2022-2023学年广东省珠海市香洲区前山中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省珠海市香洲区前山中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  如图，已知两正方形和的面积分别是，，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，数轴上点表示的数为，过点的垂线段长度为，以原点为圆心，如图方法作图，交数轴于点，则点表示的数值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列各命题中，其逆命题为真命题的是(    )

A. 若，则
B. 对顶角相等
C. 如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等
D. 菱形的四条边都相等

7.  顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是(    )

A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形

8.  菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的高为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，的周长是，以它的三边中点为顶点组成第个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第个三角形，，则第个三角形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  要使有意义，实数的取值范围是______ ．

12.  若直角三角形的三边分别为，，，则______．

13.  如图，中，，点为中点，若， ______ ．

14.  如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点，使得以，，，为顶点组成一个平行四边形，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
如图，某港口位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时海里，小时后，两船分别到达，处，此时两船相距多少海里？

18.  本小题分
如图，中，，平分，射线平分外角，过点作于点，求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，，求的长和四边形的面积．

20.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点分别在正方形网格的格点上．
计算边、、的长．
判断的形状，并说明理由．

 

21.  本小题分
如图，将一个矩形纸片沿折叠，使点与点重合，已知，．
证明是等腰三角形；
求折痕的长．

22.  本小题分
观察式子：，
反过来：，
，
仿照上面的例子：
化简；；
如果，且，化简．

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动．
当为何值时，四边形是矩形？
当为何值时，？
当为何值时，？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，不合题意；
B、，不是最简二次根式，不合题意；
C、，不是最简二次根式，不合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，符合题意；
D、，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知：


，
故选：．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题可知：，，，
，
，
点所表示的数是．
故选：．
根据数轴的意义，求出线段、的长度，利用勾股定理求出线段的长度，即可求出答案．
本题以数轴为背景考查了实数的意义，本题难度较小，解决问题的关键是明确勾股定理求出的长度，求出点的坐标．
 

6.【答案】 

【解析】解：、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
C、如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题是如果一个四边形的对角线相等，那么它是矩形，逆命题是假命题，不符合题意；
D、菱形的四条边都相等的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，逆命题是真命题，符合题意；
故选：．
写出每各命题的逆命题，再判断其真假即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握能求出原命题的逆命题，并能判断其真假．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接、．
在中，
，，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四边形为菱形．
故选：．
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，菱形的性质，作出图形，根据，的值求是解题的关键．根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得为直角三角形，根据，可以求得的值，根据菱形的面积和边长即可解题．
【解答】
解：由题意知，，

则菱形的面积，
菱形对角线互相垂直平分，
为直角三角形，，，
，
菱形的高．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，
则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，
，，，
由勾股定理得：．
故选：．
沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程．
 

10.【答案】 

【解析】解：、、分别为、、的中点，
，，，
第个三角形的周长为：，
则第个三角形的周长为：，

第个三角形的周长为：．
故选：．
根据三角形的中位线等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半，然后根据指数的变化规律求解即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意得，
解得．
故答案为：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】或 

【解析】解：设第三边为，
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得：
，所以；
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得：
，所以；
所以第三边的长为或，
故答案为或．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，点为中点，
，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：纸条的对边平行，即，，
四边形是平行四边形，
两张纸条的宽度都是，
，
，
平行四边形是菱形，即四边形是菱形．
如图，过作，垂足为，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
故答案是：．
先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形；根据宽度是与求出菱形的边长，然后利用平形四边形的面积底高计算即可．
本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：，，，
，，
，
如图，

分三种情况：
当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
画出图形即可解决问题，满足条件的点有三个．
本题考查平行四边形的判定，坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，利用图象法解决问题．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据平方差公式分母有理化即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：甲船沿北偏西方向航行，乙船沿北偏东方向航行，
，
海里，海里，
海里，
答：两船相距海里． 

【解析】根据已知条件得到，海里，海里，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，平分，
，，
，
是外角的平分线，
，
，
；
，
，
四边形为矩形． 

【解析】证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，四边形的面积． 

【解析】根据勾股定理得到，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：每个小正方形的边长都是，
，，；
是等腰直角三角形，
理由是：，
，
，
又，
是等腰直角三角形． 

【解析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
先利用勾股定理分别计算三边的长即可；
利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，且，所以是等腰直角三角形．
 

21.【答案】证明：由折叠可知：，
，
，
，
，为等腰三角形；
解：过点作于，
由折叠可知：，
在中，设，，，
，
，
在中，，，
． 

【解析】先过点作于利用勾股定理可求出，再利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线可得，故有求出，再次使用勾股定理可求出的长．
本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意得出方程．
 

22.【答案】解：



；




；
，且，




． 

【解析】模仿示例将更号里面算式变形为完全平方式的形式进行化简；
将算式变形为，再运用二次根式的性质进行化简．
此题考查了二次根式的化简能力，关键是能根据示例运用二次根式的性质进行计算．
 

23.【答案】解：由题意得：，，，
四边形是矩形，
，
即，
解得：，
当为时，四边形是矩形；
如图，

过点作于点，则，，
，
，
时，，
，
解得：；
过点作于点，则，，

，
解得：，
此时点与点重合，
综上所述，当为或时，；
由题意知，分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况．
当四边形是平行四边形时，，
，，
，
解得：；
当四边形是等腰梯形时，
如图，过作于，过作于点，则四边形，是矩形，

由题意知，，，
，
即，
解得：；
综上所述，当为或时，． 

【解析】由矩形的性质得出，则，计算求解即可得出答案；
过点作于点，根据勾股定理求得的长度，列出方程求解即可；
分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解．
此题是四边形综合题：动点问题，考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质等知识，难度适中．利用分类讨论和数形结合是解题的关键．