2024许昌高级中学高三上学期定位考试数学试题含答案

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  参 考 答 案  一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：B解析：因为，，，所以.2.答案：C解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.3.答案：A解析：向量，，向量，.4.答案：B解析：用特殊值法，显然.若，则又有，矛盾；若，则，，，因为是一个递增数列，所以；若，则，矛盾.综上，.5.答案：B解析：由根与系数的关系得，，.又，且，.6.答案：A解析：因为PA，PB，PC两两垂直，所以以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，，所以，，.设平面PEF的法向量为，则取，则，，所以平面PEF的一个法向量为.设直线AF与平面PEF所成的角为，则.故选A.7.答案：D解析：由，，得，，，当时，，所以，.8.答案：B解析：设正方体的棱长为2，则，，，所以，.设向量是平面AEF的法向量，则取，则，，所以是平面AEF的一个法向量.经检验可知，A，C，D选项中的向量均不与共线.故选B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：ABC解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.综上，选ABC.10.答案：BCD解析：对于A:当时，，即，所以A不正确；对于B：若，则，即，可得或，此时，故B正确；对于C：若“”，则，若“”，则．所以“”是“”的必要不充分条件，所以C正确；对于D：角的终边在第一象限，则，，当在第一象限时，；当在第三象限时，则．则的取值集合为：，所以D正确．故选BCD．11.答案：AD解析：对于A，k不可能为0正确；对于B，时，为等差数列，但不是等差比数列，故B错误；对于C，当等比数列的公比为1，即为常数列时，不符合题设，故C错误；对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1是等差比数列，且有无数项为0，故D正确.故选AD.12.答案：ABD解析：如图，由正四棱柱的底面边长为2，可知，又侧棱，可得，则当点P与点重合时，此时点P唯一，故A正确.若，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确.连接，，可得平面平面，则当P为的中点时，DP有最小值为，故C错误.由C知，平面BDP即为平面，平面BDP截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确. 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.答案：解析：，当时，为减函数，所以当时，函数的值域为，当时，，，则的值域为，因为存在，，使成立，所以，若，则或，即或，所以若且，则故答案为：14.答案：4解析：将展开，得到，令，解得，则，得，所以，当且仅当“”时，取得等号，故取得最小值．故答案为：4．15.答案：解析：解：，因为正数a，b满足，所以，所以.16.答案：解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①又因为点P在椭圆上，所以，将①代入可得.又，所以两边同除以a得.又，所以. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）(1)答案：解析：设数列的公差为d，，，，，，．(2)答案：解析：(2)由(1)可知，数列的前n项和为，，两式作差，得，．
18.（12分）答案：（1）圆C的方程为解析：设圆C的方程为，依题意得解得所以圆C的方程为.（2）答案：不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB解析：假设符合条件的实数a存在.由（1）得圆心C为，因为直线l垂直平分弦AB，所以圆心必在直线l上，所以直线l的斜率.又，所以.又圆C的半径，圆心C到直线的距离，所以不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB.19.（12分）答案：（1）证明见解析解析：因为，D是BC的中点，所以.如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以，所以，即.（2）答案：证明见解析解析：因为平面，平面ABC，所以.因为，，所以.因为M为AP上一点，且，所以.由（1）得，所以.又，所以.所以，.设平面BMC的法向量为，则即令，则，，所以.设平面AMC的法向量为，则即令，则，，所以.所以，所以，所以平面平面BMC.20.（12分）答案：(1)解析：因为数列是公差为2的等差数列，且以，，为边长的三角形是直角三角形，所以，即，解得或（舍），所以；答案：(2)解析：由（1）得，所以，故.21.（12分）答案：（1）解析：因为，所以，又因为，所以化简为，所以直线l的参数方程为(t为参数)由消去得：，所以曲线C的普通方程.答案：（2）解析：由知与反向，所以点在圆内联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程，可得，设A，B对应的参数分别为，故，由，解得，又因为，由于，代入①②得，解得(符合m的取值范围).22.（12分）答案：（1）函数的最大值为，最小值为-3.解析：据题，得，，因为，，，所以，所以函数的最大值为，最小值为-3.（2），增区间为解析：据题，，结合该函数为偶函数，得到，得，，结合，得到，此时，，令，解得，从而得到其增区间为.