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初一数学春季讲义第12讲全等三角形的认识教师版

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这是一份初一数学春季讲义第12讲全等三角形的认识教师版，共14页。教案主要包含了全等三角形的性质等内容，欢迎下载使用。

买玻璃

一、概念

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．

对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点．

对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角．

对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．

如图，若与全等，记作“”，其中顶点、、分别与顶点、、对应．

注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：

⑴ 把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上.

⑵ 有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角.

二、全等三角形的性质

1. 全等三角形的对应边相等

2. 全等三角形的对应角相等

3. 全等三角形的周长相等，面积相等

【引例】如图，已知，且，，，求的度数.

【解析】 ∵

∴，

又∵

∴

【例1】 ⑴ 如果，则的对应边是_______，的对应边是_______ ，的对应

角是_______ ，的对应角是__________．两个三角形的周长_______，

两个三角形的面积_______（填“>”、“=”、“<”）．

⑵ 如图所示，若，，，则对应结论

①；②；③； ④中

正确结论共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（东城区期末检测）

⑶ 已知下图中的两个三角形全等，则的度数是（）

A. B. C. D.

（实验中学期中）

【解析】 ⑴，，，，=，=；⑵C；⑶D.

全等三角形的判定方法：

1. 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS．

2. 如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS．

3. 如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA．

4. 如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS．

5. 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL．

两个三角形中对应相等的边或角		是否全等全等：√ 不全等：×	公理或推论（简写）
三条边		√	SSS
两边一角	两边夹角	√	SAS
两边一角	两边与其中一边对角	×
两角一边	两角和夹边	√	ASA
两角一边	两角与其中一角对边	√	AAS
三角		×

特殊：直角三角形中，常用“HL”．

1. 全等三角形的判定（一）——

作图：已知，画一个，使．

并判断和是否全等．

【点评】学生版方框内需要填充.

【引例】已知：如图，．求证：．

分析：要证，需证，只要证_____________________．

证明：∵（）

∴（）

即_____．

在和中，

∴_____________________（）

∴（）

【解析】分析：只要证．

证明：∵（已知）

∴（等量加等量和相等）

即．

在和中，

∴（）．

∴（全等三角形的对应角相等）．

∴（同位角相等，两直线平行）

【点评】此题非常基础，就是要给学生呈现一个标准的书写格式，每一步都要有利有据，老师们一定要给学生强调到位，突出证明过程的重要性.

【例2】如图，已知．求证：．

（东城区一模考试）

【解析】证明：在和中，

∴．

又∵，

∴．

【点评】该模型为共边模型，是以后讲轴对称变换的基础，在这里老师们需给学生强调“公共边”的意义.

2. 全等三角形的判定（二）——

作图：已知，画一个，使．

并判断和是否全等．

【点评】学生版方框内需要填充.

【例3】已知:如图，、、、四点在同一直线上，，

∥，且．

求证：⑴；⑵．

【解析】 ⑴ ∵，∴．

又∵，

∴．

在和中，，

∴．

⑵ 在和中，，

∴≌()．

∴

又∵由⑴知，

∴，

∴．

3. 全等三角形的判定（三）——

作图：已知，画一个，使．

并判断和是否全等．

思考：若将改成呢？画出的和全等吗？

【点评】学生版方框内需要填充.

【例4】如图，相交于点，，、为上两点，，．求证：．

【解析】 ∵，

∴

在和中

∴，

∴

∵，∴

在和中

∴，

∴

4. 全等三角形的判定（四）——

作图：已知，画一个，使．

并判断和是否全等．

【点评】学生版方框内需要填充.

【例5】已知：如图，．

求证：．

【解析】 ∵，

∴，

在和中，

∴，

在和中，

∴，

∴.

【例6】 ⑴ 小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那

么最省事的办法是（）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去

（师大实验月测试题）

⑵ 如图在和中，，要使，需增加的条件是

．（写出其中一个答案即可）

【解析】 ⑴ C；⑵ 或或或.

【例7】已知中，，作与只有一条公共边，且与全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．

【解析】

【教师备选】

为什么不能判定全等

作图：已知线段和角，求作，使得，这样的三角形有几个？

训练1. 已知：如图，与交于点，，．

⑴ 求证：与互相平分；

⑵ 若过点作直线，分别交于两点，

求证：．

【解析】 ⑴ ∵，

∴，

在和中，

∴，

即与互相平分．

⑵由⑴可知，

在和中，

∴，

∴

另：证明也可．

训练2. 如右图所示，，，，与交于，

于，于，那么图中全等的三角形有哪几对？

并简单说明理由．

【解析】 7对：

≌；≌；≌；

≌．理由略．

训练3. 请分别按给出的条件画（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？

⑴ ；⑵ ；

⑶ ； ⑷ ；

⑸ ； ⑹ ；

【解析】只有⑹所作的三角形不唯一．

训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？

⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等；

⑵ 阅读与证明：

对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形

它们全等. 可证明如下：

已知：、均为锐角三角形，，，．

求证：．（先把文字语言转化成符号语言）

证明：分别过点，作于，于，则，

（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）

∵在和中，

∴

∵在和中，

∴ ，∴ ，

∵在和中，

∴ ．

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！

⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

【解析】 ⑴；⑵略；⑶若、均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且，，，则．

题型一全等三角形的概念和性质巩固练习

【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；

⑷ ；⑸ ；⑹ ．

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别．

② 两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等．

A．两边和其中一边的对角对应相等

B．三个角对应相等

C．两角和一组对应边相等

D．两边及第三边上的高对应相等

③ 下列命题错误的是（）

A．全等三角形对应边上的高相等

B．全等三角形对应边上的中线相等

C．全等三角形对应角的角平分线相等

D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等

【解析】 ①⑴定义，⑵，⑶，⑷，⑸，⑹；相等．②C；③D．

【练习2】如图，在中，分别是边上的点，若

，则的度数为______________．

【解析】 .

题型二全等三角形的判定巩固练习

【练习3】已知，如图，，，，求证：．

【解析】在和

∴，

．

另一方法：面积法．

，∵，∴．

等腰三角形两腰上的高相等．

【练习4】如图所示，已知，，，，

，垂足分别为、，试证明．

【分析】法一，根据题目中给出的条件，可以利用“HL”证明，得到，然后再利用“AAS”证明，即可得出．

法二，此题在证明了后，根据全等三角形的面积相等，即，而这两个三角形又是同底的，可以得出高等于高．

【解析】法一：∵，，

∴．

在和中，

∴，

（全等三角形的对应边、对应角相等）．

∵于点，于点，

∴．

在和中，

∴，

∴（全等三角形的对应边相等）．

法二：∵，，

∴．

在和中，

∴，

∴．

又∵，，，

∴．

【点评】本题方法一通过两次直角三角形全等得到结论，其中第一次全等运用了“HL”，第二次全等运用了“AAS”，要注意区别．通过方法二我们可以知道有时灵活运用三角形面积相等也可证明两条线段相等．

题型三全等三角形判定的应用巩固练习

【练习5】如图所示，中，、分别在、上，与交于

点，给出下列四个条件：

①；②；③；④

上述四个条件中，在不添加辅助线的情况下，哪两个条件可判定是等腰三角形(用序号写出所有情形) .

【解析】 ①③、①④、②③、②④.