四川省泸县第四中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

泸县四中2022-2023学年高一下期第一学月考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合交集运算求解即可.

【详解】解：因为，，

所以

故选：C

2. 若，则“”是“”的　　

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】运用充分必要条件定义判断求解．

【详解】解：，

当时，即或，

不一定成立

当时，成立，

由充分必要条件定义可判断：

“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

3. 在平面直角坐标系中，若角的始边为轴的非负半轴，其终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的定义求解.

【详解】因为其终边经过点，所以.

故选：A

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】先由，得到，再利用诱导公式求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

，

故选：D

5. 若函数，则f(x)是

A. 最小正周期为奇函数； B. 最小正周期为的奇函数；

C. 最小正周期为2的偶函数； D. 最小正周期为的偶函数；

【答案】D

【解析】

【详解】考查三角变换和三角函数的性质．通过二倍角公式可将f(x)等价转化为f(x)=-cos2x，由余弦函数的性质知f(x)为最小正周期为的偶函数，选D．

6. 已知，且，则x的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将转化为或，利用数形结合法求解.

【详解】解：等价于或，

如图所示：

由正切函数图象知，

故选：B．

7. 若函数与的图象关于直线对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先设出函数图像上任意点的坐标，再求出关于直线对称的点，代入函数的解析式即可求解．

【详解】解：设函数图像上的点为，关于直线对称的点为，

将点代入函数的解析式可得：，

故，

故选：D．

8. 已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据，，得，结合正弦函数性质，确定的位置范围即可求出ω的范围﹒

【详解】∵，，∴，

函数在区间上恰有3个零点，

则﹒

故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若在第一象限，则下列选项中，一定为正数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据角的象限推出和的终边所在象限，再根据三角函数在各象限的符号可判断出答案.

【详解】在第一象限，，

，故是第一或第三象限角，

因而一定为正，可能为正，可能为负，故C正确，D错误；

又是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上，故恒正，可正可负或为0，故正确，B错误，

故选：AC.

10. 已知角的终边与单位圆相交于点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.

【详解】根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；

，C正确；

，D错误.

故选：ABC

11. 下列关于函数说法正确的是（    ）

A. 周期为 B. 增区间是

C. 图像关于点对称 D. 图象关于直线对称

【答案】ABC

【解析】

【分析】

令，借助于的性质一一验证ABCD.

【详解】对于A：周期,故A正确;

对于B：要求的增区间,只需要

解得,故增区间是,故B正确;

对于C：因为关于对称，即，解得：，

当时，，故点为一个对称中心；故C正确;

对于D：因为关于对称，即，解得：，

无论k取什么值，，所以图象不关于直线对称；故D错误.

故选：ABC

【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即

借助于或的性质解题；

12. 已知，则a，b满足的关系有（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A正确，根据，结合基本不等式可判断BCD的正误.

【详解】由，则，

A：，正确；

B：由A知：且，所以，即，故正确，

C：由A、B知：，而，故错误，

D：由上，，故正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 不等式的解集是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解法直接求解.

【详解】不等式，即，解得，

所以不等式解集为.

故答案为：

14. 在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转 得到点，点的横坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数定义求得，确定与x轴正半轴的夹角为,结合三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.

【详解】由题意得,

设与x轴正半轴的夹角为，则，

则与x轴正半轴的夹角为，

故点的横坐标为 ，

故答案为：

15. 写出一个同时满足下列条件①②③的函数______．

①为偶函数；②的最小值为3；③是周期为2的函数．

【答案】

【解析】

【分析】根据题设对函数的限制条件，即可直接写出满足题意的解析式.

【详解】偶函数，故关于对称；

则满足题意的函数答案不唯一，可以为：.

故答案为：.

16. 已知满足，当，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由已知条件得出函数的周期，由可得或，由题意作出函数在上的大致图象，数形结合得答案．

【详解】因为，所以为周期是8的周期函数，则，

由，得或，

作出函数在上的大致图象，如图，

由图可知，在上，函数的图象与直线有六个交点，即时，有六个实根，从而时，应该有两个实根，即函数的图象与直线有两个交点，故，得.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，

（1）当，求集合；

（2）若集合，且，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解不等式，即可得解；

（2）由，得，再分和两种情况讨论，列出不等式，即可得解.

【小问1详解】

解：当，；

【小问2详解】

解：因为，所以，

，

，

当，即时，，

则，解得，

当，即时，，

此时，所以不符题意，

综上，.

18. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.

（1）求的值；

（2）求的值

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义可得，进而可求正切，

（2）由诱导公式化简，代入即可求解.

【小问1详解】

由三角函数定义得，

两边平方解得，又，故 ，

∴ ．即．

【小问2详解】

，

由（1）得．原式

19. 已知，为第二象限角．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；

（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.

【小问1详解】

，为第二象限角，

，

则；

【小问2详解】

.

20. 已知函数

(1)求的最值、单调递减区间；

（2）先把的图象向左平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的值.

【答案】（1），，单调递减区间为；

（2）.

【解析】

【分析】（1）函数，得最大值为，并解不等式，得到函数的单调递减区间；

（2）由平移变换、伸缩变换得到函数，再把代入求值.

【详解】（1）因为，

所以当时，，

当时，.

由，

所以函数的单调递减区间为.

（2）的图象向左平移个单位得：，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得：，

当时，.

【点睛】本题考查三角函数中的辅助角公式、三角函数的性质、图象变换等知识，对三角函数图象与性质进行综合考查.

21. 已知函数，且

（1）求的单调递增区间；

（2）求在上的最值及其对应的的值.

【答案】（1）；   

（2）当时，；当时，.

【解析】

【分析】（1）求出，解不等式即得解；

（2）利用不等式的性质结合三角函数的图象和性质求解.

【小问1详解】

解：, ,

，

又，

，

，

的单调递增区间为.

小问2详解】

解：，

，

，

当时，，当，即时，.

22. 已知函数．

（1）当时，求的最大值；

（2）若函数为偶函数，求的值；

（3）设函数，若对任意，存在，使得，求的取值范围．

【答案】（1）1  （2） （3）

【解析】

【分析】

（1）代入的值，求出函数的最大值即可；

（2）根据偶函数图象关于轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得的值；

（3）求解的值域和的值域，可得，即可求解实数的取值范围．

【详解】（1）当时，

故当时，的最大值是1

（2）因为函数为偶函数，

，所以，

可得，

即实数的值为.

（3）

，

，

所以的值域为．

当时，存在，使得，设的值域，

转化为：函数的值域是的值域的子集；

即：当时，

函数，对称轴，

当时，即，可得；；

可得：；

当时，即，可得，或，

显然，不满足，此时无解；

当时，即，可得，；不满足，此时无解；

综上可得实数的取值范围为