四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期4月月考试题（Word版附解析）

泸县五中2023年春期高一第二学月考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据交集的定义即可得出答案.

【详解】，

.

故选：A.

2. 命题“对任意的，”的否定是（    ）

A. 存在， B. 存在，

C. 对任意的， D. 存在，

【答案】A

【解析】

【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答.

【详解】命题“对任意的，”是全称命题，全称命题的否定是特称命题，

所以命题“对任意的，”的否定是“存在，”.

故选：A

3. 在中，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用平行四边形性质及向量线性运算求解作答.

【详解】在中，令，则是对角线的中点，

.

故选：C

4. 结果为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据利用两角和的正切公式化简，从而可得出答案.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：B.

5. 在中，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：若，则，

∴，由正弦定理得，

所以，因为，所以，所以，∴，反之也成立，

故“”是“”的充要条件；

故选：C

6. ，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．

【详解】，

．

故选：

【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

7. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 和

【答案】D

【解析】

【分析】分别代入的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.

【详解】因为，，

所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；

所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；

所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；

所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；

故选：D.

8. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据若，，得到ac和，代入求解即可.

【详解】解：因为，

所以，即，

又，

所以，

所以，

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

分析】直接利用正弦定理进行边换角即可求解.

【详解】依题意，

因为a＝2bsinA，

由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，

所以sinA·(2sinB－)＝0，

因为0<A<，0<B<，所以sinA≠0，

所以2sinB－＝0，解得sinB＝，

所以B＝或

故选：AC.

10. 如果，，都是非零向量.下列判断正确的有（    ）

A. 若，，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用平行向量的定义可判断AD，利用数量积的概念及性质可判断BC.

【详解】∵，，都是非零向量，

∴若，，则，故A正确；

若，，则，但不一定等于，故B错误；

由，可得，整理可得，所以，故C正确；

若，则，故D正确.

故选：ACD.

11. 关于函数的下述四个结论正确的是（  ）

A. 是偶函数 B. 在区间单调递增

C. 在有4个零点 D. 的最大值为2

【答案】AD

【解析】

【分析】化简为，由此作出函数图象，结合图象一一判断各选项，可得答案.

【详解】由题意函数，

作出其图象如图：

由图象可知是偶函数，A正确；

在区间单调递减，B错误；

在有3个零点，C错误；

的最大值为2，D正确；

故选：AD

12. 已知函数．则下列说法正确的是（    ）

A. xR，使成立

B.  的图象关于原点对称

C. 若0<x1<x2<，则

D. 对，x2，x3，有成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出函数的周期后可判断A；求出可得判断B；求出的范围判断出函数在上的单调性，从而可判断C；求出函数在上的最值可判断D.

【详解】函数，

的最小正周期，故，，故A正确；

，其图象关于点对称，故B错误；

时，，所以函数在上单调递增，故C正确；

因为 ，所以，故，

，又，即，

所以任意，，，有恒成立，故D正确.

故选：ACD.

第II卷 非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，若向量，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量垂直的充要条件可得出的值，再结合向量模长公式即可.

【详解】由可得：，解之

故

故答案为：

14. 在中，点，满足，，若，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量的线性运算，求得，进而求得，即可求解.

【详解】根据向量的线性运算，可得

，

又由，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算法则的应用，其中解答中熟记向量的运算的法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15. 当时，函数取得最大值，则______.

【答案】0

【解析】

【分析】由辅助角公式得（其中），由此可得当时，函数取得最大值，即，然后将代入中化简可得答案

【详解】解：

（其中），

所以当时，函数取得最大值，

即，

所以，

所以

，

故答案为：0

16. 函数，若（），，则的最大值是______.

【答案】4

【解析】

【分析】图象法：画出函数的图象，根据图象分析与的取值范围和关系，结合基本不等式即可求出的取值范围．

【详解】解：先画出函数的图象，如下图：

因为（），，

即，

，由图知，则

，

当且仅当，即时，取等号，

又，所以，

又因，所以.

所以的最大值是4.

故答案为：4.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17 已知向量，，，且，．

（1）求向量、；

（2）若，，求向量，的夹角的大小.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；

（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．

【小问1详解】

解：因为，，，且，，

所以，，

所以，，

所以，；

【小问2详解】

解：设向量，的夹角的大小为．

由题意可得，，，

所以，

因为，所以．

18. 已知函数()的图象经过点.

（1）求的最小正周期；

（2）若，求的值域.

【答案】（1）.（2）

【解析】

分析】（1）将点代入函数中,可求得,整理,即可求得最小正周期；

（2）先求得,进而根据正弦函数的性质求解即可.

【详解】（1）因为函数的图象经过点,

所以,

解得,

所以,

所以最小正周期为.

（2）因为,所以,

所以当,即时,取得最大值,最大值是；

当,即时,取得最小值,最小值是

所以的值域是.

【点睛】本题考查正弦型函数的周期性,考查正弦型函数的值域,考查运算能力.

19. 已知若，，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【详解】分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式即可；

（2）再次运用两角和差的余弦公式即可.

详解：（1）∵    ∴

∵    ∴

∴

（2）∵    ∴    ∵    ∴

∴

点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用.

20. 在中，角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的值

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】对问题（1）根据题目条件结合三角形的正弦定理以及，即可求出的值；对问题（2），根据（1）的结论，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可求出的值．

【详解】（1）∵，

∴，．．

即，

∵，∴ ，则，

（2）∵的面积为，

∴，得

∵，∴ ，

∴，即 ，

∵，∴ ，

21. 已知函数的最小正周期为．

（1）求的解析式；

（2）若关于x的方程在区间上有相异两解

求：①实数a的取值范围；

②的值．

【答案】（1）   

（2）①，②

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；

（2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函数的对称性即可得到的值.

【小问1详解】

．

因为的最小正周期为，所以，解得．

所以．

【小问2详解】

①，即．

关于x的方程在区间上有相异两解，，

也即函数与的图像在区间上有两个交点，

由，得，

在上单调递增，在上单调递减，且，

做出在上的图像如图，

由图可知，要使函数与的图像在区间上有两个交点，则有，

所以实数a的取值范围为．

②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称，

则有，所以，

所以的值为．

22. 将二次函数的图象在坐标系内自由平移，且始终过定点，则图象顶点也随之移动，设顶点所满足的表达式为二次函数.例如，当时，；当时，.

（1）当，图象平移到某一位置时，且与不重合，有，其中为坐标原点，求的坐标；

（2）记函数在区间上的最大值为，求的表达式；

（3）对于常数（），若无论图象如何平移，当，不重合时，总能在图象上找到两点，，使得，且直线与无交点，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）当时，，设点，，通过坐标表示向量，并通过建立等式关系求出的值，进而求得结果；

（2）由题意确定二次函数顶点的表达式，进而求出，由函数区间定轴动的思想进行求解；

（3）联立无解，证得直线与无交点，设，，通过化简式子发现恒成立，进而求得的取值范围.

【小问1详解】

当时，，设点，

，因为，所以，解得：或，

则或，

当点的坐标为时，与重合，不合题意，所以，.

【小问2详解】

设二次函数的图象在坐标系内平移之后的解析式为，为二次函数的顶点，

因为函数过定点，则，即，

，对称轴为，

当时，即，在区间上单调递减，；

当时，即，在区间上单调递增，；

时，即，在区间上单调递增，在区间上单调递减，.

所以.

【小问3详解】

设直线，则联立，无解，，则直线与无交点；

设，

，

恒成立，的取值范围为.