第22章 一元二次方程 华师大版数学九年级上册学情评估试题(含答案)

第22章 一元二次方程 学情评估

一、选择题(每题3分，共24分)

1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是(　　)

A．(a－1)x2－2x＝0  B．x2＋＝－1  C．x2－4＝2y  D．－2x2＋3＝0

2．已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为(　　)

A．4    B．－4   C．3    D．－3

3．方程(x＋1)2＝9的根为(　　)

A．x1＝2，x2＝－4   B．x1＝－2，x2＝4

C．x1＝4，x2＝2    D．x1＝－2，x2＝－4

4．若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是(　　)

A．36   B．9    C．6    D．－9

5．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，则所列方程为(　　)

A．30(1＋x)2＝50    B．30(1－x)2＝50

C．30(1＋x2)＝50    D．30(1－x2)＝50

6．等腰三角形的两条边长分别是方程x2－8x＋12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(　　)

A．10  B．12  C．14  D．10或14

7．以x＝为根的一元二次方程可能是(　　)

A．x2－4x－c＝0    B．x2＋4x－c＝0

C．x2－4x＋c＝0    D．x2＋4x＋c＝0

8．某小区计划在一个长16 m，宽9 m的矩形场地ABCD内修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为112 m2，设小路的宽为x m，若x满足方程x2－17x＋16＝0，则修建的示意图是(　　)

二、填空题(每题3分，共18分)

9．一元二次方程3x2＋2x－5＝0的一次项系数是________．

10．代数式x2－2x与4x的值相等，则x的值为________．

11．若实数a，b分别满足a2－4a＋3＝0，b2－4b＋3＝0，且a≠b，则＋的值为________．

12．如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙(墙足够长)，另外三边所围的栅栏的总长度是18 m，若矩形的面积为36 m2，则AB的长度是________m.

(第12题)　　　　(第13题)

13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x－1，点B对应的数是x2＋x，若AB＝5，则x的值为________．

14．对于一元二次方程x2＋bx＋c＝0，若b2－4c≥0，则有x1＋x2＝－b，x1x2＝c.方程x2－3x＋2＝0，y2－4y＋5＝0所有根之和为________．

三、解答题(15题8分，16～17题每题9分，18～19题每题10分，20题12分，共58分)

15. 用适当的方法解下列方程：

(1)2x2－4x＝1；

(2)(2x＋3)2－2(2x＋3)＝0.

16．定义：若一个一元二次方程的某一个根是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程x2＝3x与x2－2x＋m－1＝0是“友好方程”，求m的值．

17．已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．

18. 请阅读下面解方程(x2＋1)2－2(x2＋1)－3＝0的过程．

解：设x2＋1＝y，则原方程可变形为y2－2y－3＝0.

解得y1＝3，y2＝－1.

当y＝3时，x2＋1＝3，解得x＝±.当y＝－1时，x2＋1＝－1，x2＝－2，此方程无实数根．

所以原方程的根为x1＝，x2＝－.

我们将上述解方程的方法叫做换元法．

请用换元法解方程：－2－15＝0.

19．金都百货某小家电经销商销售一种台灯，每个台灯的成本为40元，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个，经市场调查发现，这种台灯的售价每降低2元，每周的销售量可增加20个．

(1)台灯的售价降低4元，平均每周的销售量为________个；

(2)如果该经销商每周要获得利润2 240元，那么这种台灯的售价应降低多少元？

(3)在(2)的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该经销商应按原售价的几折出售？

20. 阅读材料：各类方程的解法．

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的根．

(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的根是x1＝0，x2＝________，x3＝________；

(2)拓展：用“转化”思想求方程 ＝x的根；

(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华先把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把绳子PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD，DC走到点C处，把绳子剩下的一段拉直，绳子的另一端恰好落在点C处．求AP的长．

  (第20题)

答案

一、1.D　2.B　3.A　4.B　5.A　6.C　7.A　8.C

二、9.2　10.0或6　11.　12.3

13.　点拨：根据题意，得x2＋x－(2x－1)＝5，

整理，得x2－x－4＝0.因为a＝1，b＝－1，c＝－4，

所以b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－4)＝17＞0，

所以x＝＝，

所以x1＝，x2＝.因为点A在数轴的负半轴，所以2x－1＜0，所以x＜，因为点B在数轴的正半轴，所以x2＋x>0，所以x<－1或x>0，所以x<－1或0<x<，所以x＝.

14．3

三、15.解：(1)二次项系数化为1，得x2－2x＝.

配方，得x2－2x＋1＝＋1，即(x－1)2＝.

直接开平方，得x－1＝±.故x1＝，x2＝.

(2)原方程可化为(2x＋3)(2x＋3－2)＝0，

即(2x＋3)(2x＋1)＝0.可得2x＋3＝0或2x＋1＝0.

解得x1＝－，x2＝－.

16．解：x2＝3x，解得x1＝0，x2＝3.

将x＝0代入x2－2x＋m－1＝0中，得m＝1；

将x＝3代入x2－2x＋m－1＝0中，得m＝－2.

所以m的值为1或－2.

17．解：(1)因为关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，所以Δ＝32－4×1×(k－2)≥0，解得k≤，

即k的取值范围是k≤.

(2)因为方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1，x2，所以x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2，因为(x1＋1)(x2＋1)＝－1，所以x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－1，所以k－2＋(－3)＋1＝－1，解得k＝3，即k的值是3.

18．解：设＝a，则原方程可变形为a2－2a－15＝0，

解得a1＝－3，a2＝5.当a＝－3时，＝－3，解得x＝，经检验，x＝是分式方程的根；当a＝5时，＝5，解得x＝，经检验，x＝是分式方程的根．所以原方程的根是x1＝，x2＝.

19．解：(1)140

(2)设这种台灯的售价降低x元，依题意得(60－x－40)＝2 240，整理得x2－10x＋24＝0，

解得x1＝4，x2＝6.

答：这种台灯的售价应降低4元或6元．

(3)因为要尽可能让利于顾客，赢得市场，

所以每个台灯的售价应降低6元，售价为60－6＝54(元)，折扣率为×100%＝90%.

答：该经销商应按原售价的九折出售．

20．解：(1)－2；1

(2)方程的两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，

所以(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.

当x＝－1时，＝＝1≠－1，舍去；当x＝3时，＝3＝x，所以方程＝x的根是x＝3.

(3)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m．设AP＝x m，则PD＝(8－x)m，因为BP＋CP＝10 m，BP＝，CP＝，所以＋＝10，所以＝10－，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－20＋9＋x2，整理，得5＝4x＋9，

两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，解得x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的根．

答：AP的长为4 m.