第22章 一元二次方程 华东师大版九年级数学上册单元测试卷(含答案)

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第22章测试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．
1. 用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
【答案】B
解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．

2. （2020秋•内乡县期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论．
解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．

3. （2020秋•洛阳新安期中）某食品厂七月份生产面包52万个，第三季度生产面包共196万个，若x满足的方程是52+52（1+x）+52（1+x）2＝196，则x表示的意义是（　　）
A．该厂七月份的增长率
B．该厂八月份的增长率
C．该厂七、八月份平均每月的增长率
D．该厂八、九月份平均每月的增长率
【答案】D
【分析】一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据方程结合题意确定x的意义即可．
解：依题意得八、九月份的产量为52（1+x）、52（1+x）2，
∴52+52（1+x）+52（1+x）2＝196中的x表示的意义是该厂八、九月份平均每月的增长率，故选：D．

4. （2020秋•宛城区期末）欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得出AC2+BC2＝AB2，结合AB＝AD+BD，AC＝b，BD＝BC＝，即可得出AD2+aAD＝b2，进而可得出AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝，
∴b2+（）2＝（AD+）2＝AD2+aAD+（）2，
∴AD2+aAD＝b2．
∵AD2+aAD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且AD的长度为正数，
∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：C．


5. (2020驻马店新蔡期中)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）
A. 34 B.30 C.30或34 D.30或36
【答案】A.
【解析】分两种情况讨论：
① 若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，
∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，
∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,
∴m=34.
此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.
∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.
② 若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，
∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.
∴42-12×4+m+2=0，
解得，m=30.
此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.
∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.
综上，m的值为34.

6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【分析】设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，利用三角形面积的计算公式，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合当点Q移动到点C后停止点P也随之停止移动，即可确定t值．
解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得：×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，解得：t1＝3，t2＝5．
又∵2t≤6，∴t≤3，∴t＝3．故选：B．

7. （2020•南阳南召期中）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【解析】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．


8. （2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【解析】解：根据新运算法则可得：，
则即为，整理得：，则，
可得：
，；，方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.


9. （2020·洛阳孟津期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】将化简可得，，
利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，
可得k＝2符合题意.
解：由韦达定理，得：＝k－1，,
由，得：，
即，所以，,
化简，得：，解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程有两个实数根，
所以，△＝＝〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故选D.

10. （2021·驻马店新蔡期末）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，代入即可得出答案．
【解析】∵，∴，，
∴=
====，
∵，且，∴，
∴原式=，故选：C．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．
11. 一元二次方程的根是_____．
【答案】
【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【解析】解：或，所以．故答案为．

12. （2021·南阳邓州期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______．
【答案】2.
【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：，则，故答案为2．

13. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．

14. （2020·2020·周口商水期末）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．

【答案】
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．解得x=2或x=9(舍去)．故答案为2．

15. （2021·洛阳偃师期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为　　．

三、解答题：本大题共8小题，合计75分．第16题8分,第17、18、19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题11分
16. （2020·南阳镇平期中）（1）用配方法解方程；
（2）用公式法解方程：．
解：（1）移项得： x2-2x=2，
配方得：x2-2x+1=2+1，
（x-1）2=3，
开方得：，
，，
所以原方程的解为：，；
（2）∵a=1，b=2，c=-5，，
∴ ，
∴．


17. （2020秋•北京期末）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．
（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）证明：△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0△＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，
即：n2＝﹣8m．
以下答案不唯一，如：
当n＝4，m＝﹣2时，方程为x2﹣2x+1＝0．
解得x1＝x2＝1．

18. （2020秋•洛阳偃师期中）如图，某居民小区改造，计划在居民小区的一块长50米，宽20米的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的，求人行通道的宽度是多少米？

【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（50﹣3x）米、宽为（20﹣2x）米的矩形，根据两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（50﹣3x）米、宽为（20﹣2x）米的矩形，
根据题意得：（50﹣3x）（20﹣2x）＝×50×20，
整理得：x1＝25（舍去），x2＝，
∴x＝．
答：人行通道的宽度是米．

19. （2020•南阳镇平模拟）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当时，对应的______．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．
（2）∵，∴，
当时，．故答案为：；1128．
（3）依题意，得：，化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．


20. （2020秋•南阳市三中校级月考）阅读下面材料：
若设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∵，
∴＝a[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
于是，二次三项式就可以分解因式ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
（1）请用上面的方法将多项式4x2+8x﹣1分解因式．
（2）判断二次三项式2x2﹣4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由．
（3）如果关于x的二次三项式mx2﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围．
【分析】（1）令多项式等于0，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）中即可把多项式分解因式；
（2）令二次三项式等于0，找出其中的a，b及c，计算出b2﹣4ac，发现其值小于0，所以此方程无解，故此二次三项式不能利用上面的方法分解因式；
（3）因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于0，得到的方程有解，即b2﹣4ac大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
解：（1）令4x2+8x﹣1＝0，
∵a＝4，b＝8，c＝﹣1，b2﹣4ac＝64+16＝80＞0，
∴x1＝，x2＝，
则4x2+8x﹣1＝4（x﹣）（x﹣）；
（2）二次三项式2x2﹣4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，理由如下：
令2x2﹣4x+7＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣56＝﹣40＜0，
∴此方程无解，
则此二次三项式不能用上面的方法分解因式；
（3）令mx2﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）＝0，
由此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解，
∴b2﹣4ac＝4（m+1）2﹣4m（m+1）（1﹣m）≥0，
化简得：（m+1）[4（m+1）+4m（m﹣1）]≥0，即4（m+1）（m2+1）≥0，
∵m2+1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥﹣1，又m≠0，1﹣m≠0
则m≥﹣1且m≠0且m≠1时，此二次三项式能用上面的方法分解因式．


21. （2020·南阳镇平期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
①x2﹣x﹣12＝0；
②x2﹣9x+20＝0；
（2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
解：（1）①分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，
解得：x＝4或x＝﹣3，
∵4≠﹣3+1，
∴x2﹣x﹣12＝0不是“邻根方程”；
②分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
解得：x＝4或x＝5，
∵5＝4+1，
∴x2﹣9x+20＝0是“邻根方程”；
（2）分解因式得：（x+m）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣m或x＝1，
∵方程程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程，
∴﹣m＝1+1或﹣m＝1﹣1，
∴m＝0或﹣2．

22. （2020•鹤壁市期末）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业
解：x2﹣7x+10＝0
a＝1 b＝﹣7 c＝10
∵b2﹣4ac＝9＞0
∴x＝＝
∴x1＝5，x2＝2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m＝2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．
错误原因：此时不能构成三角形．
（1）当m＝2时，方程为x2﹣2x+＝0，
∴x1＝，x2＝．
当为腰时，+＜，
∴、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时周长为++＝．
答：当m＝2时，△ABC的周长为．
（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝0，
∴m1＝m2＝1．
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

23. （2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
解：（1）∵，∴，2，3是“和谐三数组”；故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，∴，∴，∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，解得：m=﹣4或﹣2或2．

若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（　　）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
B

已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，
解得：k＝12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，
解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．
答：k的值为12或3．