初一数学秋季讲义 第6讲.含参一元一次方程的解法.教师版

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               解方程 题型切片（四个）对应题目题型目标复杂一元一次方程例1；例2；练习1；同解一元一次方程例3；例8；练习2；含参一元一次方程例4；例5；练习3；练习4绝对值方程例6；例7；练习5；练习6 对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中的应用.  【引例】       解方程：.【解析】       法一：所以；法二：，，所以.【点评】       注意传递给学生两种解决此类问题的思路. 【例1】         ⑴解方程：.（西城期末）   ⑵解方程： 【解析】       ⑴ 去分母（方程两边同乘以12），得． 去括号，得 ．移项，得  ． 合并同类项，得  ． 系数化为1，得  ．∴ 原方程的解是  ． ⑵ 原方程可变为，即，又，所以，即．点评：若，则或． 【例2】         解方程：    【解析】       ，  即，故. 若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等． 【引例】       当________时，方程的解和方程的解相同．（北京四中期中考试）【解析】       法一：方程的解为，方程的解为.由题意解相同，所以，解得.法二：方程的解为，把代入中，          求得．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程． 【例3】         ⑴已知：关于x的方程与的解相同，求的值及相同的解． （石景山期末）⑵若关于的方程和有相同的解，求的值． ⑶若和是关于的同解方程，求的值．【解析】 ⑴ ，解得， ⑵ 方程的解为，把代入中，求得．⑶ 法一：方程的解为，方程的解为，所以，所以，所以.法二：方程等号两边乘以得，故，．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的形式，方程的解根据的取值范围分类讨论．① 当时，方程有唯一解．② 当且时，方程有无数个解，解是任意数．③ 当且时，方程无解．  【引例】       当     ，    时，方程有唯一解；当     ，     时，方程无解；当    ，    时，方程有无穷多个解．【解析】 为任意数；；.【例4】         ⑴ 已知：关于的方程有无数多个解，试求 的解.⑵ 若、为定值，关于的一元一次方程，无论为何值时，它的解总是，求的值．（北师大附中期中） 【解析】       ⑴ 原方程整理为，因为当且该方程有无数多组解，所以，故把代入得， 解得.        ⑵ 方程可化为：，由该方程总有解可知，即，又为任意值，故，．【例5】         解关于的方程【解析】       去分母，化简可得：当时，方程的解为；当，时，解为任意值；       当，时，方程无解．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解 1．形如的方程，可分如下三种情况讨论：⑴，则方程无解；⑵，则根据绝对值的定义可知，；⑶，则根据绝对值的定义可知，．2．形如型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，，且；分别解方程和，然后将得出的解代入检验即可．3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法：主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．  【引例】       解绝对值方程：【解析】 可知，或，故或． 【例6】         若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，下列选项正确的是（      ）A．       B．       C．        D．【解析】       C. 【例7】         解绝对值方程：⑴                        ⑵ ⑶ 方程的解是       ．（北京四中期中）【解析】       ⑴由可知，，故或．⑵方程可化为，，且，解方程可得，；解方程可得，，代入检验可知，，均满足题意．⑶法一：与的零点分别是和．由“零点分段法”，分情况讨论：若，则原方程可化为，解得，满足题意，故是原方程的解；若，则原方程可化为，无解；若，则原方程可化为，解得，满足题意，故也是方程的解．综上：方程的解为或.法二：用绝对值的几何意义画数轴即可解决.                              【选讲题】【例8】         已知：与都是关于的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于的方程的解．（人大附中期中练习）【解析】       由题意可知，，故题中的两个方程变为和，由上述两个方程的解互为相反数可知，，故方程变为，从而可知，或． 训练1.             解方程： 【解析】       原方程可化为，去分母，去括号，合并同类项，系数化为得． 训练2.             解方程：．【解析】       由题意：所以所以，因为，故． 训练3.             已知关于的方程的解与的解相同，求的值.【解析】       由 得 由得 ∵两个方程的解相同，∴ ∴  训练4.             为何值时，方程有无数多个解？无解？【解析】       将方程化为最简形式，利用各种解的情形所应满足的条件建立的关系式.原方程整理得：，即当时，原方程有无数个解，当，即 时，原方程无解.  复杂一元一次方程 巩固练习【练习1】   解方程：【解析】       . (提示：含有小数的一元一次方程在求解过程中通常是先将小数化成整数) 两个一元一次方程解的关系问题 巩固练习【练习2】   已知关于的方程与有相同的解，求的值及方程的解.【解析】       把当常数，方程的解为，方程的解为，故，解得，所以．（同解方程问题） 含字母系数的一元一次方程 巩固练习【练习3】   已知关于的方程无解，那么      ，      ．【解析】       ，即，故且，即，．【练习4】   如果关于的方程有无数个解，求值.【解析】       原方程整理得，由方程有无数个解得，．绝对值方程 巩固练习【练习5】   解方程：【解析】       或（舍），即，所以或，即或，故或． 【练习6】   方程的解是       ．                      或.    每个人的成功都有秘诀，那你知道爱因斯坦的成功公式是什么？