人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品当堂检测题

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1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.
2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明.
知识点 公式二～四
思考 诱导公式中角α只能是锐角吗？
答案为：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
1.若sin(π＋α)＝eq \f(1,3)，则sin α＝ .
答案为：﹣eq \f(1,3)
解析：sin(π＋α)＝﹣sin α＝eq \f(1,3)，
∴sin α＝﹣eq \f(1,3).
2.若cs(π﹣α)＝eq \f(1,3)，则cs α＝ .
答案为：﹣eq \f(1,3)
解析：∵cs(π﹣α)＝﹣cs α＝eq \f(1,3)，∴cs α＝﹣eq \f(1,3).
3.已知tan α＝6，则tan(﹣α)＝ .
答案为：﹣6
4.sin 585°＝ .
答案为：﹣eq \f(\r(2),2)
解析：sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝sin(180°＋45°)＝﹣sin 45°＝﹣eq \f(\r(2),2).
一、给角求值
例1 求下列三角函数值：
(1)cs(﹣480°)＋sin 210°； (2)sin(﹣eq \f(8π,3))·cs eq \f(23π,6)·tan eq \f(37π,6).
解：(1)原式＝cs 480°＋sin(180°＋30°)
＝cs(360°＋120°)﹣sin 30°
＝cs 120°﹣eq \f(1,2)
＝cs(180°﹣60°)﹣eq \f(1,2)
＝﹣cs 60°﹣eq \f(1,2)＝﹣eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)＝﹣1.
(2)原式＝sin(π＋eq \f(π,3))·cseq \f(π,6)·taneq \f(π,6)＝﹣sineq \f(π,3)·cseq \f(π,6)·taneq \f(π,6)＝﹣eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＝﹣eq \f(\r(3),4).
(学生)
反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
跟踪训练1 sin eq \f(5π,6)＋tan eq \f(7π,4)﹣cs(﹣eq \f(2π,3))＝ .
答案为：0
解析：原式＝sin eq \f(π,6)﹣tan eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)﹣1＋eq \f(1,2)＝0.
二、给值(式)求值
例2 (1)(多选)已知cs(π﹣α)＝﹣eq \f(3,5)，则sin(﹣2π﹣α)的值是( )
A.eq \f(4,5) B.﹣eq \f(4,5) C.﹣eq \f(3,5) D.eq \f(3,5)
答案为：AB
解析：因为cs(π﹣α)＝﹣cs α＝﹣eq \f(3,5)，所以cs α＝eq \f(3,5)，所以α为第一或第四象限角，
所以sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(4,5)，所以sin(﹣2π﹣α)＝sin(﹣α)＝﹣sin α＝±eq \f(4,5).
(2)已知cs(eq \f(π,6)﹣α)＝eq \f(\r(3),3)，则cs(α＋eq \f(5π,6))＝ .
答案为：﹣eq \f(\r(3),3).
解析：cs(α＋eq \f(5π,6))＝cs[π﹣(eq \f(π,6)﹣α)]＝﹣css(eq \f(π,6)﹣α)＝﹣eq \f(\r(3),3).
延伸探究
1.若本例(2)中的条件不变，如何求cs(α﹣eq \f(13π,6))？
解：css(α﹣eq \f(13π,6))＝css(eq \f(13π,6)﹣α)＝cs[2π＋(eq \f(π,6)﹣α)]＝cs(eq \f(π,6)﹣α)＝eq \f(\r(3),3).
(教师)
2.若本例(2)条件不变，求cs(eq \f(5π,6)＋α)﹣sin2(α﹣eq \f(π,6))
的值.
解：因为cs(eq \f(5π,6)＋α)＝cs[π﹣(eq \f(π,6)﹣α)]＝﹣cs(α﹣eq \f(π,6))＝﹣eq \f(\r(3),3)，
sin2(α﹣eq \f(π,6))＝sin2[﹣(α﹣eq \f(π,6))]＝1﹣cs2(α﹣eq \f(π,6))＝1﹣(eq \f(\r(3),3))2＝eq \f(2,3)，
所以cs(eq \f(5π,6)＋α)﹣sin2(α﹣eq \f(π,6))＝﹣eq \f(\r(3),3)﹣eq \f(2,3)＝﹣eq \f(2＋\r(3),3).
反思感悟 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
跟踪训练2 (1)已知sin(π＋α)＝eq \f(4,5)，且α是第四象限角，则cs(α﹣2π)的值是( )
A.﹣eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.±eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案为：B
解析：由sin(π＋α)＝eq \f(4,5)，得sin α＝﹣eq \f(4,5)，
而cs(α﹣2π)＝cs α，且α是第四象限角，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5).
(2)已知sin(θ﹣eq \f(π,3))＝﹣eq \f(1,3)，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋θ))＝ .
答案为：﹣eq \f(2\r(2),3)
解析：cs(eq \f(2π,3)＋θ)＝cs[(θ﹣eq \f(π,3))＋π]＝﹣cs(θ﹣eq \f(π,3))，∵θ∈(0,eq \f(π,2))，
∴θ﹣eq \f(π,3)∈(﹣eq \f(π,3),eq \f(π,6))，∴cs(θ﹣eq \f(π,3))>0，即cs(θ﹣eq \f(π,3))＝eq \f(2\r(2),3)，∴原式＝﹣eq \f(2\r(2),3).
三、化简求值
例3 化简：(1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)； (2)eq \f(sin1 440°＋α·csα－1 080°,cs－180°－α·sin－α－180°).
解：(1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq \f(cs αtanπ＋α,sin α)＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin4×360°＋α·csα－3×360°,cs180°＋α·[－sin180°＋α])＝eq \f(sin α·cs α,－cs α·sin α)＝eq \f(cs α,－cs α)＝﹣1.
反思感悟 三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cs2α＝tan eq \f(π,4).
跟踪训练3 tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α)的值为( )
A.eq \f(m＋1,m－1) B.eq \f(m－1,m＋1) C.﹣1 D.1
答案为：A
解析：因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，
所以原式＝eq \f(sinπ＋α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(m＋1,m－1).
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P(﹣eq \f(\r(5),5)，eq \f(2\r(5),5))，则cs(π﹣θ)的值为( )
A.﹣eq \f(2\r(5),5) B.﹣eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案为：C
2.计算sin 780°＋tan 240°的值是( )
A.eq \f(3\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2)＋eq \r(3) D.﹣eq \f(1,2)＋eq \r(3)
答案为：A
解析：sin 780°＋tan 240°＝sin 60°＋tan(180°＋60°)＝eq \f(\r(3),2)＋tan 60°＝eq \f(\r(3),2)＋eq \r(3)＝eq \f(3\r(3),2).
3.已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，那么cs(α﹣π)的值是( )
A.eq \f(4,5) B.﹣eq \f(4,5) C.±eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)
答案为：B
解析：因为sin(π＋α)＝﹣sin α＝eq \f(3,5)，所以sin α＝﹣eq \f(3,5).
又α是第四象限角，所以cs α＝eq \f(4,5)，所以cs(α﹣π)＝cs(π﹣α)＝﹣cs α＝﹣eq \f(4,5).
4.化简：eq \f(cs3π－α,sin－π＋α)·tan(2π﹣α)＝ .
答案为：﹣1
解析：原式＝eq \f(csπ－α,sinπ＋α)·tan(﹣α)＝eq \f(－cs α,－sin α)·(﹣tan α)＝﹣eq \f(cs α,sin α)·tan α＝﹣1.
5.eq \f(cs－585°,sin 495°＋sin－570°)的值等于 .
答案为：eq \r(2)﹣2.
解析：原式＝eq \f(cs360°＋225°,sin360°＋135°－sin360°＋210°)＝eq \f(cs180°＋45°,sin180°－45°－sin180°＋30°)
＝eq \f(－cs 45°,sin 45°－－sin 30°)＝eq \r(2)﹣2.
1.知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性.
(2)诱导公式二～四.
2.方法归纳：公式法、角的构造.
3.常见误区：符号的确定.
1.sin 240°＋cs(﹣150°)的值为( )
A.﹣eq \r(3) B.﹣1 C.1 D.eq \r(3)
答案为：A
解析：原式＝sin(180°＋60°)＋cs 150°＝﹣sin 60°＋cs(180°﹣30°)
＝﹣sin 60°﹣cs 30°＝﹣eq \f(\r(3),2)﹣eq \f(\r(3),2)＝﹣eq \r(3).
2.(多选)已知sin(π﹣α)＝eq \f(1,3)，则cs(α﹣2 020π)的值为( )
A.eq \f(2,3)eq \r(2) B.﹣eq \f(2,3)eq \r(2) C.eq \f(1,3) D.﹣eq \f(1,3)
答案为：AB
解析：sin(π﹣α)＝eq \f(1,3)，∴sin α＝eq \f(1,3)，cs(α﹣2 020π)＝cs α＝±eq \r(1－sin2α)＝±eq \f(2,3)eq \r(2).
3.在△ABC中，cs(A＋B)的值等于( )
A.cs C B.﹣cs C C.sin C D.﹣sin C
答案为：B
解析：由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π﹣C.所以cs(A＋B)＝cs(π﹣C)＝﹣cs C.
4.若600°角的终边上有一点(﹣4，a)，则a的值是( )
A.4eq \r(3) B.±4eq \r(3) C.﹣4eq \r(3) D.eq \r(3)
答案为：C
解析：由题意，得tan 600°＝eq \f(a,－4)，则a＝﹣4·tan 600°＝﹣4tan(180°＋60°)＝﹣4tan 60°＝﹣4eq \r(3).
5.已知cs(508°﹣α)＝eq \f(12,13)，则cs(212°＋α)等于( )
A.﹣eq \f(12,13) B.eq \f(12,13) C.﹣eq \f(5,13) D.eq \f(5,13)
答案为：B
解析：方法一 因为cs(508°﹣α)＝cs(360°＋148°﹣α)＝cs(148°﹣α)＝eq \f(12,13)，
所以cs(212°＋α)＝cs(360°＋α﹣148°)＝cs(α﹣148°)＝cs(148°﹣α)＝eq \f(12,13).
方法二 cs(212°＋α)＝cs[720°﹣(508°﹣α)]＝cs(508°﹣α)＝eq \f(12,13).
6.计算：sin(﹣)cseq \f(7π,6)＝ .
答案为：eq \f(3,4)
解析：原式＝sin eq \f(π,3)·cs eq \f(π,6)＝eq \f(3,4).
7.已知sin(﹣π﹣α)＝eq \f(3,5)，且α为第二象限角，则eq \f(sinπ－α,tanα－2π)＝ .
答案为：﹣eq \f(4,5)
解析：∵sin(﹣π﹣α)＝eq \f(3,5)，∴﹣sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，∴sin α＝eq \f(3,5)，
∵α为第二象限角，∴cs α＝﹣eq \f(4,5)，eq \f(sinπ－α,tanα－2π)＝eq \f(sin α,tan α)＝cs α＝﹣eq \f(4,5).
8.已知sin(α﹣eq \f(π,4))＝eq \f(1,3)，则sin(α＋eq \f(3π,4))＝ ，cs(eq \f(π,4)﹣α)·cs(α﹣eq \f(9π,4))＝ .
答案为：﹣eq \f(1,3) eq \f(8,9)
解析：sin(α＋eq \f(3π,4))＝sin[(α﹣eq \f(π,4))＋π]＝﹣sin(α﹣eq \f(π,4))＝﹣eq \f(1,3)，
cs(eq \f(π,4)﹣α)·cs(α﹣eq \f(9π,4))＝cs(α﹣eq \f(π,4))·cs[(α﹣eq \f(π,4))﹣2π]＝cs2(α﹣eq \f(π,4))
＝1﹣sin2(α﹣eq \f(π,4))＝eq \f(8,9).
9.化简：(1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)； (2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α).
解：(1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)＝eq \f(sin180°＋α·cs α,tan α)＝eq \f(－sin α·cs α,tan α)＝﹣cs2α.
(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α)＝eq \f(sin α－cs α,cs αtan α)＝﹣cs α.
10.已知f(α)＝eq \f(sinπ＋αcs2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α﹣π)＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(3)若α＝﹣eq \f(31π,3)，求f(α)的值.
解：(1)f(α)＝﹣eq \f(sin αcs α－tan α,－tan αsin α)＝﹣cs α.
(2)∵sin(α﹣π)＝﹣sin α＝eq \f(1,5)，∴sin α＝﹣eq \f(1,5).
又α是第三象限角，
∴cs α＝﹣eq \f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5).
(3)∵﹣eq \f(31π,3)＝﹣6×2π＋eq \f(5π,3)，∴f (﹣eq \f(31π,3))＝﹣cs eq \f(5π,3)＝﹣cs eq \f(π,3)＝﹣eq \f(1,2).
11.若sin(﹣110°)＝a，则tan 70°等于( )
A.eq \f(a,\r(1－a2)) B.﹣eq \f(a,\r(1－a2)) C.eq \f(a,\r(1＋a2)) D.﹣eq \f(a,\r(1＋a2))
答案为：B
解析：∵sin(﹣110°)＝﹣sin 110°＝﹣sin(180°﹣70°)＝﹣sin 70°＝a，
∴sin 70°＝﹣a，∴cs 70°＝eq \r(1－－a2)＝eq \r(1－a2)，∴tan 70°＝eq \f(sin 70°,cs 70°)＝﹣eq \f(a,\r(1－a2)).
12.(多选)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2
答案为：BD
解析：当k＝2n，n∈Z时，
A＝eq \f(sin2nπ＋α,sin α)＋eq \f(cs2nπ＋α,cs α)＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2，
当k＝2n＋1，n∈Z时，
A＝eq \f(sin[2n＋1π＋α],sin α)＋eq \f(cs[2n＋1π＋α],cs α)＝eq \f(sinπ＋α,sin α)＋eq \f(csπ＋α,cs α)＝﹣2.
13.已知a＝tan(﹣)，b＝cs eq \f(23π,4)，c＝sin(﹣)，则a，b，c的大小关系是 .(用“>”表示)
答案为：b>a>c
解析：因为a＝﹣tan eq \f(π,6)＝﹣eq \f(\r(3),3)，b＝cs eq \f(23π,4)＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
c＝sin(﹣)＝﹣sin eq \f(π,4)＝﹣eq \f(\r(2),2)，所以b>a>c.
14.已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πxx<0，,fx－1－1x>0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))的值为 .
答案为：﹣2
解析：因为f (﹣eq \f(11π,6))＝sin (eq \f(11π,6))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)；
f (eq \f(11,6))＝f (eq \f(5,6))﹣1＝f (﹣eq \f(1,6))﹣2＝sin(﹣eq \f(π,6))﹣2＝﹣eq \f(1,2)﹣2＝﹣eq \f(5,2).
所以f (﹣eq \f(11π,6))＋f (eq \f(11π,6))＝﹣2.
15.设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 019)＝﹣1，则f(2 020)的值为 .
答案为：1
解析：∵f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcs(2 019π＋β)＝﹣1，
∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcs(2 020π＋β)
＝asin[π＋(2 019π＋α)]＋bcs[π＋(2 019π＋β)]
＝﹣[asin(2 019π＋α)＋bcs(2 019π＋β)]＝1.
16.在△ABC中，若sin(2π﹣A)＝﹣eq \r(2)sin(π﹣B)，eq \r(3)cs A＝﹣eq \r(2)cs(π﹣B)，求△ABC的三个内角.
解：由题意得sin A＝eq \r(2)sin B，eq \r(3)cs A＝eq \r(2)cs B，
平方相加得2cs2A＝1，cs A＝±eq \f(\r(2),2)，又因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4).
当A＝eq \f(3π,4)时，cs B＝﹣eq \f(\r(3),2)<0，所以B∈(eq \f(π,2)，π)，所以A，B均为钝角，不合题意，舍去.
所以A＝eq \f(π,4)，cs B＝eq \f(\r(3),2)，所以B＝eq \f(π,6)，所以C＝eq \f(7π,12).
综上所述，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(7π,12).
§5.3 诱导公式(二)
学习目标
1.在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导过程.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
知识点 诱导公式五、六
思考1 设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？
答案为：P2(y，x).
思考2 如何由公式四及公式五推导公式六？
答案为：sin(eq \f(π,2)＋α)＝sin[π﹣(eq \f(π,2)﹣α)]＝sin(eq \f(π,2)﹣α)＝cs α，
cs(eq \f(π,2)＋α)＝cs[π﹣(eq \f(π,2)﹣α)]＝﹣cs(eq \f(π,2)﹣α)＝﹣sin α.
1.若cs A＝eq \f(1,2)，那么sin(eq \f(π,2)＋A)＝________.
答案为：eq \f(1,2)
2.已知sin α＝eq \f(2,3)，则cs(eq \f(π,2)﹣α)＝________.
答案为：eq \f(2,3)
解析：cs(eq \f(π,2)﹣α)＝sin α＝eq \f(2,3).
3.sin 95°＋cs 175°的值为________.
答案为：0
解析：sin 95°＋cs 175°＝sin(90°＋5°)＋cs(180°﹣5°)＝cs 5°﹣cs 5°＝0.
4.已知sin α＝eq \f(3,5)，α为第二象限角，则css(eq \f(3π,2)﹣α)＝________.
答案为：﹣eq \f(3,5)
解析：cs(eq \f(3π,2)﹣α)＝﹣cs(eq \f(π,2)﹣α)＝﹣sin α＝﹣eq \f(3,5).
一、化简求值
例1 (1)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2) C.﹣eq \f(1－m2,m) D.﹣eq \r(1－m2)
答案为：B
解析：sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°﹣31°)＝﹣sin 59°(﹣tan 31°)
＝﹣sin(90°﹣31°)·(﹣tan 31°)＝﹣cs 31°·(﹣tan 31°)＝sin 31°＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).
(2)已知sin(eq \f(π,3)﹣α)＝eq \f(1,2)，则cs(eq \f(π,6)＋α的值为________.
答案为：eq \f(1,2)
解析：cs(eq \f(π,6)＋α)＝cs[eq \f(π,2)﹣(eq \f(π,3)﹣α)]＝sin(eq \f(π,3)﹣α)＝eq \f(1,2).
延伸探究
1.将本例(2)的条件改为sin(eq \f(π,3)＋α)＝eq \f(1,2)，求cs(eq \f(5π,6)＋α)的值.
解：cs(eq \f(5π,6)＋α)＝cs(eq \f(π,2)＋eq \f(π,3)＋α)＝﹣sin(eq \f(π,3)＋α)＝﹣eq \f(1,2).
(教师)
2.将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))的值.
解：因为α是第三象限角，所以﹣α是第二象限角，
又sin(eq \f(π,3)﹣α)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(π,3)﹣α是第二象限角，所以cs(eq \f(π,3)﹣α)＝﹣eq \f(\r(3),2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))＝sin(π＋eq \f(π,6)＋α)＝﹣sin(eq \f(π,6)＋α)＝﹣cs(eq \f(π,3)﹣α)＝eq \f(\r(3),2).
(学生)
反思感悟 利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.
(3)常见的互余的角：eq \f(π,3)﹣α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)﹣α等，常见的互补的角：eq \f(π,6)＋α与eq \f(5π,6)﹣α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)﹣α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)﹣α等.
跟踪训练1 (1)已知sin(eq \f(5π,2)＋α)＝eq \f(1,5)，那么cs α等于( )
A.﹣eq \f(2,5) B.﹣eq \f(1,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,5)
答案为：C
解析：sin(eq \f(5π,2)＋α)＝sin(2π＋eq \f(π,2)＋α)＝sin(eq \f(π,2)＋α)＝cs α＝eq \f(1,5).
(2)已知sin(α﹣eq \f(3π,4))＝eq \f(1,3)，则cs(eq \f(π,4)﹣α)的值等于( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.﹣eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D.﹣eq \f(1,3)
答案为：D
解析：∵sin(α﹣eq \f(3π,4))＝﹣sin(eq \f(3π,4)﹣α)＝﹣cs(eq \f(π,4)﹣α)＝eq \f(1,3)，∴cs(eq \f(π,4)﹣α)＝﹣eq \f(1,3).
二、三角恒等式的证明
例2 求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1).
证明 左边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·－sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ2,sin2θ－cs2θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝右边.
所以原等式成立.
反思感悟 三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
跟踪训练2 求证：eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＋eq \f(csπ－θ,cs θ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＝eq \f(2,sin2θ).
证明 左边＝eq \f(cs θ,－cs θcs θ＋cs θ)＋eq \f(－cs θ,cs θ－cs θ－1)
＝eq \f(1,1－cs θ)＋eq \f(1,1＋cs θ)＝eq \f(1＋cs θ＋1－cs θ,1－cs θ1＋cs θ)
＝eq \f(2,1－cs2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝右边，
∴原等式成立.
三、诱导公式的综合应用
例3 已知sin(π﹣α)﹣cs(π＋α)＝eq \f(\r(2),3)，求下列各式的值：
(1)sin(eq \f(3π,2)＋α)cs(α﹣eq \f(π,2))；
(2)sin3(eq \f(π,2)﹣α)＋cs3(eq \f(π,2)＋α).
解：由sin(π﹣α)﹣cs(π＋α)＝eq \f(\r(2),3)，得sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，
两边平方整理得2sin αcs α＝﹣eq \f(7,9)，
∴sin αcs α＝﹣eq \f(7,18)，
∴cs α﹣sin α＝±eq \r(cs α－sin α2)＝±eq \r(1－2sin αcs α)＝±eq \r(1＋\f(7,9))＝±eq \f(4,3)，
(1)sin(eq \f(3π,2)＋α)cs(α﹣eq \f(π,2))＝sin(π＋eq \f(π,2)＋α)cs(eq \f(π,2)﹣α)＝﹣sin(eq \f(π,2)＋α)sin α＝﹣sin αcs α＝eq \f(7,18).
(2)sin3(eq \f(π,2)﹣α)＋cs3(eq \f(π,2)＋α)＝cs3α﹣sin3α＝(cs α﹣sin α)(cs2α＋cs αsin α＋sin2α)＝±eq \f(22,27).
反思感悟 诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式.
跟踪训练3 已知cs α＝﹣eq \f(4,5)，且α为第三象限角.
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝eq \f(tanπ－α·sinπ－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)的值.
解：(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝﹣eq \r(1－cs2α)＝﹣eq \f(3,5).
(2)f(α)＝eq \f(－tan α·sin α·cs α,－cs α)＝tan α·sin α＝eq \f(sin α,cs α)·sin α＝eq \f(sin2α,cs α)＝﹣eq \f(9,20).
1.已知sin α＝eq \f(5,13)，则cs(eq \f(π,2)＋α)等于( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.﹣eq \f(5,13) D.﹣eq \f(12,13)
答案为：C
解析：cs(eq \f(π,2)＋α)＝﹣sin α＝﹣eq \f(5,13).
2.若sin(eq \f(π,2)﹣θ)<0，且cs(eq \f(π,2)＋θ)>0，则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案为：C
解析：∵sin(eq \f(π,2)﹣θ)＝cs θ<0，cs(eq \f(π,2)＋θ)＝﹣sin θ>0，∴sin θ<0，∴角θ是第三象限角.
3.已知tan θ＝2，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)等于( )
A.2 B.﹣2 C.0 D.eq \f(2,3)
答案为：B
解析：原式＝eq \f(cs θ＋cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(2cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(2,1－tan θ)＝eq \f(2,1－2)＝﹣2.
4.化简：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝________.
答案为：﹣tan θ
解析：原式＝eq \f(cs θ·sin－θ·tan－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋θ))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(cs θ·－sin θ·－tan θ,－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))))
＝eq \f(cs θ·sin θ·tan θ,－sin θ·cs θ)＝﹣tan θ.
5.已知cs(eq \f(π,12)﹣α)＝eq \f(\r(2),4)，则sin(α＋eq \f(5π,12))的值为________.
答案为：eq \f(\r(2),4).
解析：∵α＋eq \f(5π,12)＋(eq \f(π,12)﹣α)＝eq \f(π,2)，∴sin(α＋eq \f(5π,12))＝sin[eq \f(π,2)﹣(eq \f(π,12)﹣α)]＝cs(eq \f(π,12)﹣α)＝eq \f(\r(2),4).
1.知识清单：
利用诱导公式进行化简、求值与证明.
2.方法归纳：公式法、角的构造.
3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造.
1.已知sin 25.3°＝a，则cs 64.7°等于( )
A.a B.﹣a C.a2 D.eq \r(1－a2)
答案为：A
解析：cs 64.7°＝cs(90°﹣25.3°)＝sin 25.3°＝a.
2.已知sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，则cs(α﹣eq \f(5π,2))的值为( )
A.eq \f(1,2) B.﹣eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.﹣eq \f(\r(2),2)
答案为：B
解析：由sin(π＋α)＝eq \f(1,2)得sin α＝﹣eq \f(1,2)，
所以cs(α﹣eq \f(5π,2))＝cs(eq \f(5π,2)﹣α)＝cs(eq \f(π,2)﹣α)＝sin α＝﹣eq \f(1,2).
3.(多选)下列与cs(eq \f(3π,2)﹣θ)的值相等的是( )
A.sin(π﹣θ) B.sin(π＋θ) C.cs(eq \f(π,2)﹣θ) D.cs(eq \f(π,2)+θ)
答案为：BD
解析：因为cs(eq \f(3π,2)﹣θ)＝﹣cs(eq \f(π,2)﹣θ)＝﹣sin θ，sin(π﹣θ)＝sin θ，sin(π＋θ)＝﹣sin θ，
cs(eq \f(π,2)﹣θ)＝sin θ，cs(eq \f(π,2)+θ)＝﹣sin θ，所以B，D项与cs(eq \f(3π,2)﹣θ)的值相等.
4.若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝﹣eq \f(1,4)，则cs(270°﹣α)＋2sin(360°﹣α)的值为( )
A.﹣eq \f(1,6) B.﹣eq \f(3,8) C.eq \f(1,6) D.eq \f(3,8)
答案为：B
解析：由sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝﹣eq \f(1,4)，得sin α＝eq \f(1,8)，
cs(270°﹣α)＋2sin(360°﹣α)＝﹣sin α﹣2sin α＝﹣3sin α＝﹣eq \f(3,8).
5.化简：eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)等于( )
A.﹣sin θ B.sin θ C.cs θ D.﹣cs θ
答案为：A
解析：原式＝eq \f(sinθ－πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs θ,cs θsin－θ)＝eq \f(－sin θ－sin θcs θ,cs θ－sin θ)＝﹣sin θ.
6.已知cs(eq \f(3π,2)+α)＝﹣eq \f(3,5)且α为第四象限角，则cs(﹣3π＋α)＝________.
答案为：﹣eq \f(4,5)
解析：因为cs(eq \f(3π,2)+α)＝sin α，所以sin α＝﹣eq \f(3,5).
又α为第四象限角，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)，
所以cs(﹣3π＋α)＝cs(π＋α)＝﹣cs α＝﹣eq \f(4,5).
7.已知sin α＝eq \f(1,2)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α﹣π)·cs(2π﹣α)的值为________.
答案为：﹣eq \f(1,4).
解析：原式＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α)))·(﹣sin α)·cs(﹣α)＝eq \f(sin α,cs α)·(﹣sin α)·cs α＝﹣sin2α＝﹣eq \f(1,4).
8.已知cs(eq \f(π,6)﹣α)＝eq \f(1,3)，则cs(eq \f(5π,6)+α)＝________，sin(eq \f(2π,3)﹣α)＝________.
答案为：﹣eq \f(1,3),eq \f(1,3).
解析：cs(eq \f(5π,6)+α)＝cs[π﹣(eq \f(π,6)﹣α)]＝﹣cs(eq \f(π,6)﹣α)＝﹣eq \f(1,3).
sin(eq \f(2π,3)﹣α)＝sin[eq \f(π,2)+(eq \f(π,6)﹣α)]＝cs(eq \f(π,6)﹣α)＝eq \f(1,3).
9.已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋αsin－α).
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝eq \f(3,5)，求tan A﹣sin A的值.
解：(1)f(α)＝eq \f(sin αcs αcs α,－cs α－sin α)＝cs α.
(2)因为f(A)＝cs A＝eq \f(3,5)，
又A为△ABC的内角，
所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4,5)，
所以tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(4,3)，
所以tan A﹣sin A＝eq \f(4,3)﹣eq \f(4,5)＝eq \f(8,15).
10.已知角α的终边经过点P(m,2eq \r(2))，sin α＝eq \f(2\r(2),3)且α为第二象限角.
(1)求m的值；
(2)若tan β＝eq \r(2)，求eq \f(sin αcs β＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin β,csπ＋αcs－β－3sin αsin β)的值.
解：(1)由三角函数定义可知sin α＝eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(2\r(2),\r(m2＋8))，解得m＝±1.
∵α为第二象限角，∴m＝﹣1.
(2)由(1)知tan α＝﹣2eq \r(2)，又tan β＝eq \r(2)，
∴eq \f(sin αcs β＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin β,csπ＋αcs－β－3sin αsin β)＝﹣eq \f(sin αcs β＋3cs αsin β,cs αcs β＋3sin αsin β)＝﹣eq \f(tan α＋3tan β,1＋3tan αtan β)
＝﹣eq \f(－2\r(2)＋3\r(2),1＋3×－2\r(2)×\r(2))＝eq \f(\r(2),11).
11.在△ABC中，cs eq \f(A＋B,2)＝eq \f(4,5)，则cseq \f(C,2)的值为( )
A.±eq \f(3,5) B.±eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案为：C
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)﹣eq \f(C,2)，
∴cs eq \f(A＋B,2)＝cs(eq \f(π,2)﹣eq \f(C,2))＝sin eq \f(C,2)＝eq \f(4,5).又eq \f(C,2)∈(0,eq \f(π,2))，∴cs eq \f(C,2)＝eq \f(3,5).
12.计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°等于( )
A.89 B.90 C.eq \f(89,2) D.45
答案为：C
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cs21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cs22°＝1，…，
∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cs244°＋cs243°＋…＋cs23°＋cs22°＋cs21°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).
13.已知sin(π﹣α)＝﹣2sin(eq \f(π,2)+α)，则sin αcs α等于( )
A.eq \f(2,5) B.﹣eq \f(2,5) C.eq \f(2,5)或﹣eq \f(2,5) D.﹣eq \f(1,5)
答案为：B
解析：∵sin(π﹣α)＝﹣2sin(eq \f(π,2)+α)，即sin α＝﹣2cs α，∴tan α＝﹣2，
∴sin αcs α＝eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,tan2α＋1)＝﹣eq \f(2,5).
14.sin2(eq \f(π,3)﹣x)＋sin2(eq \f(π,6)+x)＝________.
答案为：1
解析：sin2(eq \f(π,3)﹣x)＋sin2(eq \f(π,6)+x)＝sin2(eq \f(π,3)﹣x)＋sin2[eq \f(π,2)﹣(eq \f(π,3)﹣x)]＝sin2(eq \f(π,3)﹣x)＋cs2(eq \f(π,3)﹣x)＝1.
15.(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π＋α)＝﹣eq \f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin β＝eq \f(\r(15),4) B.cs(π＋β)＝eq \f(1,4) C.tan β＝eq \r(15) D.tan β＝eq \f(\r(15),5)
答案为：AC
解析：因为sin(π＋α)＝﹣sin α，所以sin α＝eq \f(1,4)，若α＋β＝90°，则β＝90°﹣α，
故sin β＝sin(90°﹣α)＝cs α＝±eq \f(\r(15),4)，故A满足；
C中tan β＝eq \r(15)，即sin β＝eq \r(15)cs β，
又sin2β＋cs2β＝1，故sin β＝±eq \f(\r(15),4)，即C满足，而BD不满足.
16.已知sin α是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，且α为第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π﹣α).
解：方程5x2﹣7x﹣6＝0的两根为x1＝﹣eq \f(3,5)，x2＝2，
又α是第三象限角，所以sin α＝﹣eq \f(3,5).
所以cs α＝﹣eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)，
所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π﹣α)
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α
＝eq \f(cs α－sin α,sin α·cs α)·tan2α
＝﹣tan2α＝﹣eq \f(9,16).
终边关系
图示
公式
公式二
角π＋α与角α的终边关于原点对称
sin(π＋α)＝﹣sin α，
cs(π＋α)＝﹣cs α，
tan(π＋α)＝tan α
公式三
角﹣α与角α的终边关于x轴对称
sin(﹣α)＝﹣sin α，
cs(﹣α)＝cs α，
tan(﹣α)＝﹣tan α
公式四
角π﹣α与角α的终边关于y轴对称
sin(π﹣α)＝sin α，
cs(π﹣α)＝﹣cs α，
tan(π﹣α)＝﹣tan α