模型13 半角模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

       图示（1）                  作法1：将△ABD旋转90°  作法2：分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

         图示（2）                

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

        任意等腰三角形                  

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

      图示（1）              作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

 （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，

则：EF=DF-BE.

      图示（2）              作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，

∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

      图示（3）              作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

【专题说明】

半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

【知识总结】

过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

一、半角模型特征

1、共端点的等线段；   2、共顶点的倍半角；

二、半角模型辅助线的作法

1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；

2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；

3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。

【例1】．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　　．

变式训练

【变式1-1】．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．

【变式1-2】．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长为 　　．

【变式1-3】．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：

①AP＝PF；

②BG2+DP2＝GP2；

③PB﹣PD＝BF；

④S四边形PEFG＝S△APG．

以上结论正确的有 　　（填入正确的序号即可）．

【例2】．如图，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，求S△AEF．

变式训练

【变式2-1】．如图，等边△ABC中，D、E为BC边上的点，BD＝2CE，∠DAE＝30°，DE＝3，CE的长为　　．

【变式2-2】．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．

【变式2-3】．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E均在边BC上，且∠DAE＝45°．

（1）如图②，把△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，

求证：△DAE≌△GAE；

（2）试猜想BD、DE、EC应满足的数量关系，并写出推理过程．

1．如图，已知等边三角形△ABC边长为a，等腰三角形△BDC中∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为（　　）

A．a B．2a C．3a D．4a

2．如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO＝10，则⊙O的半径长等于（　　）

A．5 B．6 C．2 D．3

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为　　．

4．PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是　　．

5．如图，在正方形ABCD中，点M，N在CB，CD上运动，且∠MAN＝45°，在MN上截取一点G，满足BM＝GM，连接AG，取AM，AN的中点F，E，连接GF，GE，令AM，AN交BD于H，I两点，若AB＝4，当GF+GE的取值最小时，则HI的长度为　　．

6．如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．

7．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值．

8．如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．

（1）在图中画出旋转后的图形；

（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF＝45°，连接EF．

①求证：△AMF≌△AEF；

②若正方形的边长为6，，求EF．

9．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．

（1）求（AF+1）（CE+1）的值；

（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．

10．在正方形ABCD中，连接BD．

（1）如图1，AE⊥BD于E，直接写出∠BAE的度数；

（2）如图2，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB1E1，AB1与BD交于M，AE1的延长线与BD交于N．求证：BM2+ND2＝MN2．（提示，将△AND绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，并连接FM．）

（3）如图3，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出线段BM、DN、MN之间的数量关系，并证明．

声明：试题解析著初中数学；邮箱：lsjycs

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11．如图，四边形ABCO为正方形，若点A坐标为（0，5）．

（1）如图1，直接写出点B的坐标 　　；

（2）如图1，点D为线段OA上一点，连接BD，若点A到BD的距离为1，求点C到BD的距离；

（3）如图2，若D为x轴上一点，且OD＝2，M为y轴正半轴上一点，且∠DBM＝45°，直接写出点M的坐标 　　．

12．（1）【探索发现】

如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为　　．

（2）【类比延伸】

如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．

（3）【拓展应用】

如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．

13．请阅读下列材料：

问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；

（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；

（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．

14．问题背景：

如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　　．

实际应用：

如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B+∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到∠EAF＝∠BAD，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．

15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．