专题测试02卷：第一章《集合、常用逻辑用语、不等式、复数》综合检测-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题测试02卷：第一章《集合、常用逻辑用语、不等式、复数》综合检测-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）（解析版），共14页。

一、单想选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．满足，且中的集合M的个数是（ ）
A．16B．24C．28D．30
【答案】B
【分析】讨论元素与集合的关系，结合元素1、2、3与集合的可能情况求集合的个数.
【详解】若时，则1、2、3可能属于，而5不属于，故集合共有种可能；
若时，则1、2、3可能属于，而4不属于，故集合共有种可能；
若时，则1、2、3可能属于，故集合共有种可能；
综上，集合M的个数是24.
故选：B
2．已知集合，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】先化简集合A，再根据补集的定义求解即可．
【详解】解：由解得，
，
或．
故选：D．
3．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数除法运算可求得，根据共轭复数定义可得，由复数乘法运算可求得结果.
【详解】由得：，，
.
故选：A.
4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果.
【详解】命题“”为真命题，可化为“”恒成立，
即只需，
所以命题“”为真命题的一个充要条件是，
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，
由选项可知A符合题意.
故选:A.
5．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，那么使得不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式解得的范围，然后根据的定义求出的范围．
【详解】由，即，解得，则．
故选：D．
6．下列选项正确的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．在中，是的充要条件
C．是的充要条件
D．命题“，”的否定是：“，”
【答案】B
【分析】由可判断A；由或，结合可判断B；由，可判断C；根据全称命题的否定可判断D.
【详解】选项A，若，则，若，则，∴是的充要条件，故A错误；
选项B，若，则或（显然不成立），若，则，∴是的充要条件，故B正确；
选项C，若，则，若，则，∴是的充分不必要条件，故C错误；
选项D，命题“，”的否定是：“，”，故D错误.
故选：B
7．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．1
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案.
【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中，
可知 ，且为的两根，且，
即，即 ，
所以，当且仅当时取等号，
故选:C.
8．在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】D
【分析】利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．
【详解】解：，
，
三点共线，
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值是12.
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．已知集合，，则下列说法错误的是（ ）
A．不存在实数使得B．存在实数使得
C．当时，D．当时，
【答案】BD
【分析】由集合间的相等、包含关系求参数a的范围，即可判断各选项中a的存在性.
【详解】A：当时，无解，正确；
B：当时，无解，错误；
当时，若，则，即；
若，则，无解，
综上，时有.
所以C正确，D错误.
故选：BD
10．若关于x的不等式解集为（-1，3），则正实数a的可能取值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AB
【分析】根据不等式对应的二次函数的对称轴和开口方向，结合不等式的解集，可列出方程及不等式，进而可求出的取值范围.
【详解】由题意得，当时，不等式对应的二次函数的对称轴为，开口向上，且函数图像与交于两点，恒在上方，如图，
所以当时，，当时，，
解得，
又当时，，
所以，解得：，
故选：AB.
11．已知命题(e为自然对数的底数)，命题，若命题p与命题q均为真命题，则实数a的可能取值为（ ）
A．eB．C．D．4
【答案】ACD
【分析】化简得命题，命题，即得解.
【详解】因为(e为自然对数的底数)，
所以；
因为，
所以.
所以.
故选：ACD
12．随机变量X服从正态分布，，，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】BD
【分析】根据正态分布的性质和已知条件可得，得，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】因为随机变量X服从正态分布，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以A错误，B正确，
所以
，当且仅当，即时取等号，所以C错误，D正确，
故选：BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．已知复数满足，则________.
【答案】2
【分析】先求出复数z，再求.
【详解】，∴.
故答案为：2
14．若正数a，b满足1，则的最小值为___________．
【答案】16
【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.
【详解】解：因为正数a，b满足1，
则有1，
则有，
1，即有，
则有16，
当且仅当即有b＝2a，又1，
即有a，b＝3，取得最小值，且为16．
故答案为：16．
15．已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为________.
【答案】
【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出，的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.
【详解】解：因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根且，
所以，解得，
则，
令，解得，
所以函数的定义域为，
因为的单调递增区间为 ，在定义域上单调递增，
所以的增区间为（开闭均正确）.
故答案为：.
16．命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由“，”为假命题得到“，”为真命题，然后分类讨论和两种情况，列不等式求解即可.
【详解】“，”为假命题则“，”为真命题，
①当时，，成立；
②当时，，解得；
综上所述，.
故答案为：.
四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）首先解分式不等式求解出集合，然后将代入求解出集合，然后根据交集的运算定义进行求解即可；
（2）由，可得，然后分和两种情况分类讨论，根据子集的定义求解参数的取值范围.
【详解】（1），当时，，
因此.
（2），，
若，则，解得；
若，则，解得.
综上所述得，
故的取值范围为.
18．（12分）已知复数
(1)求复数的共轭复数；
(2)若复数，复数在复平面内对应的点在第三象限，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据复数除法的法则及共轭复数的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及复数除法法则，再利用复数的几何意义及复数的魔公式即可求解.
【详解】（1），
所以复数的共轭复数为.
（2）由（1），
所以复数对应点坐标为，它在第三象限，
则，解得
解得或，
综上所述，实数的取值范围为.
19．（12分）已知满足条件，满足条件；
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；(2)
【分析】（1）由已知得，，解出即可；
（2）将A，B解出来.根据条件可得，AB，根据关系式列出不等式求解即可.
【详解】（1）若，则0满足，
即满足，解得或，
故实数的取值范围或；
（2）由已知，，或，
若是的充分不必要条件，则AB，
则，且等号不能同时取到，
解得.实数的取值范围为.
20．（12分）命题甲：关于x的不等式的解集是空集．命题乙：函数为单调递减函数．
(1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求a的取值范围；
(2)求a的取值范围，使命题甲是命题乙的必要条件．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）先求解命题甲、乙分别为真命题时a的取值范围，再求解甲、乙都是假命题a的取值范围，求解对应补集即可；
（2）即命题乙为真命题可推出命题甲为真命题，结合命题甲、乙分别为真命题时a的取值范围，分析求解即可.
【详解】（1）由题意，若命题甲为真命题，即关于x的不等式的解集是空集，
即，
解得：或；
若命题乙为真命题，即函数为单调递减函数，
即，解得：；
若甲、乙都是假命题，则且或，即，
故若命题甲、命题乙中至少有一个真，a的取值范围是.
（2）由题意，命题甲是命题乙的必要条件，
即命题乙为真命题可推出命题甲为真命题，
由（1）命题乙为真命题，即，命题甲为真命题，即或，
由于或
故当时，命题乙可推出命题甲，即命题甲是命题乙的必要条件.
21．（12分）已知a，b为正实数，且满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值；
(3)写出的最小值（直接写出结果即可）．
【答案】(1)8；(2)；(3).
【分析】（1）由题可得，然后利用二次不等式即得；
（2）由题可得，进而即得；
（3）由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】（1）由，从而，
令，则有，
解得，
从而，当且仅当，即时取到等号，
所以的最大值为8；
（2）由，得，
从而；
当且仅当即时取等号，
故最小值为；
（3）由即，
所以，当且仅当时取等号．
故的最小值为.
22．（12分）已知命题p：，，命题q：，．
(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．
【答案】(1).(2)或.
【分析】（1）根据命题为真结合二次函数性质，列不等式，求得答案；
（2）结合（1），再求出命题q为真时a的范围，根据命题p和命题q至少有一个为真命题，分类求解，可得答案.
【详解】（1）由题意命题p： ，，当时，，不合题意；
当时，命题p为真命题，则需满足，即；
（2）由（1）知命题p为真命题时，a的取值范围为；
命题q：，为真时，则，
当命题p真而命题q假时，且，故；
当命题p假而命题q真时，且，故；
当命题p和命题q都真时，且，则，
故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为或.