BC×AE，
即×4×2=5×AE，
解得：AE=4．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键．
2（ê）（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，然后得到，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
，
四边形是矩形；
（2）解：，，
，
，
是等边三角形，
，，
四边形是菱形，
，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，主要利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
3（êê）（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)AD=2AB，理由见解析
【分析】（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论；
（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．
（1）
证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM=DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）
解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM=CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC=45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AMB=∠MBC=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB=AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD=2AM，
∴AD=2AB．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．
4（ê）（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在菱形中，，，延长到点，使，延长到点，使，连接、、、．

（1）求证：四边形是矩形．
（2）直接写出四边形的面积是______．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AD=CD，即可得出AE=CF，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可得结论；
（2）由∠B=60°及菱形的性质可得△ABC是等边三角形，可得AE=2AB，利用勾股定理可求出CE的长，根据等底等高的三角形面积相等可得S△ACD=S△CED=S△EDF=S△ADF，根据菱形的性质可得S△ABC=S△ACD，即可得出S四边形ABCE=S矩形ACEF，根据矩形的面积公式即可得答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵DE=AD，DF=CD，
∴AD+DE=CD+DF，即AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形．
（2）∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=AD=DE，
∴AE=2AC=2AB=4，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠ACE=90°，
∴CE=，
∵△ACD、△CED、△EDF、△ADF等底等高，
∴S△ACD=S△CED=S△EDF=S△ADF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABC=S△ACD，
∴S四边形ABCE=S矩形ACEF=CE·AC=××2=．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，菱形的四条边都相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．