2023年广东省梅州市五华县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省梅州市五华县中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省梅州市五华县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  今年月日，一颗直径约米的小行星，以每小时公里的速度，快速接近地球用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 5.  实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 6.  在学校举行“健康阳光少年，做更好的自己”的演讲比赛中，六位评委给小钟的评分分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，7.  若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为(    )A.  B.
C.  D.  9.  如图，正方形的边长为，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是(    )
 A.  B.
C.  D. 10.  已知抛物线，且，判断下列结论：；；抛物线与轴正半轴必有一个交点；当时，其中正确结论的个数为(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  因式分解：______．12.  若有意义，则的取值范围为______ ．13.  如图，点，，均在上，当时，的度数是______ ．
 14.  如图，的顶点都是边长为的小正方形组成的网格的格点，则的正切值为______ ．
 15.  如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
计算：．17.  本小题分
小丽和小明同时解一道关于、的方程组，其中、为常数在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得．
求、的值；
求出原方程组正确的解．18.  本小题分
年月日是第个中国青年节，在此期间，某校举行了主题为“青春正当时”的知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到了两幅不完整的统计图表．
表中 ______ ， ______ ， ______ ；
请补全频数分布直方图；
若某班恰有名女生和名男生的初赛成绩均为分，从这名学生中随机选取名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．成绩分频数频率 
19.  本小题分
某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件；若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若每月销售件数件与价格元件满足关系
确定与的函数关系式，并指出的取值范围；
为了使每月获得利润为元，问商品应定为每件多少元？
为了获得了最大的利润，商品应定为每件多少元？20.  本小题分
如图，消防队在一居民楼前进行演习，消防员阿朗利用云梯成功救出点处的求救者后，又发现点正上方点处还有一名求救者，在消防车上点处测得点和点的仰角分别为和，点距地面米，为救出点处的求救者，云梯需要持续上升的高度为米，求点距地面多少米？
21.  本小题分
如图，是的外接圆，直径，直线经过点，于点，．
求证：是的切线；
若，求的长；
在的条件下，求图中阴影部分的面积．
22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点的坐标是，连接、．
求过、、三点的抛物线的解析式；
求证：≌；
动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为秒，当为何值时，？
23.  本小题分
【定义】：
对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”．
如图，四边形为“等角线四边形”，即，．

【定义探究】：
判断下列四边形是否为“等角线四边形”，如果是在括号内打“”，如果不是打“”．
对角线所夹锐角为的平行四边形．______
对角线所夹锐角为的矩形．______
对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．______
【性质探究】：
如图，以为边，向下构造等边，连接，请直接写出与的大小关系；
请判断与的大小关系，并说明理由；
【应用提升】：
若“等角线四边形”的对角线长为，则该四边形周长的最小值为______ ．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 2.【答案】 【解析】【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．  3.【答案】 【解析】解：、原式，符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了平方差公式，合并同类项，去括号与添括号，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 5.【答案】 【解析】解：根据图示，可得：，，
，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，，
，，
，
选项C不符合题意；

，
，
又，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据图示，可得：，，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 6.【答案】 【解析】解：这组数据排序后为，，，，，，
这组数据的众数为，
中位数为．
故选：．
首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可．
本题考查了中位数和众数的定义，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．
 7.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
解得：．
故选：．
由关于的一元二次方程没有实数根，即可得，继而求得答案．
此题考查了根的判别式．注意方程没有实数根．
 8.【答案】 【解析】【分析】
由抛物线平移的规律可得，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为，再化简即可得解．
【解答】
解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为，
故选：．
【点评】
本题考查二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．  9.【答案】 【解析】解：通过已知条件可知，当点与点重合时，的面积为；
当点在上运动时，的高不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而增大；
当时有最大面积为，
当在边上运动时，的底边不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而增大，
当时，有最大面积为；
当点在边上运动时，的底边不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而减小，当时最小面积为；
因此只有选项的图象符合题意．
故选：．
根据题意，分类讨论：当点在上运动时、当在边上运动时、当点在边上运动时，分别判断出与的关系是一次函数，并确定的取值范围和的最值，然后作出判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质，正方形的性质，三角形面积，难度不大．
 10.【答案】 【解析】由题意易知，，则有，进而可判定；当时，，当时，，进而可判定；由题意知抛物线的对称轴为直线，则有当时，随的增大而增大，当时，有最小值，可判定．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数与轴的交点，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等知识，综合性较强，需灵活运用二次函数的以上相关知识点．
解：，，
两式相减得，两式相加得，
，，
，，，
，故正确；
，故错误；
当时，，当时，，
当时，方程的两个根一个小于，一个大于，
抛物线与轴正半轴必有一个交点，故正确；
由题意知抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，有最小值，即为，故正确；
正确结论的个数为个．
故选：．
 11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 12.【答案】且 【解析】解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
利用二次根式有意义的条件可得，再利用分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
 13.【答案】 【解析】解：点、、在上，，，
，
，
故答案为：．
根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．
本题考查了等腰三角形，圆周角定理，解题的关键是掌握同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
 14.【答案】 【解析】解：如图，在中，
．
故答案为：．

根据题意可知是直角三角形，利用正切的定义解答即可．
本题考查了解直角三角形，熟记各个锐角三角函数的定义并灵活运用是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：当点与点重合时，在上，且，
，
，
当点与点重合时，运动到处，
点在线段上运动，
当点在上时，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
过点作，

，
的最小值为，
故答案为：．
根据旋转的性质，确定在线段上运动，当时，有最小值．
本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质，能够确定点的轨迹是解题的关键．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．
 17.【答案】解：在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，
解得，
，解得；
在解方程组的过程中，小明看错常数“”，
解得，
，解得；
；；
由知，
由得，解得，
将代入得，
原方程组的解为． 【解析】根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得，即是正确的，解得；小明看错常数“”，解得，即正确，解得；
由知关于、的方程组可化为，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问题的关键．
 18.【答案】     【解析】解：；
；
；
故填：；；；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

一共有种等可能的情况，其中恰好为一名男生、一名女生的结果数有种可能，
故恰好为一名男生、一名女生．
根据成绩为组的频数除以即可求出频率；将组的频率乘以即可求出频数；将组的频数除以即可求出频率；
根据求得的组频数补全频数分布直方图即可；
列列表法或树状图列举出所有都可能的结果，从中找出名学生恰好为一名男生、一名女生的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，频数、频率的计算，列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉频数、频率的关系，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
 19.【答案】解：依题意设，则有
，
解得，，
；

设每月获得利润，则，
，
当每月获得利润为元，
即，
，
解得：，，
当每月获得利润为元时，商品应定为每件元或元；

获得利润


，
当时，有最大值，最大值为．
答：当价格为元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为元． 【解析】设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可．
设每月获得利润，则，由可知，所以可求出每月获得利润为元时，商品应定为每件多少元；
按照等量关系“每月获得的利润销售价格进价销售件数”列出二次函数，并求得最值．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
 20.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意，知，，米，米．
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得米，
米．
答：点距地面米． 【解析】过点作，垂足为，构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求解．
本题考查了解直角三角形的仰角问题，题目难度较小，解决本题的关键是构造直角三角形，利用三角形的边角间关系．
 21.【答案】证明：连接，如图，
，
，
为的直径，
，
，
．
，
，
，
即，
为的半径，
是的切线；
解：，，
∽，
，
，
，
，
；
解：直径，
．
由知：，
，
为等边三角形，
．
，，
，
四边形为梯形，
图中阴影部分的面积


． 【解析】连接，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
利用相似三角形的判定与性质求得的长度，利用勾股定理解答即可得出结论；
利用圆的直径的性质和等边三角形的判定与性质球儿的度数，再利用图中阴影部分的面积解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，梯形，扇形的面积公式，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 22.【答案】解：设过、、三点的抛物线解析式为．
直线与轴，轴相交于、两点，
点和点．
又点坐标为，
将、、三点代入抛物线解析式为得，
解得，
所求抛物线解析式为
证明：由、两点的坐标得，，
由勾股定理得，
．
过点作轴于，作轴于，

点坐标为，
，，，．
由勾股定理得．
．
，
，
由勾股定理得．
是直角三角形；
，
，，
≌；
解：由题意得动点运动秒后，，，．
由勾股定理得，．
，
．
．
解得，舍去．
动点运动秒时，． 【解析】利用坐标轴上点的特点确定出点，坐标，进而用待定系数法即可得出结论；
求出，，进而利用勾股定理逆定理即可得出结论；
先根据勾股定理得出，进而建立方程求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理和逆定理，方程的思想，解的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，解的关键是求出，，，解关键是表示出，．
 23.【答案】      【解析】解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判是“等角线四边形”，
选择；
对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故是“等角线四边形”，
选择；
对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故是“等角线四边形”，
选择．
故答案为：；；；

是等边三角形，
，．
，
．
，
，
四边形是平行四边形，
．
中，，
即；

如图，过作，且，连接，，
四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
．
过点作，交于点，
，，
．
在中，，
，
则．
；

若“等角线四边形”的对角线长为，则，
由可得，，
．
该四边形周长的最小值为．
故答案为：．
根据定义即可求解；
证明四边形是平行四边形，根据即可求解；
先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案；
，根据的结论代入数据即可求解．
本题主要考查了四边形综合问题，新定义问题，特殊角三角函数值，平行四边的性质与判定等，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．