高考数学 导数 数列 解三角形 解答题专练（含答案解析）

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2020年高考数学 导数 数列 解三角形 解答题专练1.已知函数f（x）= x+．（1）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值．         2.设f(x)=ln x＋ax(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，证明：x∈[1，2]时，f(x)－3<成立．             3.设函数f(x)=ex－x2－ax－1(e为自然对数的底数)，a∈R.(1)证明：当a＜2－2ln 2时，f′(x)没有零点；(2)当x＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，求a的取值范围．           4.设函数f(x)=－kln x，k＞0.(1)求f(x)的单调区间和极值．(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．             5.已知{an}是公差为正数的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.                                          (1)求{an}，{bn}的通项公式.                                          (2)令cn=nbn(n∈N*)，求{cn}的n项和Tn.                                                                6.Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.                           7.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3，a4，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-≤Tn＜-1(n∈N*)．             8.已知数列{an}满足a1=1，an＋1=，n∈N*.(1)求证：数列为等差数列；(2)设T2n=－＋－＋…＋－，求T2n.           9.已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn=a1(an－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足anbn=log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.           10.已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=.(1)求角C的大小；(2)求函数y=sin A＋sin B的值域．            11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,设.（1）求A；（2）若，求sinC.           12.在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知.（1）求角B的大小;（2）若,求△ABC的周长的取值范围.           13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足.（1）求角A的值；（2）若且b≥a，求的取值范围.          14.在锐角中，角的对边分别为，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求周长的取值范围.                          答案解析1.2. 3.解：(1)证明：∵f′(x)=ex－2x－a，令g(x)=f′(x)，∴g′(x)=ex－2.令g′(x)＜0，解得x＜ln 2；令g′(x)＞0，解得x＞ln 2，∴f′(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)min=f′(ln 2)=2－2ln 2－a.当a＜2－2ln 2时，f′(x)min＞0，∴f′(x)的图象恒在x轴上方，∴f′(x)没有零点．(2)当x＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，即ex－x2－ax＋x－1≥0恒成立，∴ax≤ex－x2＋x－1，即a≤－x－＋1恒成立．令h(x)=－x－＋1(x＞0)，则h′(x)=.当x＞0时，ex－x－1＞0恒成立，令h′(x)＜0，解得0＜x＜1，令h′(x)＞0，解得x＞1，∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min=h(1)=e－1.∴a的取值范围是(－∞，e－1]． 4.解：(1)由f(x)=－kln x(k＞0)得f′(x)=x－=.由f′(x)=0解得x=.f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；f(x)在x=处取得极小值f()=.(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.当k=e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()=0，所以x=是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)=＞0，f()=＜0，所以f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．  5.解：(1)设公差为d，公比为q，则a2b2=(3+d)q=12①S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20②联立①②可得，(3d+7)(d﹣3)=0∵{an}的公差d＞0.则d=3，q=2，∴an=3+(n﹣1)×3=3n，bn=2n﹣1；(2)bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，∴Tn=c1+c2+…+cn=120+221+322+…+n2n﹣1，2Tn=121+222+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n，两式相减可得，﹣Tn=120+121+122+…+12n﹣1﹣n2n，∴﹣Tn=﹣n2n=2n﹣1﹣n2n，∴Tn=(n﹣1)2n+1.     6.解：7.解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得即解得∴an=2n-5(n∈N*)．(2)证明：∵bn==，n∈N*.∴Tn=＋＋＋…＋，①Tn=＋＋＋…＋＋，②①-②得Tn=＋2-=-＋，∴Tn=-1-(n∈N*)，∵＞0(n∈N*)，∴Tn＜-1.Tn＋1-Tn=-=，∴Tn＜Tn＋1(n≥2)．又T1=-1-=-，T2=-1-=-.∵T1＞T2，∴T2最小，即Tn≥T2=-.综上所述，-≤Tn＜-1(n∈N*)．      8.解：(1)证明：由an＋1=，得==＋，所以－=.又a1=1，则=1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．(2)设bn=－=，由(1)得，数列是公差为的等差数列，所以－=－，即bn==－×，所以bn＋1－bn=－=－×=－.又b1=－×=－×=－，所以数列{bn}是首项为－，公差为－的等差数列，所以T2n=b1＋b2＋…＋bn=－n＋×=－(2n2＋3n)． 9.解：(1)当n=1时，a1=S1=a1(a1－1)=a－a1，∵a1≠0，∴a1=4.∴Sn=(an－1)，∴当n≥2时，Sn－1=(an－1－1)，两式相减得an=4an－1(n≥2)，∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，∴an=4n.(2)证明：∵anbn=log2an=2n，∴bn=，∴Tn=＋＋＋…＋，Tn=＋＋＋…＋，两式相减得Tn=＋＋＋＋…＋－=2－=2×－=－－=－.∴Tn=－<. 10.解：(1)由=，利用正弦定理可得2sin Acos C－sin Bcos C=sin Ccos B，可化为2sin Acos C=sin(C＋B)=sin A，∵sin A≠0，∴cos C=，∵C∈，∴C=.(2)y=sin A＋sin B=sin A＋sin=sin A＋cos A＋sin A=sin，∵A＋B=，0<A<，0<B<，∴<A<，∴<A＋<，∴sin∈，∴y∈. 11.解：        12.解： 13.解：            14.