初一数学春季讲义 第4讲-二元一次方程组 教师版

     世纪画作

编写思路：

 本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。

 每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。

解实际问题的一般步骤：

⑴ 审题，分析题目中的已知和未知；

⑵ 找等量关系（画图法或列表法等）；

⑶ 设未知数列方程组；

⑷ 求解方程组；

⑸ 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）；

⑹ 写出答案．

【引例】       、两地相距36千米，两人步行，甲从到，乙从到.两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度.

【分析】设甲每小时行千米，乙每小时行千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示（如图所示）

【解析】       设甲的速度是千米/时，乙的速度是千米/时，根据题意得

    解方程组得.

答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.

1．工程问题

【例1】         ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精   加工6吨或粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（    ）

A．       B．

C．      D．

⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？

【解析】       ⑴

⑵设甲、乙两队每天排水量分别为m，则

  解得

甲：（天）； 乙：（天）

另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需天，则

   解得

答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．

【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.

2．图形问题

【例2】         ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题：

⑴ 写出用含、的代数式表示的地面总面积；

⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？

【解析】       ⑴ ；

⑵     解得．

总费用为：元

答：铺地砖的总费用为元．

2.如图所示，矩形的周长为，为的中点，以为圆心，长为半径画弧交 于点．以为圆心，长为半径画弧交于点．设，，当时，求，的值．

【解析】       根据题意可列方程组，解得．

3．利润问题

【例3】         甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？

【解析】       设甲、乙服装的成本分别为元，元，根据题意可得

      解得

答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．

【点评】售价=成本+利润=成本（1+利润率），利润率=利润/成本．

4．容积问题

【例4】         第一个容器内有水升，第二个容器有水升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量．

【解析】       设第一个容器的容量为升，第二个容器的容量为升．则

， 解得．

答：第一个容器的容量为升，第二个容器的容量为升．

5．方案问题

【例5】         已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
⑴辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
⑵请你帮该物流公司设计租车方案；
⑶若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费

                                                                     (2012年龙岩中考题)

依题意列方程组得：

，解方程组，得：

∴辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨．

答：有种租车方案：
方案一：型车辆，型车辆；
方案二：型车辆，型车辆；
方案三：型车辆，型车辆．

⑶ ∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，
∴方案一需租金：（元）
  方案二需租金：（元）
  方案三需租金：（元）
∵
∴最省钱的租车方案是方案三：型车辆，型车辆，最少租车费为元．

以下对图形问题进行拓展：

【拓展1】在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．

【解析】       设小矩形的长为xm，宽为ycm，由题意得：

  解得

答：小矩形的长为4m，宽为2m．

【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（    ）

A．37 cm      B．74 cm      C．75 cm      D．76 cm

【分析】本题的相等关系有：

桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm.

桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.

【解析】       设桌子高度为，木块的长为，宽为，由题意可知，

∴，即. 故选C.

【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．

【解析】       设这种药品包装盒的宽为cm，高为cm，则长为（）cm

根据题意得

解得，
故长为9cm，宽为5cm，高为2cm，
所以体积V=9×5×2=90（cm3）．
答：这种药品包装盒的体积为90cm3．

不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．

    方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．

【引例】       方程的整数解有     组，正整数解都有哪些？            

【解析】       方程的整数解有无数组.                           

、为正整数得                   

解不等式组得．                         

故只能等于.                         

．                   

【例6】         ⑴方程的解有     组；正整数解有      组，分别为                       . 

⑵已知关于的方程的解为负整数，求的值．

【解析】       ⑴ 无数组，4组．

、为正整数得，，故只能等于，．

⑵ 、、45或．

当时，解方程得，因为为负整数，所以或，得对应的值为，代入得．

【例7】         已知为正整数，关于，的二元一次方程组有整数解，求的值．

                                                             （丰台十二中检测题）

【解析】       法一：两式相加得,

可为：2或7

当时，，．

当时，，（舍）．

所以 ．

法二：解方程组得，

若为正整数，则应该是和的公约数，推得，所以．

【变式】已知方程组有非负整数解，求正整数的值．

【解析】       两式相加得，. 故正整数可为1,3,7

        代入可得，故

        所以.

【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根问题：

（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；

例，若解是整数，则，解得；

若解是正整数，则，从而解得.

（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根；

（3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：①通过消元，将问题转化为解不定方程；②视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.

【例8】         一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团人准备同时租用这

三种客房共间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？

【解析】       设租二人间间，三人间间，四人间间，

则，得，

∵均为正整数，

∴有，，；，

故有两种租房方案.

题型一  二元一次方程组的应用  巩固练习

【练习1】   为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．

                                                                         （2011娄底中考）

【解析】       ⑴设“基本电价”为元/千瓦时，“提高电价”为元/千瓦时，根据题意，得
 

解得

答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时．

⑵（元）．
答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．

【练习2】   小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．

妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；

爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；

小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”

请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．

【解析】       设上月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价元/斤，根据题意得：

．解得：

这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3，

这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18

答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.

【练习3】   如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm．设演员的身高为cm，高跷的长度为cm，求的值．                                      

【解析】       依题意得方程组：，解得：

        ∴的值为168，的值为84.

题型二  不定方程求解  巩固练习

【练习4】   取哪些正整数值，方程组的解都是正整数？

【解析】        解方程组得，由解是正整数得，即．

【练习5】   已知关于、的方程组的解为正整数，则的整数值是多少？

【解析】       由方程得

将方程代入方程中得，

∴

∵方程组的解为正整数，

∴是正整数，即必须是的正约数，又的正约数有：，

∴，

可求出的值为．