初一数学春季讲义 第2讲-平面直角坐标系 教师版

这是一份初一数学春季讲义 第2讲-平面直角坐标系 教师版，共16页。教案主要包含了简单的数形结合，找规律问题，三象限的角平分线．，容斥法等内容，欢迎下载使用。
平面直角坐标系
中的变换
2

函数1级
平面直角坐标系认识初步

函数2级
平面直角坐标系中的变换

函数3级
函数初步

暑期班
第二讲
春季班
第二讲
春季班
第一讲
满分晋级阶梯










漫画释义
减肥记

知识互联网




编写思路：
本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.
一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。
二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。
（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。从而将图形的平移转化成为点的平移。并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。
三、简单的数形结合：求三角形面积问题。让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。
四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.

题型一：坐标系中的对称



思路导航

点关于轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
点关于轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
点和点的中点是．（选讲）
例题精讲

【引例】 在平面直角坐标系中，关于轴的对称点的坐标是 ，关于轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．

【解析】 关于轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是；
关于轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是；
关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是．
典题精练


【例1】 ⑴ 点关于轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．

⑵ 点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．

⑶ 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ．

⑷ 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ．
⑸ 已知点关于轴的对称点在第一象限，求的取值范围．

【解析】 ⑴ D；⑵ B；⑶ ；⑷ ，；⑸ ．

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
⑴ 由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别标明，关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标： ， ；
归纳与发现：
⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为 （不必证明）；
⑶ 点在直线的下方，则，的大小关系为 ；若在直线的上方，则 ．


【解析】 ⑴ ，；
⑵ ；
⑶ ，．
题型二：坐标系中的平移



思路导航

⑴ 点平移：
①将点向右（或向左）平移个单位可得对应点或．
②将点向上（或向下）平移个单位可得对应点或．
⑵ 图形平移：
①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位．
②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位．
注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．

例题精讲


【引例】 点向上平移7个单位得到点的坐标为 ；再向左平移3个单位得到点的坐标为 ．
【解析】 点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即坐标为，再向左平移3个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即坐标为．

典题精练


【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到 ，⑵ 平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，点的对应点为
，那么此过程是先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的，则点的对应点坐标为 ．
⑶将点沿轴负方向平移个单位，得到，则点坐标是 ．
（一五六中学期中）
⑷ 平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，点的对应点为
，点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A．　 B．　 C．　 D．
（一五六中学期中）
【解析】 ⑴ ；
⑵ 右2，上3，；
⑶ ．由题意知，解得．故点．
⑷ B；可知线段向右平移5个单位，向上平移3个单位得到，故点坐标是．
【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案
中左、右眼睛的坐标分别是，，右边图案中左眼的坐标是，则右边图案中右眼的坐标是_______．
（北京十二中期中）
⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”绕点逆时针旋转再向右平移2个单位的图形（其中、为所在小正方形边的中点）．


⑶ 如图，把图1中的经过平移得到（如图2），如果图1中上一点的坐标为，那么平移后在图2中的对应点的坐标为 ．
（三帆中学期中）

【解析】 ⑴ 左眼坐标由变为，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平
移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为．
⑵ 图略；
⑶ ；向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到．
题型三：坐标系中的面积与规律问题



思路导航

在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．
找规律的题目一定要先找几个图形规律，再推广到的情况．
从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．
例题精讲

【引例】 如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点坐
标为，则的面积为 平方单位．
【解析】 长方形的面积是12平方单位，的面积是1.5平方单位，的面积是4个平方单位，的面积是1.5平方单位，所以的面积为平方单位．

典题精练

【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知、两点，点在轴上，的面积是4，则点
的坐标是 ．

⑵ 如右图，已知直角坐标系中、，平移线段，
使点移到点，此时点记作点，则四边形的
面积是 ．
（161中学期中）

【解析】 ⑴ 或；
⑵ 4；点平移后的坐标为，所以轴，，故．

【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，
，．求四边形的面积．










⑵如上右图，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到．
①画出平移后的；
②写出三个顶点的坐标；（在图中标出）
③已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为4，求点的坐标．

【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．
如右图，分别过点、作轴的垂线，过作轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此．

⑵ ①略；
②;
③ 或．

【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法
【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础
建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法
方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）

【探究1】如图所示，,求图形的面积.



解析： 割：如上左图，分别过点A、B做轴的垂线段AD、BE


补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形



【探究2】如下图所示，，求图形的面积.










解析：补：如上右图所示，补全图形为


割：利用一次函数可求出直线AB解析式为：，故
【此法教师备选】
方法二、容斥法：面积差
【探究3】如图所示，求的值.
解析：



【教师备选】
方法三、转化法：平行线，一边转到轴上

【探究4】如图所示，求三角形的面积.

解析：过点A做OB的平行线，交y轴于点C，连接
由一次函数知识可求出直线，设直线
求得，得
由等积变换可知
【探究5】如图所示，求三角形的面积.

解析：过点A作BC的平行线交轴于点，连接
利用一次函数求得，设直线
求得，
由等积变换可知
【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快速的求出面积.
【变式】已知，在平面直角坐标系中，、两点分别在轴、轴的正半轴上，且．
⑴直接写出点、的坐标；
⑵若点，求的面积；
⑶点是与轴平行的直线上一点，且点的横坐标为1，若的面积是6，求点的坐标．
【解析】 ⑴;
⑵;
⑶ 分两种情况：
①当点P在第一象限时，设，如图1所示

即，
解得
②当点P在第四象限时，设，如图2所示

即
解得故. 即

图1 图2

【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，
图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四
条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边
上的整点个数共有 个．

（清华附中期中）

⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将变换成，第二次将变换成
，第3次将变换成．

已知，，，，，，，
观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将变换成，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ．
【解析】 ⑴ 40；⑵ ，，，

真题赏析


【例8】 一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第内它从原点运动到，而后接着按如图所示方式在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在后，求这个粒子所处的位置坐标．


【解析】 弄清粒子的运动规律，并求出靠近后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．
对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点：
，粒子运动了．
，粒子运动了，向左运动．
，粒子运动了，向下运动．
，粒子运动了，向左运动．
，粒子运动了，向下运动．
……
于是点处粒子运动了．这时粒子向下运动，从而在运动了后，粒子所在的位置是，即．

【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标，且，均为整数．如数5对应的坐标为，则数 对应的坐标是，数2012对应的坐标是 ． （2012年101中期中）
【拓展】 数1950对应的坐标是 .



【解析】 36，.
如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下

数字 坐标



……
那么由可得数2025对应的坐标为，
故数2012对应的坐标为，即.
拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律
数字 坐标



……
由可得数1936对应的坐标为，此时再往左一个数字1937对应坐标为，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为，即.

【教师备选】

【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为．
若坐标平面上的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移 个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”；“平移量”与“平移量”的加法运算法则为．
解决问题：
⑴ 计算：；
⑵ 动点从坐标原点出发，先按照“平移量”平移到，再按照“平移量”
平移到；若先把动点按照“平移量”平移到，再按照“平移量”平移，最后的位置还是点吗？在图1中画出四边形．
⑶ 如图2，一艘船从码头出发，先航行到湖心岛码头，再从码头航行到码头，最后回到出发点，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．


（2012北京101中期中）


【解析】 ⑴；⑵是，如图所示；
⑶.





【备选2】观察下列有规律的点的坐标：
，，，，，，，
依此规律，的坐标为 ，的坐标为 ．
（2012年101中期中）
【解析】 ，.
横坐标的规律很明显，而纵坐标中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，的纵坐标为16，偶数数列可转化为，故的纵坐标为.
【备选3】一个动点在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点的坐标是 ，经过第2011次运动后，动点的坐标是 .

【解析】 .

【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，、
两点在网格格点上，若点也在网格格点上，以、、为顶
点的三角形面积为2，则满足条件的点个数是（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
（2012清华附中期中）
【解析】 B.
【备选5】在平面直角坐标系中，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2012陈分期中考试）
【解析】 C





复习巩固




题型一 坐标系中的对称 巩固练习

【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．

⑵ 已知点，，如果，那么点（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于过点的直线对称
⑶ 已知：，则关于原点对称的点为 ．
（北京十二中）
⑷ 已知点与点关于轴对称，则 ， ．

【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A；⑶ ；⑷ ；由 解得．
题型二 坐标系中的平移 巩固练习

【练习2】 ⑴线段是由线段平移得到的，点的对应点是，则点的
对应点的坐标为 ．
⑵在平面直角坐标系中有一个已知点，现在轴向下平移个单位，轴向左平移个单
位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点的坐标为，在旧的坐标系下，点的坐标为 ．
【解析】 ⑴；⑵．




【练习3】 如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．
⑴ 线段是线段经过怎样的平移得到的？
⑵ 若点的坐标是，点的坐标是，你能写出
、两点的坐标吗？
⑶ 求平行四边形的面积．

（首师大二附中期中）
【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．
⑵ ，．
⑶ ．

题型三 坐标系中的面积和规律问题 巩固练习

【练习4】 ⑴ 已知，，，求的面积．
（四中期中）
⑵ 已知：，，，的面积，
求代数式的值．
（人大附中期中）
【解析】 ⑴ ．
⑵ 由题可得，得或，原式化简，代入得或

【练习5】 如图，长为，宽为的长方形以右下角的顶点为中心顺时
针旋转，此时点的坐标为 ；依次旋转次，则顶
点的坐标为 ．

【解析】 ，．


第十四种品格：信念

你的意念能跳多高

布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。他曾35次创造撑杆跳世界纪录，所保持的两项世界纪录，迄今无人打破。在参加“国家勋章”的授勋典礼上，记者们纷纷提问：“你的成功的秘诀是什么？”布勃卡微笔着说：“很简单，每次撑杆跳之前，我先让自己的意念‘跳’过横杆。”
作为一名撑杆跳选手，有一段日子，尽管布勃卡不断尝试新的高度，但每次都以失败告终。他苦恼过、沮丧过，甚至怀疑自己的潜力。有一天，他来到训练场，禁不住摇头对教练说：“我实在跳不过去。”教练平静地问：“你是怎么想的？”布勃卡如实回答：“只要踏上起跳线，一看清那根高悬的横杆，心里就害怕。”教练看着他，突然厉声喝道：“布勃卡，你现在要做的是闭上眼睛，先让你的意念从标杆上‘跳’过去。”教练的训斥，让布勃卡如梦初醒。遵从教练的吩咐，他重新撑杆。这一次，他顺利地跃身而过。教练欣慰地笑了，语重心长地说：“记住，先将你的意念从标杆上‘跳’过去，你的身体就一定会跟着过去。”
突破心灵障碍，才能超越自己。如果你的意念屈服了，那么你可能真的就不行。 著名的钢铁大王卡耐基经常提醒自己的一句箴言是：我想赢，我一定能赢。结果他真的赢了。




今天我学到了