初一数学秋季讲义 第11讲 角的计算与证明

                原来如此！！！

1. 角的定义、表示方法、分类．

2. 角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线．

3. 余角和补角

余角：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．

补角：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．

注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解.

【例1】 ⑴ 如果，而与互余，那么与的关系为（　　）

A．互余     B．互补     C．相等     D．不能确定

⑵ 已知是锐角，与互补，与互余，则的值等于（　　）

A．     B．     C．     D．

⑶如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：① ；

②；③ ；④ ．正确的有（　　）

A． 4个        B．3个        C．2个         D．1个

⑷ 一个角的余角的倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数．

【解析】      ⑴ C；同角或等角的余角相等；⑵C；一个角的补角与这个角的余角的差等于90°；⑶B；

⑷ 设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，由题意，得：

，解得：．

【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（   ）

A． 4个     B．3个     C．2个     D．1个

⑵ 下列说法中，正确的是（　　）

A．一个角的补角必是钝角

B．两个锐角一定互为余角

C．直角没有补角

D．如果，那么，，三点在一条直线上

⑶ 下列语句正确的是（　　）

A．钝角与锐角的差不可能是钝角

B．两个锐角的和不可能是锐角

C．钝角的补角一定是锐角

D．和互补（），则是钝角或直角

【解析】      ⑴ C; ⑵ D;⑶C.

【备选】⑴ 若一个角的余角是，则这个角是（    ）

A．     B．     C．     D．

⑵ 互为补角的两个角度比是，这两个角是（　　）

A．，     B．，     C．，     D．，

⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（　　）

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

⑷如图，，，在一条直线上，是锐角，则的余角是（   ）

A．        B．

C．       D．

【解析】⑴ B；⑵ A；⑶B；⑷C.

【总结】复习余角与补角的基本概念

【例2】         ⑴ 如右图，已知直线、相交于点， 平 分 ，

若，则的度数是（    ）

A．   B．     C．        D．

⑵ 如右图，分别在长方形ABCD的边DC、BC上取两点E、F， 

使得AE平分∠DAF，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（     ）． 

A．15°     B．30°     C．45°     D．60°

(东城区期末）

⑶ 如右图，平分，平分，若，     

，求        .

【解析】      ⑴ C；⑵ A；⑶．

【例3】         如图所示，是的平分线，是的平分线，

⑴ 如果，，求出的度数；

⑵ 如果，求出的度数；

⑶ 如果的大小改变，的大小是否随之改变?

它们之间有怎样的大小关系?请写出来.

【解析】       ⑴ ∵平分

∴

∵平分

∴

∵

∴

∴；

⑵ 同上；

⑶ 的大小改变时的大小也随之改变

当时，．

当时，.

【拓展】已知点是直线上的一点，，是的平分线．

①当点，，在直线的同侧（如图1所示）时．试说明；

②当点与点，在直线的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请

给出你的结论并说明理由；

③将图2中的射线绕点顺时针旋转，得到射线．设，

若 ，则的度数是　　             （用含的式子表示）．

【解析】      ①设，则，

∵是平分线，

∴，

∴，

即；

②解：成立，

设，则，

∴，

∴；

③解：

，

故答案为：．

【例4】         ⑴ 一条射线，从点再引两条射线与，使，，则   

          ．

⑵ 已知，从点引射线，若，求与的平分线所成的角的度数为         ．

⑶ 若，，，求的度数．

【解析】 ⑴ 或；

⑵     当在⑴区域，所求的角度数为；

当在⑵区域，所求的角度数为；

当在⑶⑷⑸区域，不符合．（不考虑优角）

⑶分四种情况

如图1，=

 如图2，=

          如图3，=

 如图4，=         

【例5】 如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有          个角；画2条射线， 图中共

有          个角；画3条射线，图中共有          个角，求画条射线所得的角的个数．

【解析】 3,6，10，

【拓展】已知直角，以为顶点，在的内部画出100条射线，则以、及这些射线为边的锐角共有多少个？若以为项点，在的内部画出条射线（的自然数），则、以及这些射线为边的锐角共有多少个？

【解析】 个，

【提示】在的内部，以为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、条射线所构成的锐角的个数．

      1. 方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.

即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围.

2. 钟表问题: ⑴ 分针每分钟转

⑵ 时针每分钟转

【例6】         ⑴ 如右图所示，下列说法中错误的是（    ）

A．的方向是北偏西

B．的方向是南偏西

C．的方向是南偏东

D．的方向是北偏东

（西城区期末）

⑵ 如左下图所示的正方形网格中，        ．

        ⑶ 如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则       ．

⑷ 如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起．

① 如图1，若，则         °　

如图2，若，则         °

如图3，若，则         °

② 如图4，若，猜想与的数量关系为：                （用式子表示）, 证明你的结论．

【解析】  ⑴ D；

⑵利用对称性得；

 ⑶；

⑷  ①，，． 

             ② ．         

              证明：,,

                    ∴,

                    ∴ ．

【例7】         饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是点多，时针与分针成角，散完步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到点，而时针与分针又恰好成角，问韩老师外出多少分钟？

【解析】 钟表上相邻两个数字之间有个小格，每个小格表示分钟，如与角度联系起来，每小格，秒针每分钟转过，分针每分钟转过，时针每分钟转过．

设小明外出时，时间为点分，又设小明回家时是点分．

由题意得，，

解得，

．

【备选】⑴,都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，的结果依次为，，，，其中有正确的结果，则计算一定正确的是（　　）

A． 甲     B．乙     C．丙     D．丁

⑵已知、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算出了、、这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则______.

【解析】 ⑴ A；⑵．

因为，故，所以三个结果中是正确的，所以．

训练1.  ⑴下列图中的角表示方法正确的个数有 (         )

 A．个             B．个            C．个              D．个

⑵把换算成度、分、秒的结果是      ．

⑶用度表示                 ；

⑷计算 ____________.

⑸计算 =         ．

【解析】 ⑴B；⑵；⑶；⑷；⑸ .

训练2.  如图，，OE平分，OF平分，比的4倍少，则         （精确到秒）

【解析】 ．

训练3.  从下午13：00到当天下午13:50，时钟的分针转过的角度为        度．

（西城区期末）

【解析】 300．

训练4.  如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°．

⑴ 图中∠COD的余角是                         ；

⑵ 如果∠COD=，求∠BOD的度数．

【解析】 ⑴，；

⑵解：．

因为是的平分线，所以．

所以．

题型一  余角、补角及角分线的简单运算 巩固练习

【演练1】   如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．

【解析】 设这个角为，则它的补角和余角分别为和，

，所以，

所以这个角的余角的度数为．

【演练2】   如图，为直线上一点，，平分，．

⑴ 请你数一数，图中有多少个小于平角的角；

⑵ 求出的度数；

⑶ 请通过计算说明是否平分．

【解析】 ⑴ 图中共有个小于平角的角；

⑵ ；

⑶，，所以，即平分．

题型二  角度计算中的分类讨论 巩固练习

【演练3】   已知，，求的度数.

【解析】 等于或．

【演练4】   已知：、、是从点引出的三条射线，，，求．

【解析】  注意分情况讨论，容易得到答案：或．

题型三  角的综合应用 巩固练习

【演练5】   如图，OA的方向是北偏东，OB的方向是北偏西，

OD是OB的反向延长线.若OC是的平分线，则的度数为____________，OC的方向是________________.

【解析】       ；北偏东．

【演练6】   钟表在点分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为（     ）

A．60°    B．70°          C．75°       D．85°

（顺义区期末）

【解析】       C．