初一数学秋季讲义 第3讲.绝对值 教师版

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                   饕餮盛宴题型切片（5个）对应题目    题型目标的化简例1；练习1无条件的绝对值的化简例2；练习2零点分段法例3；练习3用绝对值的几何意义求两点间的距离例4；练习4用绝对值的几何意义求代数式的最值例5，例6；练习5 1．绝对值：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作．2．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质；⑵ ；   ⑶ 若，则；若，则；⑷ 若，则或；         ⑸ .⑹当时，；当时，．（主要考察分类讨论） 【例1】         ⑴若均为非零的有理数，求的值.⑵若均为非零的有理数，求的值.【解析】       ⑴①当都是正数时，原式.  ②当一个是正数，一个是负数时，原式=.   ∴原式的值为.         ⑵①当都是正数时，原式.②当都是负数时，原式.③当有两个正数一个负数时，原式.④当有两个负数一个正数时，原式.∴原式的值为.针对例1进行拓展1.已知，且都不等于，求的所有可能值【解析】       或或 2.已知是非零整数，且，求的值.【解析】       因为是非零有理数，且，若中有一正二负，不妨设，则原式.若中有二正一负，同理原式=0综上，原式=03. 若均为非零的有理数，求的值.【解析】       .老师可以继续下去，给学生们总结一下到n的规律.【例2】         化简下列各式⑴;  ⑵.【解析】       ⑴当时，则；当时，则，∴.  ⑵当时，则；当时，则，∴. 【例3】         阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下三种情况：·⑴当时，原式.⑵当时，原式.⑶当时，原式.综上讨论，原式.通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：.⑴分别求出和的零点值；⑵化简代数式.【解析】⑴分别令和，分别求得和，所以和的零点值分别为和⑵当时，原式；当时，原式；当时，原式.所以综上讨论，原式. 针对例3进行拓展1.求的值．【解析】先找零点，，，，解得，，．依这三个零点将数轴分为四段：，，，．当时，原式；当时，原式；当时，原式；当时，原式．2.化简：.【解析】先找零点.，．，．        ，，或，可得或者；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ ，，，，；⑵ ，，，，；⑶ ，，，，；⑷ ，，，，．  表示数轴上数与数两点之间的距离. 且.【例4】         ⑴ 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．① 的几何意义是数轴上表示     的点与    之间的距离；    ② 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；则         ；③ 的几何意义是数轴上表示     的点与表示     的点之间的距离，若，则       ．④ 的几何意义是数轴上表示     的点与表示     的点之间的距离，若，则      ．⑤ 当时，则      ．⑵ 如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为，，，．若，，，则        ．⑶ 不相等的有理数在数轴上的对应点分别为，，，如果，那么点，，在数轴上的位置关系是（   ）     A．点在点，之间                 B．点在点，之间         C．点在点，之间                 D．以上三种情况均有可能 【解析】       ⑴ ①，原点；；② ；③，，或；④，，或；⑤；⑵ ；⑶ B.【点评】此题是对绝对值几何意义的考察．【例5】         利用绝对值的几何意义完成下题：已知，利用绝对值的几何意义可得；若，利用绝对值的几何意义可得或．已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得         ．利用绝对值的几何意义求的最小值           ．的最小值为           ．的最小值            ．的最小值            ．归纳：若，当             时，取得最小值．若，当满足            时，取得最小值．【解析】       或；；； ；；；．【点评】       若，当时，取得最小值．若，当满足时，取得最小值． 【例6】         如图所示，在一条笔直的公路上有个村庄，其中、、、、、到城市的距离分别为、、、、、千米，而村庄正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】       因为村庄是的中点，所以村庄到城市的距离为千米，即村庄在村庄之间，个村庄依次排列为．设活动中心到城市的距离为千米，各村到活动中心的距离之和为千米，则：因为，所以当时有最小值，所以活动中心应当建在处．【选讲题】【例7】         有理数、、在数轴上的位置如图所示：若，则     ． 【解析】       由图可知，，∴，，，. 【例8】         ①化简：②求的最大值和最小值．【解析】       ①当时，则当时，则当时，则当时，则②法一：根据几何意义可以得答案；法二：找到零点，1，可以分为以下三段进行讨论：当时，；     当时，；当时，；综上所得最小值为，最大值为． 
训练1.             若a、b、c为整数，且，试求：的值.（清华附中期中）【解析】       法一：根据题意：，为非负整数，分类讨论：①若，，则，此时原式；②若，，则，此时原式．法二：从总体考虑，、一个为，一个为，也就是、、有两个相同，另一个和它们相差．故三者两两取差的绝对值应该有个和个，所以．训练2.             已知，，都不等于0，则的值为      【解析】       4、0或. 训练3.             已知，求的最大值与最小值．【解析】       法一：根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；当时，取最小值为．法二：找到零点，. 结合可以分为以下两段进行分析：当时，，有最值和；        当时，；综上可得最小值为，最大值为．训练4.             如图，数轴上两点分别表示有理数2和5,我们用来表示两点之间的距离.(1)直接写出的值                 ；(2)若数轴上一点表示有理数m，则的值是______；(3)当代数式∣n +2∣+∣n 5∣的值取最小值时，写出表示n的点所在的位置         ；(4)若点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点到原点的距离是点到原点的距离的2倍？（昌平期末）【解析】 (1)  (2)(3) 线段上（表示到之间的点,包括表示和两点）            . (4)设经过秒后点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.   第一种情况:                              第二种情况:                               答: 经过1或3秒后点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.
的化简【练习1】   若、、都不为，求的值．【解析】       或．无条件的绝对值的化简【练习2】   化简：.【解析】         当时，则；当时，则，零点分段法【练习3】   化简：.【解析】       由题意可知：零点为.当时，原式.当时，原式.当时，原式用绝对值的几何意义求两点间的距离【练习4】   （1）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示的数是、，、两点之间的距离表示为，特别地，当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，则；当、两点都不在原点时：如图2，点、都在原点的右边，；如图3，点、都在原点的左边，.如图4，点、在原点的两边，。        图1                    图2          图3                    图4回答下列问题：①数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____；②数轴上表示数和的两点和之间的距离可表示为_____，如果，那么的值是_____；（2）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____．【解析】（1）① ；②；或（2）用绝对值的几何意义求代数式的最值【练习5】   如图，在一条数轴上有依次排列的台机床在工作，现要设置一个零件供应站，使这台  机床到供应站的距离总和最小，供应站建在哪？最小值为多少？【解析】       设供应站在数轴上所对应的数，则台机床到供应站的距离总和为，当时，原式值最小为．即供应站建在点处，这台机床到供应站的距离总和最小为． 
 “|  |”符号的诞生外尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm） 德国数学家。1815年10月31日生于德国威斯特伐 利亚小村落奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒於柏林。曾在波恩大学学习法律和财政，1838年转学数学。 1854年，根据他的学术成就，柯尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学助理 教授，1865年升为教授。  1841年外尔斯特拉斯首先引用“|  |”为绝对值符号（Signs for absolute value），及後为人们所接受，且沿用至今，成为现今通用之绝对值符号。  数字与汉字的美妙结合 （打一成语）； 72小时（打一字）； （打一成语）； 0000（打一成语）解析：七上八下；晶（72小时=3天）；百里挑一；万无一失