四川省宜宾市叙州区第一中学2022-2023学年高二数学（文）下学期4月月考试题（Word版附解析）

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叙州区一中2023年春期高二第二学月考试数学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟第I卷   选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 为虚数单位，复数的虚部是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式后可得答案．【详解】由题意得，，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数的虚部为，要强化对复数概念的理解，属于基础题．2. 某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（    ）A. 收入和支出最低的都是4月B. 利润（收入支出）最高为40万元C. 前5个月的平均支出为50万元D. 收入频数最高的是70万元【答案】D【解析】【分析】根据折线图提供的数据判断各选项．【详解】解析对于A，由折线图知，收入和支出最低的都是4月，故A正确.对于B，利润最高的是7月份，为40万元，故B正确.对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，故C正确.对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误.故选：D．3. 已知，的值是（    ）A. 3 B. 2 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义与极限的运算可得．【详解】．故选：B．4. 已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=A.  B. 4 C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，∴ ，解得 ，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 将曲线按曲线伸缩变换后得到的曲线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由得，然后代入即可得出答案.【详解】由得，代入得所以所以将曲线按伸缩变换后得到的曲线方程为故选：A【点睛】本题考查的是伸缩变换，较简单.6. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程，后来工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数/天34567繁殖个数/千个344.56则上表中丢失的实验数据的值为（    ）A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5【答案】D【解析】【分析】根据给定数据求出样本中心点，再借助回归直线必过样本中心点即可计算作答.【详解】由表中数据可得，，将点代入中，得，解得，所以丢失的实验数据的值为2.5.故选：D7. “”是“直线 与圆相切”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线和圆相切可得，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】因为直线与圆相切，所以，.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．8. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是A. 493 B. 383 C. 183 D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到 故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．9. 已知函数在（－1,1）上是单调减函数，则实数的取值范围为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求导数，再根据导函数恒非正求参数取值范围.【详解】由已知得在上恒成立，当时，恒成立，当有，综上故选：D．10. 曲线在处的切线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出得到，再求出，利用直线方程的点斜式即可解出.【详解】由，得，∴，又，∴曲线在处的切线方程为，即.故选：B.11. 已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（      ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．【详解】由于正四棱锥S﹣ABCD侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=BC，取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．∵HF=AE=a，FG=a，HG==A，∴cos∠HFG=＞0．即AE、SD所成的角的正弦值为．故选C．【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）．12. 已知函数，如果关于的方程()有四个不等的实数根，则的取值范围（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】构造新的函数，求出导数，根据，得出函数的单调区间，画出草图，通过翻折画出函数图像，根据图像将原方程实数根转化为有两个不相等实数根､，且､，结合函数根的分布求解.【详解】解：构造新的函数，的定义域为，，令得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，∴在处取得极小值也是最小值，又，，当时，当时恒成立，则做的图像如图，  又，则当时，的图像为的图像向上翻折所得到，则的图像如图，  令，则原方程化为，设由图象知当时与有个交点，当或时与有个交点，∴又当时，∴有四个不等的实数根等价于：有两个不相等实数根､，且､，则，解得.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第II卷  非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校为了了解学生的学习情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取50人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号，按编号顺序平均分成50组，若第2组抽出的号码为88，则第8组抽到的号码是___________.【答案】376【解析】【分析】根据系统抽样中等距抽样的方法，计算出抽样间隔，结合第2组抽取号码确定第8组的号码.【详解】由题设，抽取间隔为，所以第8组抽到的号码是.故答案为：37614. 物体做直线运动，其运动规律是，为时间，单位是s；为路程，单位是m，则它在时的瞬时速度为____m/s．【答案】####【解析】【分析】对求导，将代入计算即可【详解】由，则所以该物体在时的瞬时速度为：m/s故答案为：15. 已知一个命题的逆命题是“若，，则，”，写出原命题的否命题：______．【答案】若或，则或【解析】【分析】先根据逆命题推出原命题，再写出其否命题即可．【详解】解：该命题的逆命题是：若，，则，， 故原命题为：若，，则，， 所以原命题的否命题为：若或，则或． 故答案为若或，则或．【点睛】本题考查了四种命题，在写命题的否命题时，不光要对条件和结论否定，还要注意对连接词的否定，本题属基础题．16. 若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数在区间上有两个极值点，即在上有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，即函数和的图象有两个交点，又由，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，且当时，，当时，，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17. 已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【小问1详解】当时，，由得不等式解集为【小问2详解】由二次函数，知函数在处取得最大值9，因为，在处取得最小值，所以要使二次函数与函数的图恒有公共点，只需，即．18. 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关； 开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数   女性司机人数   合计    （2）从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.参考公式附：其中.参考数据：0.150.100050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879 【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；    （2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件完善列联表，由卡方公式求出卡方值，比较参照值即可得结论；（2）由（1）知6名司机中4名男性，2名女性，利用组合计数、古典概型的概率求法求概率即可.【小问1详解】 开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100所以，故有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.【小问2详解】由（1）知：6名司机中4名男性，2名女性，所以6名司机中随机的抽取3名司机中至少有2名男司机的概率为.19. 如图，直三棱柱中，，且，为线段上动点.（1）证明：；（2）判断点到面的距离是否为定值，并说明理由，若是定值，请求出该定值.【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，理由见解析，.【解析】【分析】（1）由，证得面，从而，结合，证得面，从而证得.（2）点到面的距离即为到面的距离，可转化为点到面的距离，由条件证得面，则为点到面的距离，求得即可.【详解】解：（1）连，，四边形为正方形，又，直棱柱中，，，面，面，又，面，面，（2）点到面的距离为定值.，面，面，点到面的距离即为到面的距离，可转化为点到面的距离令，则，又面，面，，，，面，为点到面的距离在等腰中，，到面距离为定值，且定值为20. 已知是函数的一个极值点．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有且仅有1个零点，求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；    （2）【解析】【分析】（1）由题意，解得，再通过和解出函数的单调递增区间和单调递减区间.（2）根据函数单调性，算出函数极值，通过函数图像判断直线与图像有1个交点时的取值范围．【小问1详解】函数的定义域为，由是函数的一个极值点，则，即，解得；的导数为，令，解得，或，；令，解得，．则的单调递增区间为，，单调递减区间为；【小问2详解】由于在和内单调递增，在内单调递减，则在处取得极大值，且为，在处取得极小值，且为由于直线与图像有1个交点，或．故的取值范围是．21. 已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为．（1）证明：点M在一条定直线上；（2）设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点．【答案】（1）证明见解析.    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，根据可列出方程，化简即可证明结论；（2）利用题意求得椭圆方程，设设，表示直线方程，联立椭圆方程，求得的坐标，取点，利用向量共线证明，即可证明结论.【小问1详解】证明：设,由题意可知，则，,因为，所以,即，即，故点M在直线上，即点M在一条定直线上.【小问2详解】由题意知：， 故椭圆方程为 ，由（1）知点M在直线上，设，则的方程为，代入，得，，所以，即，同理可得，取点，则，，又因为，所以，则三点共线，即直线过定点.【点睛】关键点睛：第二问中，证明直线过定点，可根据题意求得点的坐标，如果要表示出直线方程，计算量将会比较大，且运算复杂，因此可以结合题意合理猜测定点坐标，然后证明直线过该点.22. 设函数，其中.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：.【答案】（1）答案见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，讨论与0的大小即可判断的正负号，即可求出的单调区间;（2）先写出带入不等式，即可化简为.易证，，即可证明成立.【小问1详解】，①当时，在区间上恒成立，在上递增；②当时，令得，当时，，递减；当时，，递增.综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】方法1：当时，，要证，即证明：.令，则，令得，当时，，递减；当时，，递增，所以，则，当且仅当时“=”成立.令，则，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，则，当且仅当时“=”成立.于是，，两个“=”不能同时成立，所以，即，所以，当时，对恒成立.方法2：当时，，要证，即证：；先证.令，则，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，所以，，即，当且仅当时“=”成立，则时，，当且仅当时“=”成立，又，所以.下面只需证明，令，，则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，所以，，则，即，当且仅当时取等号，则，两个“=”不能同时成立，所以，故时，对恒成立.