第22章 一元二次方程 华东师大版数学九年级上册素养检测(含解析)

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第22章　素养综合检测(满分100分,限时60分钟)　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分,共24分)1.(2023河南安阳林州太行国际学校月考)下列方程是一元二次方程的是              (　　)A.x+y=1　B.y=1+x2C.x2-1=0　D.x-=12.(2023山西临汾期中)我们在解一元二次方程(x+1)2-9=0时,先将等号左边利用平方差公式进行因式分解,得到(x+1+3)(x+1-3)=0,再把它转化为两个一元一次方程,即x+1+3=0或x+1-3=0,进而解得x1=-4,x2=2,这种解方程的过程体现出来的数学思想是              (　　)A.抽象思想B.数形结合思想C.公理化思想D.转化思想3.【过程性学习试题】(2023四川乐山外国语学校月考)小明解方程x2-2x-1=0的过程如图所示,他在解答过程中开始出错的步骤是              (　　)A.第①步　B.第②步C.第③步　D.第④步4.【主题教育·革命文化】(2023河南开封祥符期中)全国各地积极开展“弘扬红色文化,重走长征路”的主题教育学习活动,某市革命纪念馆成为重要的活动基地,据了解,今年6月份该基地接待参观人数10万人,8月份接待参观人数增加到12.1万人,设这两个月参观人数的月平均增长率为x,则下面所列方程正确的是              (　　)A.10(1+x)2=12.1B.12.1(1-x)2=10C.12.1(1-2x)=10D.10(1+2x)=12.15.【最值问题】(2023山西晋城陵川期中)已知x=m是关于x的一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根,则m-n的最小值为              (　　)A.4　B.C.-　D.-6.【易错题】【新独家原创】如果关于x的方程kx2-x+1=0有实数根,那么k的取值范围是              (　　)A.k<B.k≤且k≠0C.-≤k≤　D.-≤k≤且k≠07.【一题多解】【新定义型试题】(2023四川攀枝花米易期中)定义运算:a□b=a(1-b).若a,b是关x的方程x2-x+m=0(m<0)的两根,则b□b-a□a的值为              (　　)A.0　B.1　C.2　D.与m有关8.【数学文化】(2023福建泉州培元中学期中)欧几里得在《几何原本》中记载了用“图解法”解方程x2+ax=b2的方法,类似地,我们可以用折纸的方法求方程x2+2x-4=0的一个正根,如图,一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出AD、BC的中点E、F,再沿过点C的直线折叠,使线段BC落在线段EC上,点B的对应点为点N,折痕为CM,点M在边AB上,连结MN、EM,此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程x2+2x-4=0的一个正根,则这条线段是              (　　)A.线段EM　B.线段CMC.线段BM　D.线段AM二、填空题(每小题4分,共20分)9.(2022四川资阳中考)若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根,则2a2+4a的值是　　　. 10.(2023四川遂宁射洪中学教育联盟期中)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的解,则这个三角形的周长是　　　. 11.【开放型试题】(2023海南师范大学附中月考)以-2为一根且二次项系数是1的一元二次方程可写为　　　　　(写一个即可). 12.【规律探究题】(2023山西太原杏花岭期中)我们知道一元二次方程x2=-1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1.若规定一个新数“i”,使其满足i2=-1,且进一步规定:一切实数可以与新数“i”进行四则运算,同时原有的运算法则和运算律仍然成立,则i+i2+i3+…+i2 021的值是　　　. 13.【新考法】(2023山西运城万荣月考)点A,B在数轴上的位置如图所示,点A对应的数是x1,点B对应的数是x2,AB=1,且x1,x2是方程x2-4x+k=0的两根,则k的值为 　　　. 三、解答题(共56分)14.(9分)(2023福建漳州实验中学月考)选择合适的方法解下列方程:(1)x2-49=0;　　　(2)2x2+6x-8=0;(3)x2+x-1=0.    15.(7分)【新考法】(2023河南南阳社旗期中)解方程:100(1-x)2=81.(1)你选用的解法是　　　　　. (2)直接写出该方程的解是　　　　　. (3)请你结合生活经验,设计一个问题,使它能利用建立方程模型“100(1-x)2=81”来解决.    16.(8分)(2023湖南衡阳九中期中)关于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数m的取值范围;(2)若方程两实数根x1,x2满足+=10,求m的值.    17.(10分)【代数推理】(2023四川眉山洪雅实验中学月考)试说明无论m,n为何值,代数式m2+n2-8m+4n+20的值总是非负数,并求出当m,n取何值时,这个代数式的值最小.  18.(10分)(2023河南南阳宛城月考)我区某店销售某品牌置物架,平时每天平均可售出20个,每个盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店在“双十一”期间采取了降价促销措施,在每个盈利不少于27元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若每个降价3元,则平均每天的销售量为　　　件. (2)当每个置物架降价多少元时,该商店每天的销售利润为1 200元?  19.(12分)【新定义型试题】(2021福建厦门九中期中)(12分)定义:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2(x1<x2),分别以x1,x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2),则称点M为该一元二次方程的衍生点.(1)若关于x的一元二次方程为x2-2(m-1)x+m2-2m=0.①求证:无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根,并求出该方程的衍生点M的坐标;②直线l1:y=x+5与x轴交于点A,直线l2过点B(1,0),且l1与l2相交于点C(-1,4),若由①得到的点M在△ABC的内部,求m的取值范围;(2)是否存在b,c,使得无论k(k≠0)为何值,关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+3(2-k)上?若存在,请求出b,c的值;若不存在,请说明理由.      答案全解全析 
1.C　x+y=1是二元一次方程,不是一元二次方程;y=1+x2,含有两个未知数,不是一元二次方程;x-=1是分式方程,不是一元二次方程.故选C.2.D　这种解法体现的数学思想是转化思想.3.C　∵x2-2x-1=0,∴x2-4x-2=0,∴x2-4x=2,则x2-4x+4=2+4,即(x-2)2=6,∴x-2=±,∴x1=2+,x2=2-,∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步.4.A　根据今年8月份该基地接待参观人数=今年6月份该基地接待参观人数×(1+这两个月参观人数的月平均增长率)2,即可列出方程为10(1+x)2=12.1.5.D　依题意把x=m代入方程得m2+2m+n-3=0,整理得n=-m2-2m+3,则m-n=m+m2+2m-3=-.因为≥0,所以-≥-,即m-n的最小值为-.6.C　本题易想当然地认为方程kx2-x+1=0是一元二次方程,因考虑问题不全面而致错.分情况求解如下:(1)当k≠0时,方程为一元二次方程,所以解得-≤k≤且k≠0;(2)当k=0时,方程为-x+1=0,有实数根.综上所述,k的取值范围是-≤k≤.7.A　(解法一):[一般代入法]∵a,b是方程x2-x+m=0(m<0)的两根,∴a+b=1,∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.(解法二):[整体代入法]∵a,b是方程x2-x+m=0(m<0)的两根,∴a+b=1.∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=(a2-b2)+(b-a)=(a+b)(a-b)-(a-b)=(a-b)(a+b-1)=0.(解法三):[方程变形法]∵a,b是方程x2-x+m=0(m<0)的两根,∴a2-a=-m,b2-b=-m,∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=-(b2-b)+(a2-a)=m-m=0.8.C　设BM=m,则AM=2-m,由题意可知△BCM≌△NCM,E是AD的中点,∴MN=BM=m,DE=AE=1,MN⊥CE,∴CE==,∵S正方形ABCD=S△BCM+S△AEM+S△CDE+S△CME,∴2×2=×2×m+×1×(2-m)+×1×2+××m,∴m=-1.∵x2+2x-4=0的正根为x=-1,∴这条线段是线段BM.9.6解析　∵a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根,∴a2+2a-3=0,∴a2+2a=3,∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6.10.13解析　x2-6x+8=0,(x-2)(x-4)=0,∴x-2=0或x-4=0,∴x1=2,x2=4.因为三角形两边的长分别为3和6,所以第三边的长为4,故这个三角形的周长=3+6+4=13.11.答案不唯一,如x2+4x+4=0解析　答案不唯一,如∵一元二次方程的二次项系数为1,且一个根为-2,∴方程为(x+2)(x+m)=0,令m=2,则方程为(x+2)(x+2)=0,即x2+4x+4=0.12.i解析　由题意得i1=i,i2=-1,i3=i2·i=(-1)·i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,i5=i4·i=i,i6=i5·i=-1,故可发现4次一循环,一个循环内的和为0,∵2 021÷4=505……1,∴i+i2+i3+i4+…+i2 021=i.13.解析　本题将一元二次方程根与系数的关系融入数轴中考查.∵AB=1,∴|x1-x2|=1,∴(x1-x2)2=1,∵x1,x2是方程x2-4x+k=0的两根,∴x1+x2=-=4,x1x2==k,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4k,∴42-4k=1,∴16-4k=1,∴k=.14.解析　(1)x2-49=0,x2=49,∴x=±7,∴x1=7,x2=-7.(2)2x2+6x-8=0,x2+3x-4=0,∴(x+4)(x-1)=0,∴x+4=0或x-1=0,∴x1=1,x2=-4.(3)∵a=1,b=,c=-1,∴Δ=b2-4ac=2-4×1×(-1)=6>0,∴x==,即x1=,x2=.15.解析　(1)直接开平方法.(2)x1=0.1,x2=1.9.(3)答案不唯一,如:某种药品的原价是100元/盒,经过两次降价后的单价是81元,那么平均每次降价的百分率是多少?16.解析　(1)∵关于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有两个不相等的实数根x1,x2,∴Δ=(-2)2-4(-m+2)=4m-4>0,∴m>1.(2)∵+=10,∴(x1+x2)2-2x1x2=10,∵x1+x2=2,x1x2=-m+2,∴22-2(-m+2)=10,解得m=5.17.证明　m2+n2-8m+4n+20=m2-8m+16+n2+4n+4=(m-4)2+(n+2)2.∵(m-4)2≥0,(n+2)2≥0,∴(m-4)2+(n+2)2≥0,∴无论m,n为何值,代数式m2+n2-8m+4n+20的值总是非负数.当m-4=0,n+2=0,即m=4,n=-2时,这个代数式的值最小.18.解析　(1)依题意可知,若每降价3元,则平均每天的销售量为20+2×3=26(件).(2)设每个置物架降价x元时,该商店每天的销售利润为1 200元.根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1 200,整理得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要求每个盈利不少于27元,∴x=10.答:当每个置物架降价10元时,该商店每天的销售利润为1 200元.19.解析　(1)①证明:∵x2-2(m-1)x+m2-2m=0,∴Δ=[-2(m-1)]2-4(m2-2m)=4>0,∴无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.由x2-2(m-1)x+m2-2m=0解得x1=m-2,x2=m,∴方程x2-2(m-1)x+m2-2m=0的衍生点M的坐标为(m-2,m).②如图,∵直线l1:y=x+5与x轴交于点A,∴A(-5,0),由①得,M(m-2,m),令m-2=x,m=y,∴y=x+2,∴点M在直线y=x+2上,刚好和△ABC的边BC交于点(0,2).令y=0,则x+2=0,∴x=-2,∴-2<m-2<0,∴0<m<2.(2)存在,理由如下:∵直线y=kx+3(2-k)=k(x-3)+6过定点M(3,6),∴x2+bx+c=0的两个根为x1=3,x2=6,∴3+6=-b,3×6=c,∴b=-9,c=18.