初一数学春季讲义 第11讲 三角形三大专题 教师版

这是一份初一数学春季讲义 第11讲 三角形三大专题 教师版，共17页。教案主要包含了探究对象，探究目的等内容，欢迎下载使用。

11
三角形三大专题

三角形3级
三角形三大专题

三角形4级
全等三角形的认识

三角形5级
全等中的基本模型

春季班
第十三讲
春季班
第十一讲
春季班
第十讲
满分晋级阶梯








漫画释义


多边形的故事

知识互联网




题型一：整数边三角形




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1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形．
2、若三角形三边的长为，，且，则
⑴ 三角形的最小的边满足：，当且仅当时，等号成立；
⑵ 三角形的最大的边满足：，当且仅当时，等号成立．

（上述公式建议教师结合三角形三边关系和不等式给学生进行推导）

方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验．




例题精讲

【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？
【解析】 假设最大边为a，则易知，所以. 即三边满足3，3，2.
所以腰长为3.
典题精练


【例1】 ⑴若三角形的周长为，求最大边的范围.
⑵设、、均为自然数，且，，试问以、、为边长的三角形共有多少个？
【解析】 ⑴设三角形的三边为、、，其中最大的边满足：，当且仅当时，等号成立．依题意有，即；
⑵∵三角形三边关系定理，知，即，∴
∵，，
∴，∴
∵为自然数，∴可取、、
当时，，；，；，；，；
当时，，；，；
当时，，.
综上所述,以、、为三边长的三角形共有个.

【例2】 ⑴三角形三边长、、都是整数，且，若，则有 个满足题意的 三角形.
⑵三角形三边长、、都是整数，且，若，则有 个满足题意的三角形．
⑶三角形三边长、、都是整数，且，若，则有 个满足题意的三角形．

【解析】 ⑴上面都是已知三角形的周长，从三角形的最大的边出发用枚举法．而本题提供了另 一种思路：
知道了，的范围就确定了，对采用枚举法就可以把问题算出来，现在对从 到枚举满足不等式的整数的个数为．
⑵．⑶．

题型二：多边形及其内、外角和



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多边形及其内、外角和
（一）多边形及其内角和
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线
内角：、、、、……
外角：
对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如.
边形对角线条数：条

② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）

图（a）为凸多边形

图（b）为凹多边形
（a） （b）
③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF



2．多边形内角和：边形内角和等于
① 多边形内角和公式推理方法一：
过边形一个顶点，连对角线，可以得条对角线，并且将边形分成
个三角形，这个三角形的内角和恰好是多边形的内角和．
将边形分成个三角形

② 多边形内角和公式推理方法二：
在边形边上取一点与各顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这
个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即

将边形分成个三角形


③ 多边形内角和公式推理方法三：
在边形内部取一点与边形各顶点相连，得个三角形：、、……，这个三角形所有内角之和为

故
取多边形内一点，连结各顶点，将边形分成个三角形．

注：多边形内角和公式可以通过割或补的思想推导得出，教师可以给学生介绍“补”的思想.

（二）多边形外角和
1．多边形外角和等于
如图：，，，……
所以+……
等式右边共有个相加，代表边形的内角和，
整理得，即
多边形外角和恒等于．

2．多边形边数与内外角和关系
①多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加，反过来也成立．
②多边形外角和恒等于，与边数多少无关．
③多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角。
④在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
⑤在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.

典题精练

【例3】 ⑴ 下列平面图形 不具有稳定性．（黑点表示连接点）












⑵ 如果四边形四条边依次为、、、，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

⑶ 科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按
照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为
（ ）
A．米
B．米
C．米
D．不确定

（西城抽样测试）
⑷边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，
边形对角线条数等于边数，则 ．

【解析】 ⑴C．提示：三角形具有稳定性．
⑵D. 法一：常规方法，即利用“两点间线段最短”公理．
解得
法二：极值法．当为最短边时，为最长边．
，∴．
当为最长边时，，∴．
故．
⑶ B．多边形的外角和为，每个外角为，则，故多边形边数为，
则周长为．
⑷ 边形的一个顶点有条对角线，所以，则；没有对角线的多边形显然是三角形，则；边形条数与其边数相等，即，所以．故．
【例4】 ⑴若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（北京中考）
⑵ 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
(北京中考)
⑶一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这是（ ）边形.
A．10 B．22 C．15 D．8
（人大附中期中）
⑷如果一个五边形的个内角都是，则第个内角的度数是 ．

⑸ 一个凸多边形的每一个内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 ．
【解析】 ⑴B. ⑵B.
⑶ A．设多边形的边数为，由题意得，解得．
⑷
⑸ ．每个外角为，边数为，
则每个顶点出发得到对角线的条数：．

【例5】 ⑴ 一个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则的值为 ．

⑵ 如图，试求的值．

【解析】 ⑴ 由凸边形的内角得，，解不等式的，
故．
⑵ 连接．在和中，因（对顶角相等），
所以，


【点评】 本题解题关键在于添加辅助线构造“”字型，将六个角的和转化到四边形中，辅助线起到较好的桥梁作用．


【拓展1】设一个凸多边形的边数为奇数，除去两个内角外，其余内角和为2390°，求这个多边形的边数和这两个内角和
【解析】设边数为，这两个内角和为，则
根据题意得

因为
所以，所以




【拓展2】一个多边形所有的内角与它的一个外角的和是，你知道这个多边形的边数吗？说明理由。
【解析】设边数为，这个内角为，则，根据题意得

因为是180的倍数，
所以必定是180的倍数
因为，
所以

题型三：镶嵌



思路导航

1．镶嵌含义：用一种或多种平面图形拼在一起，形成完整的，没有缝隙的平面，这种拼图方式称为镶嵌或密铺．
设正多边形边数为，所以每一个内角等于，镶嵌时用块，即，故

2．多边形内角的度数与镶嵌的关系
① 用同一种正多边形镶嵌时，要求这种正多边形的每个内角都能够整除．
② 拼接在同一个点的各个角的和等于
③ 任意三角形、任意四边形一定可以镶嵌．






3. 用多边形不重叠无缝隙地把平面的一部分完全覆盖．在做镶嵌问题时经常要和不定方程结合．

典题精练


【例6】 ⑴ 幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面， 为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（ ）
①三角形 ②四边形 ③正五边形 ④正六边形 ⑤正八边形
A．③④⑤ B．①②④ C．①④ D．①③④⑤

⑵ 如果用一种正多边形作平面镶嵌，而且每一个正多边形的每一个顶点周围都有六个正多边形，则该正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．6

【解析】 ⑴ B．总结：能否平铺的关键是看能否围绕某一点拼成一个周角．任意的同一种三角形、 同一种四边形和正六边形都能平铺．
⑵A．提示：由正多边形的每个内角相等得，则，得，
∴正多边形为正三角形．



【例7】 我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫作平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为时，就能够拼成一个平面图形，某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用个正三角形、个正六边形进行平面密铺，可得，化简．因为、都是正整数，所以只有当，或，时上式才成立，即个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图①、图②、图③．



⑴ 请你仿照上面的方法研究用边长相等的个正三角形和个正方形进行平面密铺的情形，并按图④中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）
⑵ 如果用形状、大小相同的如图方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．




















【分析】 本题主要研究两个问题①如何限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正边形，满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，个内角的和为，这样将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解．
【解析】 ⑴用个正三角形，个正方形进行镶嵌，可得，即，因为、都是正整数，所以只有当，时，上式才成立，即用三个正三角形和两个正方形可以进行平面密铺．拼法如图①②．
⑵正确图如图③所示．


【探究对象】与多边形有关的习题总结
【探究目的】今年来的初中数学经常对多边形的角度、长度、面积等知识点进行考查，以下列举几例，通过割补的基本思路，将多边形转化为三角形或四边形予以解决。
【探究一】多边形与角度
例1、如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　







【解析】本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540°，又由AB∥CF，CD∥AE，可知∠BAE+∠AEF+∠EFC=360°，从540°中减去80°再减去360°，剩下∠C的度数为100°，所以只需测∠C的度数即可，同理还可直接测∠A的度数.测∠A或∠C的度数，只需∠A=100°或∠C=100°，即知模板中AB、CD的延长线的夹角是否符合规定.
　　理由如下：连接AF，∵AB∥CF，
　　∴∠BAF+∠AFC=180°.
　　又∵∠EAF+∠E+∠AFE=180°，
　　∴∠BAE+∠E+∠EFC=360°.
　　若∠C=100°，则AB、CD的延长线的夹角=540°－360°－100°= 80°，即符合规定.
　　同理：若连接CE，可得∠AEF+∠F+∠DCF=360°.
　　若∠A=100°，则也符合规定.
总结：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.
例2、下图所示是一个星型角度的求和问题，试计算
的度数之和

【解析】图中存在两个“飞镖”模型，可得

也可连接AD，DE，利用“8”字模型

【探究二】阅读理解题：
网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这两组平行线的交点称为格点，由多条线段首位顺次相接而组成的图形叫多边形，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫格点多边形，有趣的是：这种多边形的面积可根据图形内部及它的边上的格点数目来计算，算法十分简捷．
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它边上的格点数为L，下面我们来探究S与N、L三者之间的数量关系，问题研究应从简单的图形入手．

⑴当N=0时的格点多边形，根据图1观察下表，填空：
图形序号
S
N
L
①
1
0
4
②
2
0
6
③
3
0
8

观察图1①、②、③可以发现S与L之间的数量关系式是：________________ ；
L-1










⑵根据图2，填写下表：
图形序号
S
N
L

①
2.5

5
2.5
②

2
6
3
③
4
3


请你在图2④的位置上再画一个N=2的格点多边形（不同于图2②）；

⑶综上分析与归纳，格点多边形的面积S与多边形内部的格点数N，它边上的格点数L之间的数量关系式是：______________


【解析】⑴由题可以直接得到
⑵由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，①的各边上格点的个数为5，面积为2.5，②的各边上格点的个数为6，面积为4，③的各边上格点的个数为4，面积为4，进而求出即可；
图形序号
S
N
L

①
2.5
1
5
2.5
②
4
2
6
3
③
4
3
4
2
画图答案不唯一

⑶由图可知多边形内部都有而且只有N格点时，利用图形得出面积为：


【探究三】多边形面积
在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边AB，BC上的点，且AE=BF=1，过线段EF上的点P分别作DC，AD的垂线，垂足为M，N，延长NP交BC于Q，试写出矩形PMDN的面积y与FQ的长x之间的关系．


【解析】




思维拓展训练（选讲）





训练1. 如果一个凸多边形恰有三个内角是钝角，求这个多边形最多可以有多少条边．
【解析】 设这样的多边形最多边数为．因为有三个内角是钝角，所以这三个内角之和小于且大于．因为余下的个角应是直角或锐角，所以这个内角之和应在和之间，所以，
解得，所以最多有6条边．
训练2. 在平面内，分别用根、根、根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通 过尝试，列表如下所示：












①根火柴能搭成三角形吗？
②根、根火柴能搭成几种不同形状的三角形？

【解析】 ① 根火柴不能搭成三角形；
② 根火柴能搭成一种三角形；
根火柴能搭成种不同的三角形：、、．
训练3. 将长度为（为自然数且）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形，记 为三边的长分别为，，且满足的一个三角形．
⑴ 就、、的情况，分别写出所有满足题意的；
⑵ 有人根据⑴中的结论，便猜想：当铅丝的长度为（为自然数且）时，对应的的个数一定是．事实上，这是一个不正确的猜想；请写出时的所有，并回答的个数；
⑶ 试将时所有满足题意的，按照至少两种不同的标准进行分类．

【解析】 ⑴ 当时，铅丝长度为．则满足题意的只有一组：；
当时，铅丝长度为．则满足题意的有两组：，；
当时，铅丝长度为．则满足题意的有三组：，，．
⑵ 当时，铅丝长度为．由题意，且，
由此得，即，，，．
满足题意的共组：；；；；；；；；；；；．
⑶ 不同的分类标准，决定不同的分类．现举例如下：
① 按最大的边的值分类，共有四类：
⒈，有、、、、五个；
⒉，有、、、四个；
⒊， 有、两个；
⒋， 只有一个．
② 根据“有几条边相等”分类：
⒈等边三角形：只有一个；
⒉等腰但不等边三角形：有、、、四个；
⒊不等边三角形：、、、、、、七个．
③根据最大角分类：（学生未学勾股定理）
⒈锐角三角形：有、、、、、六个；
⒉直角三角形：只有一个；
⒊钝角三角形：有、、、、五个．
训练4. 我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的瓷砖铺 设成的，这样形状的瓷砖能铺成平整、无隙的地面．请问：
⑴ 像上面那样铺设地面，能否全用正五边形瓷砖，为什么？
⑵ 你能不能另外设计出一种用同样多边形（不一定是正多边形）的瓷砖铺地的方案？把你想到的方案画出来．
⑶ 你能再设计出一个用两种不同的正多边形的瓷砖铺地的方案来吗？如能，请画出草图．


【解析】 ⑴ 因为正五边形瓷砖的每一个内角为，而不能整除，所以不能全用正五边形的瓷砖铺设地面．
⑵ 同学们自然想到正三角形瓷砖及工人砌墙用的砖头——矩形（非正多边形）等，
如图：

事实上不规则的同一种三角形或同一种四边形瓷砖都能铺设地面．
⑶ 用两种正多边形瓷砖铺设地面的方案也是很多，下面给两种，如图：




复习巩固




题型一 整数边三角形 巩固练习

【练习1】一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为( )
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
【解析】 选B，根据三角形三边关系定理，可求出三角形的第三边的取值范围是：大于1999而小于2007，再依其周长为偶数，可知第三边应为2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006，这七个数中选出，而周长为偶数，已知一边长为偶数，一边长为奇数，由此可知，可第三边边长应为奇数．所以第三边边长为2001，或2003或2005．选B．

题型二 多边形及其内、外角和 巩固练习
【练习2】⑴已知一个多边形，它的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
⑵一个多边形内角和为，且每个内角相等，那么这个多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ⑴B
⑵设边数为，得，则．由于每个内角相等，则每个外角相等，故每个外角为，故选C．
【练习3】如图，，求的值．

【分析】 恰当连线构造“”字型或角的转换将凹多边形内角和转化为凸多边形内角和．
【解析】 连接，则，于是
原式五边形的内角和，故．
点评：本题解题关键在于添加辅助线构造“”字型，将离散的角转化到一个多边形中，辅助线起到较好的桥梁作用．
【练习4】如图，已知是正五边形的对角线，求的度数．

【解析】 由多边形的内角和公式可以直接求得正五边形的每个内角为，
∴，∴．

题型三 镶嵌 巩固练习
【练习5】如果限于用一种正多边形镶嵌，下列正多边形不能镶嵌成一个平面图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【解析】 C
第十四种品格：信念

秘方
从前，有这么一个故事说，一老一小两个相依为命的瞎子，每日里靠弹琴卖艺维持生活。一天老瞎子终于支撑不住，病倒了，他自知不久将离开人世，便把小瞎子叫到床头，紧紧拉着小瞎子的手，吃力地说：”孩子，我这里有个秘方，这个秘方可以使你重见光明。我把它藏在琴里面了，但你千万记住，你必须在弹断第一千根琴弦的时候才能把它取出来，否则，你是不会看见光明的。”小瞎子流着眼泪答应了师父。老瞎子含笑离去。
一天又一天，一年又一年，小瞎子用心记着师父的遗嘱，不停地弹啊弹，将一根根弹断的琴弦收藏着，铭记在心。当他弹断第一千根琴弦的时候，当年那个弱不禁风的少年小瞎子已到垂暮之年，变成一位饱经沧桑的老者。他按捺不住内心的喜悦，双手颤抖着，慢慢地打开琴盒，取出秘方。
然而，别人告诉他，那是一张白纸，上面什么都没有。就在拿出”秘方”的那一瞬间，他突然明白了师父的用心。只有他，从小到老弹断一千根琴弦后，才能了悟这无字秘方的真谛。倘若没有它，他或许早就会被黑暗吞没，或许早就已在苦难中倒下。就是因为有这么一盏希望的灯的支撑，他才坚持弹断了一千根琴弦。他渴望见到光明，并坚定不移地相信，黑暗不是永远，只要永不放弃努力，黑暗过去，就会是无限光明。

今天我学到了