模型18 奔驰模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 .

【结论】如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，

则①∠APB=150º，  ②S△ABC＝AB2＝

关键：旋转可以让线段动起来

各种旋法：

超酷炫又实用：S=a2

【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝　　．

变式训练

【变式1-1】．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（　　）

A．40° B．45° C．105° D．55°

【变式1-2】．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝　　．

【变式1-3】．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为　　．

1．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　）

A． B． C． D．

2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为（　　）

A．24+9 B．48+9 C．24+18 D．48+18

3.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO´，有下列结论∶

①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到;

②点 O与O´的距离为 4;   ③∠AOB=150°;

④ ＝6＋3;   ⑤＋ ＝6＋

其中正确的结论是（     )

A. ①②③⑤       B. ①②③④      C. ①②③④⑤     D. ①②③

4.如图，在菱形 ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC平分∠BAD，点 P是△ABC 内一点，连接 PA，PB，PC.若 PA=6，PB=8，PC=10，则菱形 ABCD的面积等于         .

5．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝　　．

6．已知P是等边△ABC内一点，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，则△ABC的面积＝　　．

7．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为　　．

8．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　   　（填序号）

①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°

9．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．

（1）求点P与点P′之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．

（1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．

∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，

∴P′P2+PB2＝P′B2．

∴△BPP′为　   　三角形．

∴∠APB的度数为　   　．

（2）类比延伸

如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．

11．【方法呈现】：

（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

【实际运用】：

（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；

【拓展延伸】：

（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是　   　（直接填答案）

12．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．

解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴　　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝　　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝　　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为　　．

13．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 　   　，正方形ABCD的边长为 　   　．

（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 　   　．

14．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数．

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

请回答：图1中∠APB的度数等于　   　，图2中∠PP′C的度数等于　   　．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．