高中数学4.3 对数优秀达标测试

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§4.3　对　数
4.3.1　对数的概念
学习目标　
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.

知识点一　对数的概念
1.对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
思考　在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？
答案为：(1)a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(-)x＝2成立，所以a不能小于0.
(2)a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定.
(3)a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定.
2.常用对数与自然对数

知识点二　对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.
(2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0).
思考　任何一个指数式都可以化为对数式吗？
答案为：不是，只有底数大于零且不等于1时才可互化.
知识点三　对数的性质
1.loga1＝0(a>0，且a≠1).
2.logaa＝1(a>0，且a≠1).
3.零和负数没有对数.


1.logaN是loga与N的乘积.(　×　)
2.若3x＝2，则x＝log32.(　√　)
3.因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.(　√　)
4.若ln N＝，则N＝()e.(　×　)
5.在b＝log3(m﹣1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞).(　√　)

一、指数式与对数式的互化
例1　将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：
(1)33＝27； (2)＝﹣3； (3)()﹣2＝16； (4)lg 1 000＝3.
解：(1)∵33＝27，∴log327＝3.
(2)∵＝﹣3，∴()﹣3＝8.
(3)∵()﹣2＝16，∴＝﹣2.
(4)∵lg 1 000＝3，∴103＝1 000.
反思感悟　指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
跟踪训练1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3﹣2＝；(2)()﹣3＝125； (3)＝﹣3；(4)＝﹣6(x>0，且x≠1).
解：(1)log3＝﹣2. (2) ＝﹣3. (3)()﹣3＝27. (4)()﹣6＝64.
二、对数的计算
例2　(1)求下列各式的值.
①log981＝________. ②log0.41＝________. ③ln e2＝________.
答案为：①2　②0　③2
解析：①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2.
②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0.
③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
(2)求下列各式中x的值.
①log27x＝﹣； ②logx16＝﹣4.
解：①由log27x＝﹣得，x＝＝＝3﹣2＝.
②由logx16＝﹣4，得x﹣4＝16，即x4＝＝(±)4，又x>0，且x≠1，∴x＝.
反思感悟　对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
跟踪训练2　求下列各式的值：
(1)log28； (2)log9； (3)ln e； (4)lg 1.
解：(1)设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3.
(2)设log9＝x，则9x＝＝9﹣1，∴x＝﹣1.∴log9＝﹣1.
(3)ln e＝1.
(4)lg 1＝0.
三、利用对数的性质求值
例3　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)x＝.
解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
(3)x＝＝7÷＝7÷5＝.
(教师)
延伸探究
把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值.
解：因为log2(log5x)＝1，所以log5x＝2，则x＝52＝25.
反思感悟　利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解.
跟踪训练3　求下列各式中x的值.
(1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1.
解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0，
得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1，
得log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.

1.(多选)下列说法正确的有(　　)
A.只有正数有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以5为底25的对数等于2
D.＝a成立
答案为：AC
解析：B错误，如(﹣2)2＝4就不能化成对数式，D错误，对数式的真数a应注明大于0.
2.2﹣3＝化为对数式为(　　)
A.＝﹣3 B.＝2 C.log2＝﹣3 D.log2(﹣3)＝
答案为：C
解析：根据对数的定义知选C.
3.求值：lg 100＝________；lg 0.001＝________.
答案为：2　﹣3
解析：由102＝100知，lg 100＝2，10﹣3＝0.001得，lg 0.001＝﹣3.
4.已知logx27＝3，则x＝________.
答案为：3
5.计算：3log22＋2log31﹣3log77＋3ln 1＝________.
答案为：0
解析：原式＝3×1＋2×0﹣3×1＋3×0＝0.

1.知识清单：
(1)对数的概念.
(2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化.
(4)对数的性质.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.


1.使对数loga(﹣2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A.a>且a≠1 B.00且a≠1 D.a<
答案为：B
解析：由题意知解得0 2.已知logx16＝2，则x等于(　　)
A.4 B.±4 C.256 D.2
答案为：A
解析：改写为指数式x2＝16，但x作为对数的底数，必须取正值，∴x＝4.
3.已知＝x，则x等于(　　)
A.﹣8 B.8 C.4 D.﹣4
答案为：B
解析：由题意得，()x＝81,＝34，x＝8.
4.(多选)下列等式正确的有(　　)
A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0
C.若lg x＝10，则x＝10 D.若ln x＝e，则x＝e2
答案为：AB
解析：A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0；B项，lg(ln e)＝lg 1＝0；
C项，若lg x＝10，则x＝1010；D项，若ln x＝e，则x＝ee.
5.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A.①② B.②③④ C.② D.②③
答案为：C
解析：①中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确.
6.若a＝log43，则2a＋2﹣a＝________.
答案为：
解析：∵a＝log43，∴4a＝3，∴2a＝.∴2a＋2﹣a＝＋＝.
7.已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
答案为：
解析：∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴23＝x，
∴＝＝＝＝.
8.若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________.
答案为：
解析：∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3.∴＝＝.
9.将下列指数式、对数式互化.
(1)35＝243； (2)2﹣5＝； (3)＝﹣4； (4)log2128＝7.
解：(1)log3243＝5. (2)log2＝﹣5. (3)()﹣4＝81. (4)27＝128.
10.若＝m，＝m＋2，求的值.
解：∵＝m，∴()m＝x，x2＝()2m.
∵＝m＋2，∴()m＋2＝y，y＝()2m＋4.
∴＝()2m﹣(2m＋4)＝()﹣4＝16.

11.﹣﹣lg 0.01＋ln e3等于(　　)
A.14 B.0 C.1 D.6
答案为：B
解析：﹣﹣lg 0.01＋ln e3＝4﹣﹣lg＋3＝4﹣32﹣(﹣2)＋3＝0.
12.已知x2＋y2﹣4x﹣2y＋5＝0，则logx(yx)的值是(　　)
A.1 B.0 C.x D.y
答案为：B
解析：由x2＋y2﹣4x﹣2y＋5＝0，则(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝0，∴x＝2，y＝1，
∴logx(yx)＝log2(12)＝0.
13.若log(1﹣x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案为：﹣3
解析：由log(1﹣x)(1＋x)2＝1，得(1＋x)2＝1﹣x，∴x2＋3x＝0，∴x＝0或x＝﹣3.
注意到∴x＝﹣3.
14.若x满足(log2x)2﹣2log2x﹣3＝0，则x＝________.
答案为：8或.
解析：设t＝log2x，则原方程可化为t2﹣2t﹣3＝0，
解得t＝3或t＝﹣1，所以log2x＝3或log2x＝﹣1，所以x＝23＝8或x＝2﹣1＝.

15.若a>0，＝，则等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案为：B
解析：因为＝，a>0，所以a＝＝()3，设＝x，所以()x＝a.所以x＝3.
16.若＝＝＝0，试确定x，y，z的大小关系.
解：由＝0，得＝1，log3y＝，y＝＝.
由＝0，得＝1，log2x＝，x＝＝.
由＝0，得＝1，log5z＝，z＝＝，
∵310>215>56，∴y>x>z.
4.3.2　对数的运算
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.

知识点一　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM﹣logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
拓展：＝logaM(n∈R，m≠0)
思考　当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
答案为：不一定.
知识点二　换底公式
1.logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1).
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0).
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
思考　换底公式中底数c是特定数还是任意数？
答案为：是大于0且不等于1的任意数.






1.log84＋log82＝________.
答案为：1
解析：log84＋log82＝log88＝1.
2.log510﹣log52＝________.
答案为：1
解析：log510﹣log52＝log55＝1.
3.(1)lg＝________；
(2)已知ln a＝0.2，则ln＝________.
答案为：(1)　(2)0.8
解析：lg ＝＝；ln＝ln e﹣ln a＝1﹣0.2＝0.8.
4.＝________.
答案为：2
解析：＝log39＝2.

一、对数运算性质的应用
例1　计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2﹣(lg 2)2； (2)；
(3)log535﹣2log5＋log57﹣log51.8.
解：(1)原式＝(lg 5)2＋(2﹣lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝＝.
(3)原式＝log5(5×7)﹣2(log57﹣log53)＋log57﹣log5
＝log55＋log57﹣2log57＋2log53＋log57﹣2log53＋log55
＝2log55＝2.
反思感悟　对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
跟踪训练1　计算下列各式的值：
(1)lg﹣lg＋lg； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解：(1)方法一　原式＝(5lg 2﹣2lg 7)﹣×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2﹣lg 7﹣2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
方法二　原式＝lg﹣lg 4＋lg 7＝lg＝lg(·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
二、换底公式的应用
例2　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解：(1)原式＝
＝·＝×＝.
(2)方法一　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝＝＝.
方法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
(教师)
延伸探究
若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)
解：因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log915＝＝＝＝＝＝.
反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

跟踪训练2　(1)的值是(　　)
A. B. C.1 D.2
答案为：A
解析：方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
即＝＝·＝.
方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
即＝＝＝.
(2)计算：.
解：原式＝·＝·＝·＝﹣.
三、对数运算性质的综合应用
例3　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解：(1)方法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
跟踪训练3　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值.
解：∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.

1.求值：2log510＋log50.25等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
答案为：C
解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
2.若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；
③logax＝﹣loga；④＝logax；⑤＝loga.
其中正确的有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案为：A
解析：根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确.
3.已知2a＝5b＝10，则＋＝________.
答案为：1
解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510.
根据换底公式得a＝，b＝，所以＋＝lg 2＋lg 5＝1.
4.log23·log34·log42＝________.
答案为：1
解析：log23·log34·log42＝··＝1.
5.＝________.
答案为：2
解析：原式＝＝＝＝2.

1.知识清单：
(1)对数的运算性质.
(2)换底公式.
(3)对数的实际应用.
2.方法归纳：换底公式、转化法.
3.常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆.


1.log242＋log243＋log244等于(　　)
A.1 B.2 C.24 D.
答案为：A
解析：log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
2.化简＋log2得(　　)
A.2 B.2﹣2log23 C.﹣2 D.2log23﹣2
答案为：B
解析：＝＝2﹣log23.
∴原式＝2﹣log23＋log23﹣1＝2﹣2log23.

3.0.25﹣＋log23·log34的值为(　　)
A. B. C.1 D.
答案为：D
解析：原式＝﹣＋×＝﹣＋×＝.
4.已知ab>0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg ()＝lg a﹣lg b；③lg ()2＝lg；④lg(ab)＝，
其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.③④ D.③
答案为：D
解析：①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1，只有③式成立.
5.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)
A. B. C. D.
答案为：B
解析：log36＝＝＝.
6.lg ＋lg的值是________.
答案为：1.
解析：lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
7.若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________.
答案为：
解析：方法一　由已知可得··＝2，
即＝2，∴lg 3＝2lg a，∴a2＝3，a＝.
方法二　由已知得logab··＝2，即loga3＝2，∴a＝.
8.若lg x＋lg y＝2lg(x﹣2y)，则＝________.
答案为：4
解析：因为lg x＋lg y＝2lg(x﹣2y)，
所以由xy＝(x﹣2y)2，知x2﹣5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.又x>0，y>0且x﹣2y>0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
9.求值：
(1)lg 5·lg 400＋； (2)＋log0.25＋9log5﹣.
解：(1)原式＝lg 5·(2＋2lg 2)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2·lg 5＋2(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2·(lg 5＋lg 2)
＝2lg 5＋2lg 2
＝2.
(2) ＋log0.25＋9log5﹣＝()2＋1＋9×﹣0＝＋1＋＝.
10.计算下列各式的值：
(1)log535＋﹣log5﹣log514；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).
解：(1)原式＝log535＋log550﹣log514＋＝log5＋＝log553﹣1＝2.
(2)方法一　原式
＝
＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
方法二　原式＝

＝
＝＝13.





11.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且，a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　)
A. B. C. D.
答案为：D
解析：x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，所以abc＝.即logx(abc)＝.
12.设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)
A.p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D.pq
答案为：C
解析：∵log83＝＝＝p，∴lg 3＝3plg 2.
∵log35＝＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1﹣lg 5)，∴lg 5＝.
13.已知函数f(x)＝，则f(log23)＋f (log4)＝________.
答案为：1
解析：∵log23＋log4＝log23﹣log23＝0，
f(﹣x)＋f(x)＝＋＝＋＝1.∴f(log23)＋f  (log4)＝1.
14.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2 020)＝________.
答案为：0
解析：由f ()＝alog2＋blog3＋2＝4，得﹣alog22 020﹣blog32 020＝2.
∴alog22 020＋blog32 020＝﹣2.∴f(2 020)＝alog22 020＋blog32 020＋2＝﹣2＋2＝0.

15.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为________.
答案为：1
解析：方法一　设ax＝by＝cz＝t(t>0)，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，
∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，
∴abc＝t0＝1，即abc＝1.
方法二　令ax＝by＝cz＝t，
∵a，b，c是不等于1的正数，xyz≠0，
∴t>0且t≠1，∴x＝，y＝，z＝，
∴＋＋＝＋＋＝，
∵＋＋＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.
16.已知logax＋3logxa﹣logxy＝3(a>1)，若设x＝at.
(1)试用a，t表示y；
(2)若当0 解：(1)由换底公式，
得logax＋﹣＝3(a>1)，
所以logay＝(logax)2﹣3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t，
所以logay＝t2﹣3t＋3.
所以y＝(t≠0).
(2)y＝，因为01，
所以当t＝时，ymin＝＝8.
所以a＝16，此时x＝＝64.