初一数学秋季讲义 第10讲 直线、射线和线段

这是一份初一数学秋季讲义 第10讲 直线、射线和线段，共13页。
                             走捷径       平面几何是训练人们思维能力的最好方法之一，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立的哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人不准入内”；二十世纪最伟大的科学家爱因斯坦说：如果几何不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学家．”在平面图形中我们接触最多的基本元素就是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，他们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方也就是点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界线．在线中，最简单常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由直线所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形）的基础．相关问题常涉及以下知识与方法：1. 直线、射线与线段的区别与联系2. 线段中点概念3. 枚举法，分类讨论法 注意：有关直线、射线、线段的基础知识为暑期班讲解内容这里不再重复讲解，教师根据班级情况补充讲解，建议先练习学案1复习暑期班知识后再讲解例题.  【引例】       如图，在直线PQ上要找一点C，且使，则点C应在（    ）．A．PQ之间找           B．在点P左边找                 C．在点Q右边找        D．在PQ之间或在点Q的右边找【解析】       D． 【例1】         ⑴ 如图，已知点在线段上，线段，，点、分别是线段、  的中点，求线段的长．⑵ 对于①题，如果我们这样叙述它：已知点在直线上，线段，，点、分别是线段、的中点，求线段的长，结果如何？请画出示意图，并直接写出的长．（丰台区期末）【解析】       ⑴ 由点、分别是线段、的中点，得，，所以；⑵ 有两种情况符合题意：①点在线段上，与⑴题相同，； ②点在线段延长线上，正确画出示意图（略），． 【例2】         阅读：在用尺规作线段等于线段时，小明的具体做法如下：已知：如图，线段．      求作：线段，使得线段．作法：① 作射线；② 在射线上截取．∴线段为所求．解决下列问题：已知：如图，线段．   ⑴ 请你仿照小明的作法，在上图中的射线上作线段，使得；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）                 ⑵ 在⑴的条件下，取的中点.若，求线段的长.（要求：第⑵问重新画图解答）（海淀区期末）【解析】       ⑴ ；⑵ ∵为线段的中点，∴.  如图，点在线段的延长线上．∵，∴．∴． ∴.如图，点在线段上．∵，∴．∴． ∴．  综上所述，的长为1或． 【例3】         ⑴ 已知，，三点在同一直线上，线段，是线段的中点，且，  则线段的长等于          .⑵ 已知，，，四点共线，若，，，画出图形，求的长．【解析】       ⑴ 或；⑵ 情况：如图⑴．情况：如图⑵．情况：如图⑶．情况：如图⑷．      　 【备选题】【备选1】若点A、B、C在一条直线上，线段AB=8cm，AC=4cm，则线段BC的长为（    ）A．12cm     B．4cm     C．12cm或4cm    D．从4cm到12cm中任意数（昌平区期末）【解析】       C． 【备选2】已知线段，是直线上一点，且 ，、分别是、的中  点，则线段的长为          ．（西城区期末）【解析】       或． 【备选3】线段上有两点、，，，，求的长．【解析】       情况1，如图⑴，；情况2，如图⑵，．【备选4】⑴如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若，，则_______．（朝阳区期末）⑵如图，已知，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点，若，，那么的长度为           ． 【解析】       ⑴ 3；⑵ 11cm． 【拓展】⑴若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）        ⑵在⑴中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果． 【解析】   ⑴                                              ⑵线段MN的长度会变化．                                    当点C在线段AB上时，由⑵知       当点C在线段AB的延长线时，如图：则AC=a＞BC=b∵AC=a，点M是AC的中点             ∴CM==             ∵BC=b，点N是BC的中点             ∴CN==             ∴MN=CM－CN=                         当点C在线段BA的延长线时，如图：  则AC=a＜BC=b             同理可求：CM==                       CN==             ∴MN=CN－CM=                                      ∴综上所述，线段MN的长度会变化，，，    从简单情形入手，由简入繁，归纳发现规律，是解决计数问题的关键． 【例4】         当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条；……当一条直线上有个点时，图中共有射线________条，线段_______条．【解析】       ，；，；，；，；，． 【例5】         平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？条直线两两相交最多有多少个交点？【解析】       6条直线两两相交最少的交点个数是1个；最多有15个交点．对于条直线两两相交交点最多的情况，我们不妨从简单情况入手，画图探索规律，从中发现规律，平面内条直线两两相交最多有：个交点.【例6】         条直线最多可将平面分成      部分；条直线最多可将平面分成      部分；条直线最多可将平面分成      部分；条直线最多可将平面分成      部分；条直线最多可将平面分成几部分？ 说明理由！ 【解析】       我们仍可以从简单情况入手，画图探索规律：条直线最多可将平面分成部分；条直线最多可将平面分成部分；条直线最多可将平面分成部分；条直线最多可将平面分成部分；发现规律，条直线最多可将平面分成：部分．【拓展】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．【解析】       ． 通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.  【例7】         图解下列应用题．⑴ 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有      种不同的票价（来回票价一样、站与站之间距离不相等），需准备        种车票．⑵ 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出、、、、五队已分别比赛了、、、、场球．则下列正确的是        ．（多选）A．还有一个队没和队进行比赛B．队与队进行了一样多的比赛C．队、队、队这三队之间已经进行了两场比赛D．后面还剩下六场比赛需要进行 【解析】       ⑴ 不同票价其实就是有多少条线段即为种；来回票价一样，但票的起始站是不一样的，所以需种票．⑵ 图解，．如右图  【备选1】在一次聚会开始时，6个客人都互相问了好，聚会结束时6个客人都互相握了手，那么，一共有多少次问好？有多少次握手？【解析】30，15 【备选2】五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了（　　）次．A．1             B．2               C．3                D．4【解析】       B 【例8】         ⑴已知线段的长为10cm，是直线上一动点，是线段的中点，是线段的中点.①若点恰好为线段上一点,则=     cm；②猜想线段MN与线段AB长度的关系，即MN=________AB，并说明理由．                                                                    (2011海淀区期末试题)⑵如图所示，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，求绳子的原长．   【解析】       ⑴①5；                                      ………………………………1分②；                                     ………………………………2分证明：∵M是线段AC的中点，∴∵N是线段BC的中点，∴        ………………………………3分以下分三种情况讨论（图略），当C在线段AB上时，；………………………………4分当C在线段AB的延长线上时， ；  ………………………………5分当C在线段BA的延长线上时，； ………………………………6分综上：． ⑵设，则．① 若是绳子的对折点，则最长一段为，解得   ． 由，可得，绳子的原长为 ② 若是绳子的对折点，则最长一段为，解得 由，可得，．绳子的原长为 综上，绳子的原长为或.  训练1.  ⑴ 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（     ）A．两点之间，射线最短     B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短     D．两点之间，直线最短⑵ 如图，已知点是线段的中点，点是的中点，那么下列结论中错误的是（     ）A．           B．     C.           D．（海淀期末）⑶ 如图，已知点C在线段AB的延长线上，，，点是AC的中点，求DB的长．  【解析】       ⑴ C；⑵ C； ⑶ ∵，，∴ ∵点D是AC的中点∴ ∴ 训练2. 如图，已知线段上依次有三个点、、把线段分成四个部分，、、、分别是，，，的中点，若，求的长度．【解析】       设，，，，则，故，． 训练3. 如图，、、依次是线段上三点，已知，，则图中所有线段长度之和是多少？                               【解析】       ． 训练4. 同一直线上有、、、四点，已知，且，求的长．（人大附中期末，西城期末）【解析】       依题意画出示意图如下：                     如图，由可知，．由可知，．又，故如图，由可知，．由可知，．又，故如图，由可知，．由可知，．又，故如图，由可知，．由可知，．又，故【点评】       此题也可以把其中某个线段设为，其它线段都用表示出来列方程求解．   题型一  多种情况求线段长度问题  巩固练习 【练习1】   已知：如图，，点为线段上一点，点、分别为线段、的中点，，求线段的长．（海淀区期末）【解析】       由是的中点可知，，同理可知，．故，又，，故．【练习2】   如图所示，把一根绳子对折成线段，从处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为           .                                     【解析】       40或80．【练习3】   如图，线段，点是线段上一点，、分别是线段，的中点，小强据此很轻松地求得．他在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上时，原有的结论“”是否仍然成立？请你帮小强画出图形并说明理由．【解析】       原有结论仍然成立．理由如下：当点在的延长线上时，如下图所示，．题型二  计数问题 巩固练习【练习4】   过平面上的个点最多可画多少条直线？（）【解析】       ． 方法一：经过平面内2个点最多可画1条直线；经过平面内3个点最多可画条直线；经过平面内4个点最多可画条直线；经过平面内5个点最多可画条直线；经过平面内6个点最多可画条直线；经过平面内个点最多可画条直线．方法二：每过一个点最多可画条直线，那么过个点可画条直线，但有重复，所以乘以. 综上：过平面上点最多可以画条直线．题型三  图解应用题 巩固练习【练习5】   如图是六名舞蹈演员设计的一种舞台造型，从三种不同的角度看，都   有三名演员在同一条直线上，为了视觉更美观一些，设计人员只移动    了一名演员的位置，就使得从四种不同的角度看，都有三名演员在一条直线上．请你联想所学过的知识解决这个问题，画出你的设计方案．（海淀区期末）【解析】       解决方案如下图．