22.2 一元二次方程的解法 华东师大版数学九年级上册素养提升练(含解析)

这是一份22.2 一元二次方程的解法 华东师大版数学九年级上册素养提升练(含解析)，共11页。

第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
基础过关全练
知识点1　直接开平方法
1.【新考法】(2023河南驻马店确山期中)如图所示的是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为(　　)

A.±2　B.±3　C.3或-1　D.2或-1
2.(2023湖南岳阳岳阳楼期中)解方程:(x-1)2-9=0.





知识点2　因式分解法
3.(2023山西长治上党月考)用因式分解法解下列方程,变形正确的是(　　)
A.(x+3)(x-1)=1,可得x+3=1或x-1=1
B.(x-3)(x-4)=0,可得x-3=0或x-4=0
C.(x-2)(x-3)=6,可得x-2=2或x-3=3
D.x(x+2)=0,可得x+2=0
4.【过程性学习试题】(2023河南安阳林州太行国际学校月考)下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程,请仔细阅读,并完成相应的问题.
解一元二次方程:3x(3x-1)=1-3x.
解:整理得3x(3x-1)=-(3x-1).……第一步
两边同时除以(3x-1)得3x=-1.……第二步
系数化为1,得x=13.……第三步
任务:
(1)李华的解法是不正确的,他从第　　　步开始出现了错误. 
(2)请完成这个方程的正确解题过程.






知识点3　配方法
5.(2023陕西安康宁陕蒲河九年制学校期中)用配方法解方程x2-4x=-2,下列配方正确的是(　　)
A.(x-2)2=2　B.(x+2)2=2
C.(x-2)2=-2　D.(x-2)2=0
6.用配方法解下列方程:
(1)(2023福建漳州东盛教育集团期中)3x2-6x-2=0;
(2)(2023河南南阳宛城期中)x2+4x-1=0.





知识点4　公式法
7.(2023山西省实验中学月考)若x=2+4-4×3×(-1)2×3是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是(　　)
A.3x2+2x-1=0
B.2x2+4x-1=0
C.-x2-2x+3=0
D.3x2-2x-1=0
8.【新考法】【新独家原创】数学活动课上,小明和小颖在讨论一道解方程问题中符号min{a,b}的含义:

根据他们的对话解方程:min{x,-x}=x2-1.






知识点5　一元二次方程根的判别式
9.(2023河南信阳浉河中学月考)关于x的一元二次方程4x2-2x-m2=0的根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
10.【代数推理】(2023吉林长春绿园期中)已知关于x的方程x2-kx+k-1=0.
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个实数根;
(2)若等腰△ABC的一边长为2,另两边长为这个方程的两个根,求k的值.







知识点6　一元二次方程根与系数的关系
11.(2023福建泉州洛江期中)已知α、β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为(　　)
A.-1　B.5　C.3　D.-2
12.【新考法】(2023山西运城盐湖月考)如图,矩形ABCD的周长为12,面积为5,且AB和BC的长恰好是方程x2+mx+n=0的两根,则m,n的值分别为(　　)

A.-6,5　B.12,-5　C.6,5　D.-12,5
13.【一题多解】【一题多变】(2023甘肃武威凉州韩佐九年制学校月考)已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根,求m的值及方程的另一个根x2.







[变式](二次项系数含字母)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0有一个根为0,则另一个根为　　　　. 
能力提升全练
14.【新定义试题】(2022四川巴中中考,7,★☆☆)对于实数a,b定义新运算:a※b=ab2-b,若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围为(　　)
A.k>-14　B.k<-14
C.k>-14且k≠0　　D.k≥-14且k≠0
15.(2022河南周口商水模拟,8,★☆☆)关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的是(　　)
A.甲　B.乙　C.丙　D.丁
甲
乙
丙
丁
两边同时除以(x-1)得x=3
整理得x2-4x=-3,
∵a=1,b=-4,c=-3,
∴b2-4ac=28,
∴x=4±282=2±7,
∴x1=2+7,x2=2-7
整理得x2-4x=-3,配方得x2-4x+2=1,
∴(x-2)2=-1,
∴x-2=±1,
∴x1=1,x2=3
移项得x(x-1)-3(x-1)=0,
∴(x-3)(x-1)=0,
∴x-3=0或x-1=0,
∴x1=1,x2=3
16.(2022内蒙古呼和浩特中考,8,★★☆)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则代数式x13-2 022x1+x22的值是(　　)
A.4 045　
B.4 044　
C.2 022　
D.1
17.【数学文化】(2022河南驻马店泌阳模拟,10,★★★)欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2-2bx+4c2=0(b>2c>0)的方程的根的图形解法:构造Rt△BAC,AD为斜边中线,且AD=12BC,作AE⊥AD,与BC的延长线交于点E.设DE=b,AE=2c,则x2-2bx+4c2=0较小的根是(　　)

A.BD的长度　B.CE的长度
C.AC的长度　D.AE的长度
18.【易错题】【教材变式·P35T3】(2023四川成都简阳简城学区期中,14,★★☆)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为　　　. 
19.(2022四川内江中考,24,★★★)已知x1、x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两实数根,且x2x1+x1x2=x12+2x2-1,则k的值为　　　. 
20.【开放型试题】(2022贵州贵阳中考,17,★☆☆)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法,它们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.
①x2+2x-1=0;②x2-3x=0;③x2-4x=4;④x2-4=0.






21.【新课标例67变式】(2022甘肃兰州十一中教育集团模拟,24,★★☆)阅读材料:
材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-ba,x1x2=ca.
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,∴m+n=1,mn=-1,则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)材料理解:一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=　　　,x1x2=　　　; 
(2)类比应用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求nm+mn的值;
(3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求1s-1t的值.










素养探究全练
22.【运算能力】(2022湖北黄石中考)阅读材料,解答问题:
材料1:
为了解方程(x2)2-13x2+36=0,如果我们把x2看成一个整体,然后设y=x2,则原方程可化为y2-13y+36=0,经过运算,原方程的解为x1,2=±2,x3,4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.
材料2:
已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,由韦达定理可知m+n=1,mn=-1.
根据上述材料,解决以下问题:
(1)直接应用:
方程x4-5x2+6=0的解为　　　　　; 
(2)间接应用:
已知实数a,b满足2a4-7a2+1=0,2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值;
(3)拓展应用:
已知实数m,n满足1m4+1m2=7,n2-n=7且n>0,求1m4+n2的值.











答案全解全析
基础过关全练
1.C　本题将解一元二次方程融入程序图中,命题新颖.根据题意得2(x-1)2=8,∴(x-1)2=4,∴x-1=±2,
∴x1=3,x2=-1.
2.解析　∵(x-1)2=9,∴x-1=±3,∴x=1±3,∴x1=4,x2=-2.
3.B　因式分解法解一元二次方程,需将方程整理成一边为0的形式.
4.解析　(1)二.
(2)整理得3x(3x-1)=-(3x-1),
移项得3x(3x-1)+(3x-1)=0,
提公因式得(3x-1)(3x+1)=0,
3x-1=0或3x+1=0,
所以x1=13,x2=-13.
5.A　原方程两边同时加4得x2-4x+4=-2+4,配方得(x-2)2=2.
6.解析　(1)3x2-6x-2=0,x2-2x=23,x2-2x+1=23+1,即(x-1)2=53,∴x-1=±153,∴x1=1+153,x2=1-153.
(2)x2+4x-1=0,x2+4x=1,x2+4x+4=1+4,即(x+2)2=5,∴x+2=±5,∴x1=5-2,x2=-5-2.
7.D　由x=2+4-4×3×(-1)2×3可知一元二次方程二次项系数a=3,一次项系数b=-2,常数项c=-1,∴这个一元二次方程可以是3x2-2x-1=0.
8.解析　本题以对话的形式给出一元二次方程,且融入了分类讨论思想,命题新颖.
分情况求解如下:
(1)当x≥-x,即x≥0时,-x=x2-1,即x2+x-1=0,解得x=-1±52.∵x≥0,∴x=-1+52;
(2)当x<-x,即x<0时,x=x2-1,即x2-x-1=0,解得x=1±52.∵x<0,∴x=1-52.
综上所述,方程的解为x1=-1+52,x2=1-52.
9.A　∵a=4,b=-2,c=-m2,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×4×(-m2)=4+16m2>0,∴方程有两个不相等的实数根.
10.解析　(1)证明:Δ=(-k)2-4×1×(k-1)=k2-4k+4=(k-2)2,∵(k-2)2≥0,∴Δ≥0,∴无论k为何值,方程总有两个实数根.
(2)∵x=k±(k-2)2,∴x1=k-1,x2=1,∵等腰△ABC的一边长为2,另两边长是这个方程的两个根,∴分情况讨论如下:
①当2为腰长时,k-1=2,解得k=3;
②当1为腰长时,k-1=1,k=2,此时1+1=2,故此种情况不存在.
综上所述,k=3.
11.C　根据一元二次方程根与系数的关系得α+β=5,αβ=-2,所以α+β+αβ=5-2=3.
12.A　本题借助矩形的周长和面积求得一元二次方程的两根和与两根积,命题新颖.∵AB和BC的长恰好是方程x2+mx+n=0的两根,∴AB+BC=-m,AB·BC=n,∵矩形ABCD的周长为12,面积为5,∴AB+BC=6,AB·BC=5,∴m=-6,n=5.
13.解析　解法一:(根与系数关系法)由一元二次方程根与系数的关系可得x1·x2=-5,∵x1=-1,∴x2=5,∴x1+x2=-m=-1+5=4,∴m=-4.
解法二:(代入法)由题意得(-1)2+(-1)×m-5=0,解得m=-4;
当m=-4时,方程为x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,所以方程的另一个根x2=5.
[变式]　1
解析　设方程的另一个根为a,∵方程(m-1)x2+2x+m2-1=0是一元二次方程,∴m-1≠0,解得m≠1.∵a×0=m2-1m-1=m+1=0,∴m=-1.将m=-1代入原方程可得-2x2+2x=0,∴a+0=1,∴a=1.
能力提升全练
14.A　依题意得x2-x=k,即x2-x-k=0,∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根,∴Δ=(-1)2-4×(-k)>0,解得k>-14.
15.D　甲的解法错误,方程两边不能同时除以(x-1),会漏解;乙的解法错误,没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式,所以c的值错误;丙的解法错误,配方时,方程两边应同时加上一次项系数一半的平方.
16.A　把x=x1代入方程得x12-x1-2 022=0,即x12-2 022=x1,∵x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,∴x1+x2=1,x1x2=-2 022,则原式=x1(x12-2 022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1+4 044=4 045.
17.B　∵AE⊥AD,∴AD2=DE2-AE2,∵DE=b,AE=2c,∴AD2=b2-4c2,∵x2-2bx+4c2=0的解为x=2b±4b2-16c22=b±b2-4c2,∴x的最小值是DE-AD的长度,∵AD为斜边中线,且AD=12BC,∴AD=CD,∴x的最小值是DE-CD=CE的长度.
18.1
解析　只有当一元二次方程的根存在时,才可以使用根与系数的关系解题,否则会产生多解的错误.∵x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,∴x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1.∵x1+x2=1-x1x2,∴2m=1-(m2-m-1),解得m1=-2,m2=1.∵方程x2-2mx+m2-m-1=0有两个实数根,∴Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,解得m≥-1,∴m=1.
19.2
解析　∵x1、x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两实数根,∴x1+x2=2,x1·x2=k-1,x12-2x1+k-1=0,∴x12=2x1-k+1,∵x2x1+x1x2=x12+2x2-1,∴x12+x22x1x2=2x1-k+1+2x2-1,∴(x1+x2)2-2x1x2x1x2=2(x1+x2)-k,
∴22-2(k-1)k-1=4-k,解得k=2或k=5.
(1)当k=2时,关于x的方程为x2-2x+1=0,符合题意;
(2)当k=5时,关于x的方程为x2-2x+4=0,Δ<0,方程无实数解,不符合题意.
综上所述,k=2.
20.解析　答案不唯一,如:①利用公式法:x2+2x-1=0,Δ=22-4×1×(-1)=4+4=8,∴x=-2±82=-2±222=-1±2,∴x1=-1+2,x2=-1-2.
②利用因式分解法:∵x2-3x=0,∴x(x-3)=0,∴x1=0,x2=3.
21.解析　(1)32;-12.
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,∴m+n=32,mn=-12,∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2-2mnmn=322-2×-12-12=-132.
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,∴s、t是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个实数根,∴s+t=32,st=-12.∵(t-s)2=(t+s)2-4st=322-4×-12=174,∴t-s=±172,∴1s-1t=t-sst=±172-12=±17,∴1s-1t的值为-17或17.
素养探究全练
22.解析　(1)令y=x2,则有y2-5y+6=0,∴(y-2)(y-3)=0,∴y1=2,y2=3,∴x2=2或3,∴x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3.
(2)∵a≠b,∴a2≠b2或a2=b2,分情况求解如下:
①当a2≠b2时,令a2=m,b2=n,∴m≠n,则2m2-7m+1=0,2n2-7n+1=0,∴m,n是方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根,∴m+n=72,mn=12,此时a4+b4=m2+n2=(m+n)2-2mn=454.
②当a2=b2时,a2=b2=7±414,此时a4+b4=2a4=2(a2)2=45±7414,
综上所述,a4+b4=454或45±7414.
(3)令1m2=a,-n=b,则a2+a-7=0,b2+b-7=0,∵n>0,∴1m2≠-n,即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根,
∴a+b=-1,ab=-7,故1m4+n2=a2+b2=(a+b)2-2ab=15.