2023年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

2.  剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列值最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列选项的括号内填入，等式成立的是(    )

A. (    ) B. (    ) C. (    ) D. (    )

5.  如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  年月，中国矿业大学科研团队发现外径约纳米的天然洋葱状富勒烯，即“碳洋葱”，这是目前地球上发现的最大的天然“碳洋葱”，已知纳米米，那么纳米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.  劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：

关于家务劳动时间的描述正确的是(    )

A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

8.  一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  南阳，古称“宛”，是楚汉文化的重要发祥地，三顾茅庐、召父杜母、羊续悬鱼、牛郎织女等典故或传说皆发源于此现将分别印有“三顾茅庐”“召父杜母”“羊续悬鱼”“牛郎织女”图案的卡片卡片形状、大小、质地均相同各张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的张卡片放入不透明的乙盒中小明从甲、乙两个盒中各随机抽取张卡片，则抽到的卡片恰好是张“三顾茅庐”和张“羊续悬鱼”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知扇形，点从点出发，沿以的速度运动，设点的运动时间为，，随变化的图象如图所示，则扇形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式        ．

12.  小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面、左面、上面三个方向看到的粉笔形状相同如图所示，那么这摞粉笔一共有______ 盒

 

13.  某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积存在函数关系：如图所示若木板面积为，则压强为______ ．

14.  如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点依此类推，则点的坐标是        ．

15.  如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将边沿直线翻折得到线段，连接，则长度的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程和不等式组：
；
．

17.  本小题分
某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力、态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，满分均为分，综合各项指标成绩高者将被录用测试成绩如下条形统计图所示：

若按四项成绩平均分最高者被录用，则甲、乙、丙三人中______ 将被录用；
若这家公司比较看重员工的学历和态度，并且把学历、经验、能力、态度四个方面按：：：的比例计算三人的综合得分，请通过计算说明谁将被录用？
如果你是这家公司的招聘领导，你将按什么比例计算三人的综合得分？说明理由要求：你的方案不能和前两问相同

18.  本小题分
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在处时，风筝在空中的位置为点，仰角为，小冬站在处继续放线，当再放米长的线时，风筝飞到点处，此时点、离地面的高度恰好相等，点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为米，请计算风筝离地面的高度结果保留整数，参考数据：，，

19.  本小题分
【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．

任务：
填空： ______ ， ______ ．
小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根 ______ ， ______ ．

已知关于的方程的两根之和与两根之积的和等于，直接写出的值．

20.  本小题分
如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计相对当时的生产力，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．
徽徽猜想，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；
若，米，求车轮的直径的长．

21.  本小题分
为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价折出售；
乙：一次购买商品总额不超过元的按原价付费，超过元的部分打折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示．

分别求，关于的函数关系式；
两图象交于点，求点坐标；
请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

22.  本小题分
【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
【操作探究】如图，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 ______ 若是的中点，连接，则与的数量关系是______ ．
【迁移探究】如图，将中的绕点逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系．
【拓展应用】如图，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
 

23.  本小题分
已知关于的抛物线，其中为实数．
判断该抛物线与轴的交点情况，并说明理由；
若与轴平行的直线与这条抛物线相交于、两点点在点的左侧，已知点到轴的距离为，求点到轴的距离；
设这条抛物线的顶点的纵坐标为，当时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，，，，
．
故选：．
根据二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂直接计算后进行比较即可得到答案．
本题考查次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是熟练掌握，，，．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：．
把代入各项，然后利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
从，可以得到同位角相等，，然后相减可得到的度数．
本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：纳米米，
纳米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

7.【答案】 

【解析】解：每周参加家务劳动的时间为和出现的次数最多，故众数是和，故本选项不符合题意；
B.平均数是，故本选项符合题意；
C.中位数是，故本选项不符合题意；
D.方差为，故本选项不符合题意．
故选：．
排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
本题主要考查了众数、平均数以及方差的计算，注意：极差只能反映数据的波动范围，众数反映了一组数据的集中程度，平均数是反映数据集中趋势的一项指标，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
 

8.【答案】 

【解析】解：用四张全等的含角的直角三角形纸片拼成一个四边形，
可设直角三角形的三边为，，，
A.四边形的四条边长都为，故四边形为菱形，不符合题意；
B.四边形的四条边为，故四边形为菱形，不符合题意；
C.四边形的四边长为，故四边形是菱形，不符合题意；
D.四边形的四条边长为，，，，故四边形不是菱形，符合题意．
故选：．
根据菱形的判定定理可得出答案．
此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理，直角三角形的性质，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将三顾茅庐、召父杜母、羊续悬鱼、牛郎织女四个典故分别记作、、、，列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中抽到的卡片恰好是张“三顾茅庐”和张“羊续悬鱼”的有种结果，
所以抽到的卡片恰好是张“三顾茅庐”和张“羊续悬鱼”的概率为，
故选：．
将三顾茅庐、召父杜母、羊续悬鱼、牛郎织女四个典故分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：点从点运动到点的时间为，
，即扇形的半径为，
由图象可知，点从点运动到点的时间为，
弧长为，
设扇形的圆心角为，根据弧长公式可得：，
解得，
由扇形的面积公式可得：扇形的面积为
故选：．
先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可．
本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半径和弧长是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
是二次二项式，
符合题意．
故答案为：．
根据因式分解的定义解决此题．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由俯视图可得最底层有盒，由正视图和左视图可得第二层有盒，共有盒．
故答案为：．
首先根据俯视图判断最底层的个数，然后结合主视图和左视图判断出该总盒数．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
 

13.【答案】 

【解析】解：由已知反比例函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
，
当时，，
解得，
当木板面积为时，压强为，
故答案为：．
先利用待定系数法求出关于的函数解析式，再将代入计算即可．
本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，

正方形的中心与坐标原点重合，，
，，，
，，，
将顶点绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，，
，
再将绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，
，
再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点
同理可得：，，，，，
观察发现：每四个点一个循环，，，，，
，
；
故答案为：．
如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，可得，，，，，，，观察发现：每四个点一个循环，，，，，由，推出．
本题考查坐标与图形的变化旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

在中，，，
，
，
由对称的性质可知，，
，
的最小值为，
当点与重合时，的值最大，此时，的最大值为的长，即，
．
故答案为：．
如图，连接求出，根据，推出的最小值为，当点与重合时，的值最大，求出的最大值，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是求出的最小值与最大值，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是原方程的解；
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
 

17.【答案】丙 

【解析】解：甲四项成绩的平均分为：分；
乙四项成绩的平均分为：分；
丙四项成绩的平均分为：分；
，
丙将被录用；
故答案为：丙；
甲的综合得分为：分；
乙的综合得分为：分；
丙的综合得分为：分；
，
乙将被录用；
把学历、经验、能力、态度四个方面按：：：的比例计算三人的综合得分，因为工作能力和工作态度更重要答案不唯一．
根据算术平均数的定义解答即可；
根据加权平均数的计算方法解答即可；
把学历、经验、能力、态度四个方面按：：：的比例计算三人的综合得分答案不唯一．
本题考查了条形统计图和加权平均数，加权平均数是将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数，平均数的大小不仅取决于总体中各单位的标志值变量值的大小，而且取决于各标志值出现的次数频数，由于各标志值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权数．
 

18.【答案】解：如图，过点作，分别过点、作于点，于点．

由题意得，，，米，
设米，则米，
在中，，
米；
在中，，
米，
，解得；
米，
米．
答：风筝离地面的高度约为米． 

【解析】过点作，分别过点、作于点，于点，设米，则米，可求，，即可求解．
本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：根据题意得：，．
故答案为：，；
对于一元二次方程，
当时，有两个实数根，，
，；
故答案为：，；
，，，
方程的两根之和为，两根之积为．
两根之和与两根之积的和等于，
，
解得或．
由，可得出，；
利用公式法，可求出方程的两根为，，将其相加及相乘后，即可得出结论；
利用根与系数的关系，即可求出方程的两根之和及两根之积的值．
本题考查了根与系数的关系、公式法求一元二次方程以及运用公式法分解因式，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．
 

20.【答案】解：徽徽的猜想正确，
理由如下：如图，连接，
与相切，
，
，，
，
，
为的直径，
，

，
由圆周角定理得：，
，
；
，，
∽，
，即，
解得：，，
答：车轮的直径的长米． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，，进而证明结论；
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可得，
，
当时，，
当时，，
则；
令，
解得，
将代入得，，
即点的坐标为；
由图象可得，
当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以分别写出，关于的函数关系式；
根据中的结果和题意，令，求出的值，再求出相应的的值，即可得到点的坐标．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】   

【解析】解：将等边绕点旋转，得到，
，，共线，，，共线，，，
，
，
，
，是的中点，
是的中位线，
，
故答案为：，；
等边三角形绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
答：的度数为，与的数量关系为；
当在上方时，如图：

，，
，
，
，
将绕点旋转，得到，
，
是的中点，
，
在中，
；
当在下方时，如图：

同理可得，，
，；
综上所述，的长为或．
由将等边绕点旋转，得到，知，，共线，，，共线，，，可得，故，而是的中点，知是的中位线，；
由等边三角形绕点逆时针旋转，得到，可得是等腰直角三角形，，故；根据是的中点，得是等腰直角三角形，，从而；
分两种情况：当在上方时，可得，而是的中点，有，故AF；当在下方时，同理可得．
本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用，旋转变换等，解题的关键是掌握旋转的性质和等腰直角三角形，含的直角三角形三边的关系．
 

23.【答案】解：抛物线与轴没有交点．
令，得，
因为，
所以这条抛物线与轴没有交点；
因为，
所以抛物线的对称轴为．
又与轴平行的直线与这条抛物线相交于、两点点在点的左侧，
所以、关于对称，
因为点到轴的距离为，
所以的横坐标为或．
当点的横坐标为时，点的横坐标为；
当点的横坐标为时，点的横坐标为；
所以点到轴的距离为．
，
顶点的纵坐标为，即．
对于二次函数，当，随的增大而减小，
当时，取最大值；
当，随的增大而增大，即当时，取最大值．
又时，取得最小值．
当时，的取值范围为． 

【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合根的判别式可得出交点情况．
先由点到轴的距离，可得出点的横坐标，再根据抛物线的对称性，可求出点的横坐标，即点到轴的距离．
先用表示出，再根据的取值范围求出的取值范围．
本题考查二次函数与一元二次方程之间的联系，以及由自变量的取值范围求应变量的取值范围，能根据抛物线的增减性进行分类讨论是解题的关键．