模型34 两圆中垂构造等腰三角形（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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           【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形. 【结论】分类讨论：若AB＝AC，则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若BA＝BC，则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若CA＝CB，则点C在线段AB的垂直平分线PQ上．以上简称“两圆一中垂”．“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，你能否将点C的坐标表示出来？    变式训练【变式1-1】．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为　                                 　．  【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点P为边AB上一动点，连接CP，DP．当△CDP为等腰三角形时，AP的值为 　          　．  【例2】．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 　           　．  变式训练【变式2-1】．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为　                                          　．   【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，与x轴交于点A．（1）求点B的坐标．（2）若点C在x轴上，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，求点C的坐标．                                      1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的点C有（　　）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个   2．如图，已知函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上一点，若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（　　）A．（﹣3﹣2，0） B．（3，0） C．（﹣1，0） D．（2，0）    3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形时，∠ABC＝30°，则点C的坐标为（　　）A．（﹣2，0），（，0），（﹣4，0） B．（﹣2，0），（，0），（4+，0） C．（﹣2，0），（，0），（，0） D．（﹣2，0），（1，0），（4﹣，0）  4．已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）         A．5个 B．6个 C．7个 D．8个  5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（　　）A．1+ B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣或1+6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有　 　个．  7．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有 　　个．  8．已知直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有 　  　个．  9．在平面直角坐标系中，已知A（5，0），B（0，12），且AB＝13，在x轴上取一点P，使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标 　                          　．  10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，∠AOB＝50°，AB⊥x轴于B，点C在y轴正半轴上运动，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是　     　．11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若在y轴上取一点P，使△ABP是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点P的坐标．  12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．（1）求AB的长度．（2）如图2，若以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．                  14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．                15．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．               16．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．