数学九年级上册4.一元二次方程根的判别式学案

第22章  一元二次方程

22.2 一元二次方程的解法

4  一元二次方程根的判别式

学习目标：

1.理解一元二次方程根的判别式取值范围对根的情况的影响（难点）；

2.会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算（重点）.

                       自主学习

一、新知预习

我们在推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的配方过程中，得到

(x＋)2＝.     （*）

只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得x＋＝±.

①       当_________>0时，方程（*）的右边是一个正数,得=____________.

       原方程有两个不相等的实数根： x1=  __________ ，x2=  ____________  .

②       当__________=0时，方程（*）的右边是0,得=____.

       原方程有两个相等的实数根：x1=x2=   ____  .

③       当_________<0时，方程（*）的右边是一个负数,而对于任何实数x，方程左边______.因此原方程没有实数根.

【自主归纳】 我们可以得到：

对于一元二次方程ax²+bx+c=0：

当________＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当_________= 0时，方程有两个相等的实数根；

当_________＜0时，方程没有实数根.

                              合作探究     

一、探究过程

探究点：一元二次方程根的判别式

【概念补充】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，可用符号“Δ”表示.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.

【问题1】不解方程，判断下列方程的根的情况：

（1）

解：Δ=_____,方程___________实数根.

（2）

解：Δ=_____,方程___________实数根.

（3）

解：Δ=_____,方程___________实数根.

【问题2】已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围.

解：因为方程有实数根，所以Δ=____________,解得___________.

故m的取值范围是__________________.

【归纳总结】判断一元二次方程是否有实根，只需计算方程判别式，判断其正负即可.反过

来，若已知根的情况，求字母的取值，根据判别式的正负列方程或不等式求解

即可.

【针对训练】

1. 下列方程中，没有实数根的是                                              （    ）

1.    B.    C.   D.

2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求整数m的最大值.

二、课堂小结

当堂检测

1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.

2关于x的一元二次方程（m≠1）.求证：方程总有两个不相等的实数根.

3.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5.若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.

参考答案

自主学习

一、新知预习

b²-4ac     ±      

b²-4ac   0        b²-4ac      ≥0

【自主归纳】b²-4ac   b²-4ac   b²-4ac    b²-4ac  

合作探究 

一、探究过程

探究点

【问题1】  （1）    有两个不相等的    （2）0    有两个相等的   （3）-3   没有

【问题2】    4-4m ≥0       m ≤1      m ≤1 

【针对训练】

   1.D   2. 解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4m＞0，解得m＜1，故整数m的最大值为0.

二、课堂小结  

b²-4ac    有两个不相等   有两个相等    没有  

当堂检测

1.

2.证明：Δ=（2m）²-4（m-1）（m+1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根.

3. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10（舍去负值）或b=2.当c=b=2，a=3时，不满足三边关系；

当a=c=5，b=2时，满足三边关系.

所以△ABC 的三边长为5，2，5，其周长为2+5+5=12.