初一数学春季讲义 第7讲-不等式的应用 教师版

     一半吗？

编写思路：

本讲主要训练学生寻找题目中不等关系的能力。当题目中涉及多个不等关系的时候，通过列不等式组、解不等式组解答。

对于题目中表示不等关系的字眼，让学生充分理解和体会，正确列出不等式。

对于通过图形给出的不等关系，联系结论和图形，找到不等关系。

列一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤：

审：分析题意，弄清题目中的相等关系和不等关系；

设：用字母（如）表示题目中的未知数；

列：根据数量关系列出不等式（组）；

解：解不等式（组），求出未知数的取值范围；

答：检验所求出的解或解集是否符合题意，写出答案．

【引例】       某物流公司，要将吨物资运往某地，现有、两种型号的车可供调用，已知型车每辆可装吨，型车每辆可装吨，在每辆车不超载的条件下，把吨物资装运完．问：在已确定调用辆型车的前提下至少还需调用型车多少辆？

【解析】       设至少还需要型车辆，

依题意得：

解得，

∴，

答：至少还需要调用型车14辆.

【例1】         ⑴ 亮亮准备用节省的零花钱买一台复读机，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30

元，直到他至少有300元．设个月后他至少有300元，则符合题意的不等式是（    ）

A．     B．

C．     D．

   （北京二中分校期中）

⑵ 某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于，则商店最多降       元出售商品.

⑶ 某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到外安全区域，若

导火线燃烧的速度为/秒，人跑步的速度为秒，则导火线的长（单位：厘米）应满足的不等式是：                        ．

⑷ 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股          元时才能卖出？（精确到0.01元）

⑸ 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（    ）

A．       B．     C．      D．无关、大小

【解析】       ⑴ A.

⑵ 设最多降元出售商品

根据题意得，解得

⑶ 依题意得，操作人员跑的路程大于400米，即．

⑷ 设至少涨到每股元时才能卖出．

根据题意得：，

解这个不等式得，即．

 ⑸A.

【拓展】苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克       元.

【解析】       设售价至少为每千克元，苹果的总量为kg，根据题意得

解得，故售价至少为每千克4元.

【点评】此题方法为辅助设元法，虽然有关两个未知量，但是可以消去辅助元并求得要求的未知数的范围.

根据题意列出几个不等式，分别求解，求出解集，根据具体情况分类讨论．

【引例】       为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造、两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：

已知可供建造沼气池的占地面积不超过，该村农户共有492户．

⑴ 满足条件的方案共有几种?写出解答过程．

⑵ 通过计算判断，哪种建造方案最省钱．

【解析】       ⑴ 设建造型沼气池个，则建造型沼气池个

依题意得：

解得：.

∵为整数,∴，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种．

⑵ 由⑴知共有三种方案，其费用分别为：

方案一：建造型沼气池7个，建造型沼气池13个，

        总费用为（万元）

方案二：建造型沼气池8个，建造型沼气池12个，

        总费用为：（万元）

方案三：建造型沼气池9个，建造型沼气池11个，

       总费用为：（万元）

∴方案三最省钱．

【例2】         ⑴ 已知一个矩形的相邻两边长分别为厘米和厘米，若它的周长小于厘米，面积大于 

平方厘米，则的取值范围是              ．

⑵ 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：

①将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；② 将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③ 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（   　）

A．以上，以下            

B．以上，以下

C．以上，以下            

D. 以上，以下

⑶ 一个小于40的两位数，个位数字比十位数字的2倍小1，如果将个位数字与十位数字对换，对换后所得到的两位数大于50，求原来的两位数.

【解析】       ⑴ 依题意得，解得．

⑵ 根据图示和物理知识可设每颗玻璃球的体积为x，得不等式组，

解得：40＜x＜50，故应选C.

        ⑶ 设十位数字为，则个位数字为.根据题意得

           ，解得

           因为是整数，所以.

           故原来的两位数是35.

【例3】         “六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动.在甲商场一次性购物超过100元，超 过部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分9折优惠.两个商场恰好都有小明所需要的商品.

⑴如果小明要买的东西是160元，去哪个商场会便宜一些？

⑵请你帮小明计算一下购物为多少元时在乙商场比在甲商场便宜？

【解析】       ⑴甲;

⑵设小明购物为元，

①当时，甲乙两商场一样；

②当时，由已知可知乙商场便宜；

③当时，由题意可知甲商场总价为 ，

乙商场总价为；

由题意可知，乙比甲便宜可得：

解得

 综上所述，②③符合条件可得.

【例4】         某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产、两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：

⑴ 冰箱厂有哪几种生产方案？

⑵ 该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩

电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？

【解析】       ⑴ 设生产型冰箱台，则型冰箱为台，由题意得：

，

解得：.

是正整数，∴取38，39或40．

有以下三种生产方案：

⑵ 设投入成本为元，由题意有：

（方法一）

 将x=38、x=39、x=40分别代入上式，求出当时，有最小值．

 即生产型冰箱40台，型冰箱60台，该厂投入成本最少.

（方法二）

 ∵,

 ∴随的增大而减小.

 ∴当时，有最小值．

 即生产型冰箱40台，型冰箱60台，该厂投入成本最少.

 此时，政府需补贴给农民

注意：学生未学一次函数，教师可根据班级学生掌握情况自行选择解法.

根据题意设未知数，按照等量关系列出方程（组），并求解，从而为列不等式做准备．

【例5】         商场正在销售帐篷和棉被两种防寒商品，已知购买1顶帐篷和2床棉被共需300元，购买2顶帐篷和3床棉被共需510元.

⑴ 求1顶帐篷和1床棉被的价格各是多少元？

⑵ 某学校准备购买这两种防寒商品共80件，送给青海玉树灾区，要求每种商品都要购买，且帐篷的数量多于棉被的数量，但因为学校资金不足，购买总金额不能超过8500元，请问学校共有几种购买方案？（要求写出具体的购买方案）

（北师大附中期中）

【解析】       ⑴ 设一顶帐篷元，一床棉被y元，由题意得：，解得：.

∴一顶帐篷120元，一床棉被90元.

⑵ 设准备购买帐篷a顶，那么购买棉被床，

根据题意可知：，

解得，∵帐篷的数量多于棉被的数量且a为正整数，∴a=43、42、41.

所以购买方案有三种：

方案一：购买帐篷43顶，棉被37床，购买总金额8490元；

方案二：购买帐篷42顶，棉被38床，购买总金额8460元；

方案三：购买帐篷41顶，棉被39床，购买总金额8430元.

【例6】         学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．
⑴求大、小车每辆的租车费各是多少元？
⑵若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．

可得方程组，解得

答：大车每辆的租车费是元、小车每辆的租车费是元．

由要保证名师生有车坐，汽车总数不能小于辆，

综合起来可知汽车总数为辆．

设租用辆大车，辆小车

则租车费用，

依题意有：，

解得，

所以有两种租车方案，

方案一：辆大车，辆小车；

方案二：辆大车，辆小车．

观察式子发现越大，越大，

∴当时，最少为元．

故最省钱的租车方案是：辆大车，辆小车．

【例7】         某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元.

⑴       若购买这批小鸡苗共用了4500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只；

⑵       若购买这批小鸡苗的钱不超过4700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只；

⑶       相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只，总费用最小是多少元.                                        （清华附中期末考试）

【解析】       ⑴设甲、乙两种小鸡苗各购买了只、只，根据题意得

解得

故甲种小鸡苗购买了1500只，乙种购买了500只.

⑵设应选购甲种小鸡苗至少只，根据题意得

         解得

         故应选购甲种小鸡苗至少1300只；

        ⑶设应选购甲种小鸡苗只，根据题意得

          解得

         又总费用

         则当时总费用最小为4800元.

         故应选购甲种小鸡苗1200只，乙种小鸡苗800只；总费用最小是4800元.

以下对分配问题进行变式和拓展，供教师选择讲解.

【拓展1】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，其中一间不空也不满，则宿舍有     间，学生有       人.

【解析】       设宿舍有间，则学生有人，根据题意可得不等式

解得5＜x＜7

因为x为整数，

所以x=6. 故宿舍有6间，学生有44人.

【变式】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，则有一个房间还有空位.学校可能有几间房可安排多少学生住宿?

【解析】       设有间房间，根据题意得

解得.

∴.

当时，共有44人；

当时，共有48人.

【点评】宿舍分配问题重点分析第二个条件，根据语意列出准确的不等式. 不空也不满，意思是最后一个房间学生人数不能为0也不能为8，即可得到不等关系两边均取不到等号；而变式中还有空位，意思是最后一个房间学生人数可以为0，但不能为8.

【拓展2】把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到苹果但不超过2个，则学生人数是      .

【解析】       设有学生个，则苹果数有个，则

解得，
∵是整数，
∴．
∴学生人数是4．

【变式】把个练习本分给个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，的值为       .                                  

（清华附中期末考试）

【解析】       根据题意得

        解得

        ∴

         当时，练习本为203个；

         当时，练习本为206个.

【变式】幼儿园几个小孩分一箱苹果，每人分3个，则余7个；每人分5个，最后一个分到的苹果不足5个，问：有多少个小孩？多少个苹果？

【解析】       设有个小孩，则

解得.

∴ 或.

当时，苹果个数为个.

当时，苹果个数为个.

当时，苹果个数为个.

【点评】注意区别这三道题中由于题目条件的变化引起的不等符号的变化. 如“不超过2个”，即大于等于0且小于等于2；“有但不足5个”，即大于0且小于5，两边都不可取等号；而条件变成“不足5个”，那么意思就是大于等于0且小于5. 建议教师给学生多练习这样的条件，一定要注意何时能取等号.

【拓展3】我校八年级安排部分同学外出社会实践活动，并将他们编成8个组，如果分配给每组的人数比预定人数多1名，那么外出学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么外出学生人数不到90人，则预定每组分配的人数为        .

【解析】       设预定每组分配人，根据题意得：
 

解得

∵为整数，  ∴．

【拓展4】韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有、

两个出租车队，队比队少辆车，若全部安排乘队的车，每辆坐人，车不够，

每辆坐人，有的车未满；若全部安排队的车，每辆车人，车不够，每辆坐人，有

的车未满，则队有出租车（　　）

A、辆        B、辆        C、辆         D、辆

【解析】       B; 设队有出租车辆，队有辆

依题意可得；化简得

解得，∵为整数，∴，故选B.

另解：由题意可得不等式组为.

【点评】此题其实不难，和前面的题目不同的是人数是已知的，只是根据语言环境确定不等关系.关键抓住不等关系的语句，列出不等式并且答案要使实际问题有意义.

题型一  一元一次不等式的应用 巩固练习

【练习1】   某学校准备添置一些“中国结”挂在教室．若到商店去批量购买，每个“中国结”需要元；

若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是元，无论制作多少，另外还需共付场地

租金元．亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节

省？

【解析】       设需要中国结个，则直接购买需元，自制需元．分两种情况：

⑴ 若，得，即少于等于个时，到商店购买更便宜；

⑵ 若，得，即多于个时，自已制作更便宜．

答：当添置“中国结”少于等于个时，到商店购买更便宜；当添置“中国结”多于个时，自已制作更便宜．

题型二  一元一次不等式组的应用 巩固练习

【练习2】   乘坐益阳市某种出租汽车，当行驶路程小于千米时，乘车费用都是元（即起步价元）；

当行驶路程大于或等于千米时，超过千米部分每千米收费元．按常规，乘车付费

时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如记费器上的数字显示范围大于或等于

而小于时，应付车费元），小红一次乘车后付了车费元，请你确定小红这次乘

车路程的范围．                                              

【解析】       设小红这次乘车路程为千米，由题意知费用应为元，即（）元．

因为介于至范围内，所以，解得．

答：小红这次乘车路程的范围是千米．

【练习3】   响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80

台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过

132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000

元/台．

⑴ 至少购进乙种电冰箱多少台？

⑵ 若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

【解析】       ⑴ 设购买乙种电冰箱台，则购买甲种电冰箱台，丙种电冰箱台.

由题意得：

解得：.

∴至少购进乙种电冰箱14台．

⑵ 根据题意，得，解得：．

由⑴知．

∴．

又∵为正整数，

∴．

所以，有三种购买方案：

方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台；

方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；

方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．

题型三  方程（组）与不等式（组）的应用 巩固练习

【练习4】   某班到毕业时共结余经费元，班委会决定拿出不少于元但不超过元的资金为

老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给位同学每人购买一件文化衫或一本相册

作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵元，用元恰好可以买到件文化衫和本

相册．

⑴ 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？

⑵ 有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？

【解析】       ⑴ 设文化衫和相册的价格分别为元和元，则解得．

答：一件文化衫和一本相册的价格分别为元和元．

⑵ 设购买文化衫件，则购买相册本，

则，

解得．

∵为正整数，∴，，，即有三种方案．

第一种方案：购文化衫件，相册本，此时余下资金元；

第二种方案：购文化衫件，相册本，此时余下资金元；

第三种方案：购文化衫件，相册本，此时余下资金元；

所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．

【练习5】   为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）

（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？

（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.

【解析】       ⑴ 设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为元、元，得

  解得

∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元

（2）设购买办公桌椅套，则购买课桌凳20套，由题意有

解得，

∵为整数，∴、23、24，有三种购买方案：