高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品课后作业题，文件包含新教材高中数学同步精品讲练必修第一册第4章41指数原卷版doc、新教材高中数学同步精品讲练必修第一册第4章41指数原卷版pdf、新教材高中数学同步精品讲练必修第一册第4章41指数教师版pdf、新教材高中数学同步精品讲练必修第一册第4章41指数教师版doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。

4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
第1课时 n次方根
学习目标 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.
知识点一 n次方根，根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
3.根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
思考 根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
答案为：当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为eq \r(n,a)，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±eq \r(n,a).
知识点二 根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
(3)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).
(4)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
(5)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).
思考 根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
答案为：开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
1.实数a的奇次方根只有一个.( )
2.当n∈N*时，(eq \r(n,－2))n＝﹣2.( )
3.当a≥0时，eq \r(n,a)表示一个数.( )
4.当n为偶数，a≥0时，eq \r(n,a)≥0.( )
5.eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n.( )
一、由根式的意义求范围
例1 求使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3﹣a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围.
反思感悟 对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点
(1)只有a≥0才有意义.
(2)只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负.
跟踪训练1 若eq \r(3a－12)＝eq \r(3,1－3a3)，求实数a的取值范围.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简下列各式：
(1)eq \r(5,－25)＋(eq \r(5,－2))5； (2)eq \r(6,－26)＋(eq \r(6,2))6； (3)eq \r(4,x＋24).
反思感悟 正确区分eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n
(1)( eq \r(n,a))n已暗含了eq \r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.
(2)eq \r(n,an)中的a可以是全体实数，eq \r(n,an)的值取决于n的奇偶性.
跟踪训练2 化简下列各式：
(1)eq \r(7,－27)； (2)eq \r(4,3a－34)(a≤1)； (3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4).
三、有限制条件的根式的化简
例3 已知﹣3延伸探究
本例中，若将“﹣3反思感悟 有限制条件根式的化简
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
跟踪训练3 已知﹣11.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,a2) B.eq \r(5,a) C.eq \r(5,－a) D.eq \r(4,a)
2.已知m10＝2，则m等于( )
A.eq \r(10,2) B.﹣eq \r(10,2) C.eq \r(210) D.±eq \r(10,2)
3.当x<0时，x＋eq \r(4,x4)＋eq \f(\r(3,x3),x)＝________.
4.化简：eq \r(x＋32)﹣eq \r(3,x－33)＝________.
5.若eq \r(x2－2x－32)＝﹣x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是________.
1.知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)根式的性质.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：
(1)对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，a≥0.
(2)混淆(eq \r(n,a))n和eq \r(n,an).
1.(eq \r(4,2))4运算的结果是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.不确定
2.若eq \r(a－2)＋(a﹣4)0有意义，则a的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.[2,4)∪(4，＋∞)
C.(﹣∞，2)∪(2，＋∞) D.(﹣∞，4)∪(4，＋∞)
3.下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；
②eq \r(4,16)的运算结果是±2；
③当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；
④当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若aA.4a﹣1 B.1﹣4a C.﹣eq \r(4a－1) D.﹣eq \r(1－4a)
5.(多选)若n∈N，a∈R，则下列各式中一定有意义的是( )
A.eq \r(4,－42n) B.eq \r(4,－42n＋1) C.eq \r(5,a4) D.eq \r(4,a5)
6.化简eq \r(3,－8)的值是________.
7.若x>3，则eq \r(x2－6x＋9)﹣|2﹣x|＝________.
8.化简：eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)＝________.
9.化简：
(1)eq \r(n,x－πn)(x<π，n∈N*)； (2)eq \r(4a2－4a＋1)(a≤eq \f(1,2)).
10.已知﹣211.当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)﹣eq \r(x2－6x＋9)的结果是( )
A.2x﹣5 B.﹣2x﹣1 C.﹣1 D.5﹣2x
12.下列式子中成立的是( )
A.aeq \r(－a)＝eq \r(－a3) B.aeq \r(－a)＝﹣eq \r(a3)
C.aeq \r(－a)＝﹣eq \r(－a3) D.aeq \r(－a)＝eq \r(a3)
13.化简eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝________.
14.把aeq \r(－\f(1,a))根号外的a移到根号内等于________.
15.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq \r(4,a－b4)的值为( )
A.a＋b B.﹣(a＋b) C.a﹣b D.b﹣a
16.计算：
(1)eq \r(6\f(1,4))﹣eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(3,0.125)； (2)eq \r(3,－83)＋eq \r(4,\r(3)－24)﹣eq \r(3,2－\r(3)3)；
第2课时 分数指数幂、无理数指数幂
学习目标 通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
知识点一 分数指数幂
1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1).
2.规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1).
3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
思考 分数指数幂可以理解为eq \f(m,n)个a相乘吗？
答案为：不可以.分数指数幂不可以理解为eq \f(m,n)个a相乘.事实上，它是根式的一种新写法.
知识点二 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q).
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q).
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
(4)拓展：eq \f(ar,as)＝ar﹣s(a>0，r，s∈Q).
知识点三 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
1.(a>0)化为根式的形式为________.
2.计算＋(﹣1)0＝________.
3.化简 的结果是________.
4.下列等式一定成立的是________.(填序号，a>0)
① ·＝a；②·＝0；③(a3)2＝a9；④÷＝.
一、根式与分数指数幂的互化
例1 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)eq \r(a\r(a))(a>0)； (2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x>0)； (3)(b>0).
反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
跟踪训练1 用分数指数幂表示下列各式：
(1)eq \f(1,\r(3,a2))； (2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0).
二、利用分数指数幂的运算性质化简求值
例2 计算下列各式：
(1)(2eq \f(3,5))0＋2﹣2× ﹣(0.01)0.5； (2)(2eq \f(7,9))0.5＋0.1﹣2＋ ﹣3π0＋eq \f(37,48)；
(3)eq \r(\f(25,4))﹣eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(4,0.062 5)＋﹣π0.
反思感悟 指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
跟踪训练2 化简求值：
(1)﹣＋＋﹣3﹣1＋π0；
(2)(a﹣2b﹣3)×(﹣4a﹣1b)÷(12a﹣4b﹣2c)；
(3)2eq \r(3,a)÷4eq \r(6,ab)×3eq \r(b3).
三、整体代换法求分数指数幂
例3 (1)已知＋＝eq \r(5)，则x2＋x﹣2＝________.
(2)已知x＋x﹣1＝7，求值：①＋；②x2﹣x﹣2.
延伸探究
本例(2)的条件不变，求x3＋x﹣3的值.
反思感悟 利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2＋x﹣2＝(x±x﹣1)2 ∓2，x＋x﹣1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2.
跟踪训练3 已知a2x＝eq \r(2)＋1，求eq \f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)的值.
1.化简的结果为( )
A.5 B.eq \r(5) C.﹣eq \r(5) D.﹣5
2.化简eq \f(a3,\r(a)\r(5,a4))(a>0)的值为________.
3.若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
4.若10x＝3,10y＝4，则102x﹣y＝________.
5.计算：0.25×(-eq \f(1,2))﹣4﹣4÷20﹣＝________.
1.知识清单：
(1)根式与分数指数幂的互化.
(2)分数指数幂的运算.
2.方法归纳：整体代换法.
3.常见误区：
在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
1.若有意义，则x的取值范围是( )
A.R B.(-∞,eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2),+∞) C.(eq \f(1,2),+∞) D.(-∞,eq \f(1,2))
2.将eq \r(3,－2\r(2))化为分数指数幂为( )
A. B. C. D.
3.计算·(﹣3a﹣1b)÷ 得( )
A.﹣eq \f(3,2)b2 B.eq \f(3,2)b2 C. D.
4.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A.和 B.0﹣2和 C.和 D.和(eq \f(1,2))﹣3
5.已知ab＝﹣5，则aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))的值是( )
A.2eq \r(5) B.0 C.﹣2eq \r(5) D.±2eq \r(5)
6.计算 ＝________.
7.化简 ＝________.
8.已知﹣＝3，则＋＝________.
9.计算下列各式：
(1)； (2) ÷ .
10.计算：
(1)7eq \r(3,3)﹣3eq \r(3,24)﹣6eq \r(3,\f(1,9))＋eq \r(4,3\r(3,3))；
(2) ﹣[3×(eq \f(7,8))0]﹣1× ﹣10× .
11.化简(eq \r(3,\r(6,a9)))4(eq \r(6,\r(3,a9)))4(a>0)等于( )
A.a16 B.a8 C.a4 D.a2
12.已知2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B.10 C.20 D.100
13.已知2x＝8y＋1，9y＝3x﹣9，则x＋y＝________.
14.已知a2m＋n＝2﹣2，am﹣n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________.
15.已知m＝2，n＝3，则[]3的值是________.
16.对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，eq \f(1,ω)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)，求a，b，c的值.
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)