模型25 圆综合之中点弧模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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模型介绍

【以下五个条件知一推四】
① 点C是的中点
② AC＝BC
③ OC⊥AB
④ PC平分∠APB
⑤ (即)


【模型解读】
类型一 中点弧与相似
点P是优弧AB上一动点，则

∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似

【补充】⑥PE•PC＝PA•PB

类型二 中点弧与旋转
【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点
邻边相等+对角互补 ½旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.
½½
由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.

类型三 中点弧+内心可得等腰
【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰
如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD
½ ½

【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3

类型四 弧中点与垂径定理
【模型解读】
知1推5
① AD平分∠CAB
② D是的中点
③ DO⊥CB
④
⑤
⑥

例题精讲


考点一： 中点弧与相似三角形的综合
【例1】．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为_______

解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠D，
∵∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∴AB2＝3×7＝21，
∴AB＝．
Ø变式训练
【变式1-1】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，则BC•CD＝　40　．

解：∵AB＝AD＝3，
∴＝，
∴∠ADP＝∠ACD，
∵∠DAP＝∠CAD，
∴△ADP∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，PC＝AC﹣PA＝7﹣＝，
∵∠CBP＝∠CAD，∠BCP＝∠ACD，
∴△CBP∽△CAD，
∴＝，
∴BC•CD＝CA•CP＝7×＝40．
故答案为：40．






【变式1-2】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为_______

解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
而∠DCA＝∠ABD，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴∠ABD+∠BDE＝90°，
而∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴FD＝FA＝5，
在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，
∴EF＝3，
∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，
∴△ADE∽△DBE，
∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，
∴BE＝16，
∴AB＝4+16＝20，
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，
∴BC＝20×＝12．


考点二 中点弧与旋转的综合
【例2】.在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是　　．

解：如图，过作于，于，
则，
点为弧的中点，，
，，
，，，
、、、四点共圆，，
在和中，
，，
在和中，，
，，
设，
，，，，解得：，即，
，故答案为．

Ø变式训练
【变式2-1】．如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

（1）证明：如图，连接，，，交于，
，，
是等边三角形，，
点是弧的中点，，
，
，
，，
，，，
，，是的切线；
（2）解：，，
，，，，，
；
（3）结论：，的值不变．
理由：如图，连接，，交于，作交的延长线于，
，，
由（1）得，，，
，
，
，，
，，，，
，，
，，，
，的值不变．






考点三：中点弧+内心可得等腰三角形
【例3】．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD、DC、BI．求证：DB＝DC＝DI．

证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠IBC，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵∠DBI＝∠IBC+∠CBD，∠BID＝∠ABI+∠BAI，
∴∠DBI＝∠BID，
∴DB＝DI，
∴DB＝DC＝DI．




Ø变式训练
【变式3-1】．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．

（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．


【变式3-2】．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．

解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；
（2）如图，连接OA，
∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，∴AB＝5，
如图，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．


考点四: 弧中点与垂径定理
【例4】．如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．

（1）证明：，，
，
，，；
（2）连接，
，，，
，，
，，
，即，解得，，
是直径，，
，的半径为．


Ø变式训练
【变式4-1】．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的长．

（1）证明：∵C是 中点，
∴＝，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2，
∵＝＝，
∴＝，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，
解得：r＝2（舍）或6，
∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，
∴BF＝4．










【变式4-2】．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若，求tan∠ODA的值．

解：（1）连接AE，OE交AC于H，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∴∠BAE+∠FAE＝90°，
∴∠B＝∠FAE，
∵点E为弧AC的中点，
∴＝，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（ASA），
∴AD＝AF；
（2）∵，
∴设AO＝2x，AF＝3x，
∴AB＝4x，
∴BF＝＝＝5x，
∵S△ABF＝×AB×AF＝×BF×AE，
∴AE＝x，
∴EF＝＝x，
∵点E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，AH＝CH，
∵∠DAE＝∠EAF，∠AEF＝∠AHE＝90°，
∴△AEH∽△AFE，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝x，HE＝x，
∴OH＝x，HD＝x，
∴tan∠ODA＝＝．





考点五 弧中点与垂径模型（三等弧模型）
【例5】.如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．

证明：（1）是的中点，，
是的直径，且，，，，
在和中，
，；
（2）如图，连接，设的半径为，
中，，即，
中，，即，
，，，
，即，
解得：（舍或3，
，；





1．如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
解：如图，连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，

∵DF＝2DE，
∴设DE＝x，DF＝2x，
∴EF＝3x，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，∠CDH＝45°，
∴EH＝HF＝x，
∴DH＝x＝CH，
∴CD＝x，
∵∠EAD＝∠CFD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△FDC，
∴，
∴，
∴AD＝2x，
∴CD：AD＝1：4．
故选：D．

2．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（　　）

A．2 B． C． D．1
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′，OB，
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1， ∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝． 故选：C．

3．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　　．

解：如图2中，过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D＝∠CBE，
在△CBE和△CDF中
，
∴△CBE≌△CDF，
∴BE＝DF，
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC，
∴AE＝AF，
设BE＝DF＝x，
∵AB＝6，AD＝10，
∴AE＝AF＝x+3，
∴10﹣x＝6+x，
解得：x＝2， 即AE＝8，
∴AC＝＝， 故答案为 ．


4．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠EBC+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BED＝∠EBD，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，

∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∵BD＝4，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2．

5．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠F＝，AE＝4，求⊙O的半径和AC的长．

（1）证明：连接OD，OC．
∵D是的中点，
∴∠BOD＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠A，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
即EF是⊙O的切线；

（2）解：在△AEF中，∵∠E＝90°，sin∠F＝，AE＝4，
∴AF＝＝12．
设⊙O的半径为R，则OD＝OA＝OB＝R，AB＝2R．
在△ODF中，∵∠ODF＝90°，sin∠F＝，
∴OF＝3OD＝3R．
∵OF+OA＝AF，
∴3R+R＝12，
∴R＝3．
连接BC，则∠ACB＝90°．
∵∠E＝90°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE＝AB：AF，
∴AC：4＝2R：4R，
∴AC＝2．
故⊙O的半径为3，AC的长为2．



6．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，
∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∵OF＝FC，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵AE＝EB，
∴EF＝AB＝．

（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴＝＝，同理＝，
∴FH＝OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF是平行四边形，
∴PE＝PF．
解法二：可以作OB中点G，连接FG，EG，证明OEFG是平行四边形即可，得对角线互相平分．

②∵OE∥FG∥BC，
∴＝＝1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．
解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG．

∵EG∥OB，AE＝EB，
∴AG＝OG
∵OF＝FC，
∴OG＝OF，
∴OD＝FG，
∵AE⊥OE，AG＝OG，
∴EG＝AO＝OG，
∵∠DOG＝∠FGE，
∴DOG≌△FGE（SAS），
∴DG＝EF，
∵DF＝EF，
∴DG＝DF，
∴DO⊥FG，
∴EG⊥AO，
∴EA＝EO，
∴∠BAC＝45°










7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．

（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，
∴，
又∵
∴，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴AP＝CP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90˚，
∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，
∴∠BCP＝∠CQA，
∴CP＝PQ，
∴AP＝PQ，
即P是线段AQ的中点；
（2）解：∵，AB是直径，
∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，
又∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝5，BC＝5，
∴CH＝BC＝，
又∵CE⊥AB，
∴CH＝EH，
∴CE＝2CH＝2×＝5．

8．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，CD＝3，求DE的长．
（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

（1）证明：如图，连接AC，OA，OC，OC交AB于H，

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠ACO＝60°，
∵点C是弧AB的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴∠CHA＝180﹣∠OCA﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴，
∴，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9；
（3）结论：，的值不变．
理由：如图，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N，

∵，
∴CB＝CA，
由（1）得，OC⊥AB，
∴BH＝AH＝，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BEC＝∠AEC＝30°，
∴BH＝BCcos30°＝BC，
∴，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝30°，
∴∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴，
∴＝，
∴的值不变．
解法二：连接AC，可知BC＝AC，∠BCA＝120°，可得BC：AC：AB＝1：1：，再利用相似三角形的性质解决问题．









9．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式　AB+AC＝AD　；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．

解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，

∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
又∵AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC，
∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案为：AB+AC＝AD．
（2）AB+AC＝AD．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，

∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠MBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，
∴MD⊥AD．
∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，
∴AB+AC＝AD；
（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，

∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠NBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，
∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，
∴，
∴，
又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，
∴＝．

10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC＝AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．

（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BC＝AB．

（3）解：连接MA，MB，
∵点M是 的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴＝．
∴BM2＝MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，＝，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝8，
∴BM＝4 ．
∴MN•MC＝BM2＝32．


11．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

（1）解：如图，连接OC，
∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，
∵OC＝2，
∴CD＝2CM＝2＝2＝2；

（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∵OC＝2，PO＝2+2＝4，
∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；

（3）解：GE•GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为的中点
∴∠GOE＝90°，
∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴＝
∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．



12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣，0），B（3，0），以AB为直径的⊙G交y轴于C、D两点．
（1）填空：请直接写出⊙G的半径r、圆心G的坐标：r＝　 　；G（　 　，　 　）；
（2）如图2，直线y＝﹣x+5与x，y轴分别交于F，E两点，且经过圆上一点T（2，m），求证：直线EF是⊙G的切线．

（3）在（2）的条件下，如图3，点M是⊙G优弧上的一个动点（不包括A、T两点），连接AT、CM、TM，CM交AT于点N．试问，是否存在一个常数k，始终满足CN•CM＝k？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵A（﹣，0），B（3，0），AB是直径，
∵AB＝4，
∴⊙G的半径为2，G（，0），
故答案为r＝2，，0．

（2）如图2中，连接GT，过点T作TH⊥x轴于H，

∵直线y＝﹣x+5与x、y轴交于E、F两点，则E（0，5），F（5，0），
∵直线y＝﹣x+5经过T（2，m），则m＝﹣×2+5＝3，
∴T（2，3），
故TH＝3．GH＝，HF＝3，
在Rt△HGT中，GT＝r＝2，
∴GH＝GT，
∴∠GTH＝30°，
在Rt△THF中，tan∠FTH＝＝＝，
∴∠FTH＝60°，
∴∠GTF＝∠GTH+∠HTF＝30°+60°＝90°，
∴GT⊥EF，
∴直线EF是⊙G的切线．

（3）如图3中，连接CG、TG、TC．

在Rt△COG中，OG＝，CG＝r＝2，
∴OC＝3，∠CGO＝60°．
∵C（0，3），T（2，3），
∴CT∥x轴，
∴CT＝2，即CT＝CG＝GT＝2，
∴△CGT是等边三角形，
∴∠CGT＝∠TCG＝∠CGA＝60°，
∴∠CTA＝∠CGA＝30°，∠M＝∠CGT＝30°，
∴∠CTA＝∠M，
在△CNT和△CTM中，
∵∠TCN＝∠MTC，∠CTN＝∠M，
∴△CNT∽△CTM，
∴＝，
∴CN•CM＝CT2＝（2）2＝12． ∴k＝CN•CM＝12．
13．已知：如图，抛物线y＝x2﹣x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
（3）在条件（2）下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH•AP＝k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0．
设A（x1，0），B（x2，0）．
则有x1•x2＝3m
又OC是Rt△ABC的斜边上的高，
∴△AOC∽△COB
∴
∴，
即x1•x2＝﹣m2
∴﹣m2＝3m，解得m＝0或m＝﹣3
而m＜0，
故只能取m＝﹣3（3分）
这时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣4
故抛物线的顶点坐标为（，﹣4）．

（2）由已知可得：M（，0），A（﹣，0），B（3，0），
C（0，﹣3），D（0，3）
∵抛物线的对称轴是直线x＝，也是⊙M的对称轴，连接CE
∵DE是⊙M的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴直线x＝，垂直平分CE，
∴E点的坐标为（2，﹣3）
∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，
∴∠ACO＝∠MDO＝30°，
∴AC∥DE
∵AC⊥CB，
∴CB⊥DE
又∵FG⊥DE，
∴FG∥CB
由B（3，0）、C（0，﹣3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：
y＝﹣3
可设直线FG的解析式为y＝+n，把（2，﹣3）代入求得n＝﹣5
故直线FG的解析式为y＝﹣5．

（3）存在常数k＝12，满足AH•AP＝12，
假设存在常数k，满足AH•AP＝k
连接CP，
∵AB⊥CD，
∴＝
∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO），
又∵∠CAH＝∠PAC，
∴△ACH∽△APC，
＝，
∴即AC2＝AH•AP，
在Rt△AOC中，AC2＝AO2+OC2＝（）2+（3）2＝12，
∴AH•AP＝k＝12；
（也可以证明△AOH∽△APB，可得AH•AP＝AO•AB，由此即可解决问题）

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