初一数学寒假讲义 第5讲.基本乘法公式及应用.教师版

               原来如此

考点一、平方差公式

若，且，则        .

【解析】       2

考点二、完全平方公式及变形

若，则的值为         .

【解析】       12

【例1】平方差公式及几何意义；

【例2】完全平方公式的计算；

【例3】完全平方公式几何意义和复杂计算；

【例4】利用两个公式简便计算；

【例5】先化简再代入求值；

【例6】平方差公式的应用；

【例7】完全平方公式的应用；

【例8】常考恒等变形.

【例1】         ⑴ 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的          部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（    ）

A．          B．

C．           D．

⑵如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为(    )

A．          B．

C．          D．

⑶计算

①

②

③

④

⑤

⑥.

【解析】       ⑴ C；⑵C; ⑶①；②；③；④；⑤；⑥.

【例2】         计算⑴；⑵；⑶

 ⑷ ；⑸；⑹ .  

【解析】       ⑴；⑵⑶；

⑷；⑸ ；⑹.  

【例3】         ⑴ 有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面

积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则

还需要抽取面积为的正方形纸片为（    ）

A．2张          B．4张           C．6张           D．8张                                                                

⑵ 化简：;                                                                         

⑶；

⑷

⑸

⑹.

【解析】⑴ B；

⑵ ;

⑶ ；  ⑷；  ⑸；

⑹

对于在形式上符合平方差公式和完全平方公式的数字运算，可以运用两个公式进行简便计算，注意无论公式还是公式的逆用都要很熟悉，才能熟练应用.

【例4】         ⑴ ;  ⑵；

⑶ ;

【备选】⑷

【解析】⑴ ;

⑵ 原式==20002；

⑶原式===；

        ⑷

首先要熟悉每个公式的特点，从而灵活应用.

【例5】         ⑴ 先化简，再求值:，其中                                                       

        ⑵ 已知，求代数式的值．                                                          

       ⑶，其中.

⑷若，求代数式的值.

【解析】       ⑴ 原式,

当时，原式.

⑵ 原式

当时，原式.

⑶ 原式===+=.

⑷ 原式=.

【例6】         ⑴ 若，求的值.

⑵ 已知，求的值.

【解析】       ⑴ .

⑵ ，.

【例7】         ⑴已知，求的值.

⑵已知，求① ；② .

【解析】⑴ 条件化简得，.

⑵ ①=45.

②===.

【备选】⑴已知，求的值.

⑵已知，，求的值.

【解析】⑴，所以，故.

⑵ ， 

           .

【例8】         已知，求 ① ；② .

【解析】       ① ∵ ∴，

则两边同时除以得，

② =.

【备选】先化简：，若，求.

【解析】       ；.

训练1.             请设计一个几何图形，验证.

【解析】      

训练2.             ⑴ 若，则        ;

⑵;

⑶ .

【解析】⑴ ; ⑵ ;   ⑶ . 

训练3.             已知实数，满足，，求的值．   （北大附期末考试）

【解析】       ①

②

①+②得.

①②得.

∴.

训练4.            

【解析】       设，

则==.

知识模块一  平方差公式及几何意义  课后演练

【练习1】 计算=           .  

【解析】.

知识模块二  完全平方公式及几何意义 课后演练

【练习2】⑴ 计算 ；    

⑵ 计算 ；         

⑶ 化简：;

⑷ 如果是一个完全平方式，则（   ）

A．9y2   B．3y2    C．y2   D．6y2

【解析】⑴ ;

⑵ ;

⑶ 原式;

⑷ A.

知识模块三  简便运算  课后演练

【练习3】⑴ ;

          ⑵ .

【解析】⑴ ; 

⑵ 原式=++

==5050.

知识模块四  乘法公式的综合应用  课后演练

【练习4】⑴先化简，再求值：，其中.

          ⑵先化简，再求值：，其中.

【解析】       ⑴ 原式.

⑵

          又，故原式=                                      

【练习5】，则=      .

【点评】       11.

【练习6】已知实数、、满足，求的值.

【解析】       将代入

得

，代入得8.