


初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交
展开
这是一份初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交,共12页。
相交还是… 平面内两条直线的位置关系:平行与相交平行直线: 定义:在同一平面内,永不相交的两条线称为平行线.相交直线: 定义:如果直线与直线只有一个公共点,则称直线与直线相 交,为交点,其中一条是另一条的相交线.相交线的性质:两直线相交只有一个交点.对顶角: 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.我们也可以说,两条直线相交成四个角,其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中,和,和是对顶角.对顶角的一个重要性质是:对顶角相等.邻补角: 两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.如图中,和,和,和,和互为邻补角.注意: 互为邻补角的两个角一定互补,但两个角互补不一定互为邻补角 【引例】 如图所示,与相交所成的四个角中,的邻补角是______,的对顶角是 .若,则_______,______,_______. 【解析】 和,,,,. 【例1】 ⑴ 如图1,直线两两相交,,求的度数.⑵ 如图2,直线、交于点,且,求的度数.⑶ 如图3,直线、、交于点,,,求的对顶角和邻补角的度数.⑷ 如图4,直线、交于,平分,,求的度数.【解析】 ⑴ ∵,,∴,∴,∴;⑵ 由对顶角相等可知,,又,故从而由、互为邻补角可知,;⑶ 由对顶角相等可知,,故.由、互为邻补角可知,由对顶角相等可知,的对顶角;⑷ 由、互为邻补角可知,.又,故,.由对顶角相等可知,.又平分,故,又因为,所以,从而可知,. 【例2】 已知:如图所示,直线、、交于点,,,求的度数. 【解析】 由对顶角相等可知,,设,则,.又,故,,故. 同位角: 两条直线被第三条直线所截,位置相同的一对角(两个角分别在 两条直线的相同一侧,并且在第三条直线的同旁)叫做同位角.如图所示,与,与,与,与都是同位角.内错角: 两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且位置交错,(即分别在第三条直线的两旁),这样的一对角叫做内错角.如图中,与,与都是内错角.同旁内角: 两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线的同旁,这样的一对角叫做同旁内角.如图中,与,与都是同旁内角. 【引例】 下列图形中和是同位角的是( ) A. B. C. D.(海淀区期末)【解析】 B. 【例3】 ⑴ 如图1,①与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角.②与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角.③与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角.④与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角.⑤与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角. (清华附中统练) ⑵ 如图,图中与∠1成同位角的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 ⑴ ①与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角;②与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角;③与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角;④与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角;⑤与是两条直线与被第三条直线所截构成的同旁内角;⑵ B. 【备选】找出图中用数字表示的角中,所有的同位角、内错角和同旁内角,并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的.【解析】 与是直线、被直线所截形成的同位角;与是直线、被直线所截形成的内错角;与是直线、被直线所截形成的同旁内角;与是直线、被直线所截形成的同旁内角;与是直线、被直线所截形成的同旁内角. 【例4】 ⑴ 如图1,找出图中用数字表示的各角中,哪些是同位角,内错角?哪些是同旁内角?⑵ 如图2,找出图中用数字表示的各角中,哪些是同位角,内错角?哪些是同旁内角?⑶ 如图3,找出图中用数字表示的各角中,哪些是同位角,内错角?哪些是同旁内角? 【解析】 ⑴ 图中,与是直线、被直线所截形成的同位角;与是直线、被直线所截成的内错角;与是直线、被直线所截成的同旁内角;⑵ 图中,与是直线、被直线所截形成的内错角;⑶ 图中,与是直线、被直线所截形成的同位角. 【点评】 三线八角的判定技巧:两条直线被第三条直线所截,所形成的三线八角中,究其实质,可简单概括为“、、”型.⑴“”型是找同位角的方法,即:如图,和就是一对同位角,现改变“”的方向,如图 等,各个图中与依然是同位角.⑵“”型是找内错角的方法,如图, 和就是一对内错角,改变“”的方向后,各个图中和还是内错角,如等.⑶“”型是找同旁内角的方法,如图,和就是一对同旁内角,改变“”的方向后,如 等,各个图中,和还是同旁内角.(仅作教学参考) 垂线:垂直是相交的一种特殊情况,两条直线互相垂直,其中一条是另一条直线的垂线,它们的交点为垂足.如图所示,可以记作“于”性质1:在同一平面内,过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直;简单说成:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短;简单说成:垂线段最短.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离. 【引例】 如图,直线与相交于,,,,求和的度数. 【解析】 ∵,,∴(垂直定义).∴(对顶角相等).∵,∴(垂直定义). 【例5】 ⑴ 如图1,已知.,垂足为,则点到直线的距离为线段 的 长;线段的长为点 到直线 的距离. ⑵ 如图2,在直角三角形中,,,,,则 . ⑶ 如图,点P是直线外的一点,点A、B、C在直线上,且,垂足是B,PA⊥PC,则下列不正确的语句是( )A.线段PB的长是点P到直线的距离B.PA、PB、PC三条线段中,PB最短C.线段AC的长是点A到直线PC的距离D.线段PC的长是点C到直线PA的距离 【解析】 ⑴ ,,;⑵;⑶C. 【例6】 已知:如下图、、三点共线,为任意一条射线,平分,平分.求证:. 【解析】 ∵、、三点共线∴∵平分,平分∴,∴ ===又∵∴∴ 【例7】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有几对同位角,几对内错角,几对同旁内角.⑵ 三条平行直线呢? 四条、五条呢?⑶ 你发现了什么规律?【解析】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有对同位角,对内错角,对同旁内角.⑵ 当有条平行线时,有对同位角,对内错角,对同旁内角;当有条平行线时,有对同位角,对内错角,对同旁内角;当有条平行线时,有对同位角,对内错角,对同旁内角.⑶ 当条线彼此平行时,被直线所截,即∥∥…∥,则共有(,)、(,)、(,)、…(,);(,)、(,)、…(,)、…、、共对平行线,每对平行线被所截,产生对同位角,对内错角,对同旁内角,则共有对同位角,对内错角,对同旁内角. 【铺垫】如下图,平行直线、与相交直线、相交,图中的同旁内角共有 对.【解析】 图中有条线段,所以有对同旁内角. 训练1. 下列四个命题:①如果两个角是对顶角,则这两个角相等.②如果两个角相等,则这两个角是对顶角.③如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等.④如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角.其中正确的命题有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】 B. 训练2. 用数码标出图中与是同位角的所有角. 【解析】 如图所示的同位角有,,,,,.【点评】 的两条边所在的直线是、,若把看成是第三条直线,则有:⑴截直线及,得的同位角为;⑵截直线及,得的同位角为;⑶截直线及,得的同位角为;若把看成第三条直线,则有⑷截直线及,得的同位角为;⑸截直线及,得的同位角为;⑹截直线及得的同位角为. 训练3. 若平面上4条直线两两相交,且无三线共点,则一共有_________对同旁内角.【解析】 共有12条线段,有24对同旁内角 训练4. 如图,为直线上的一点,、分别平分、,则图中互余的角有 对. 【解析】 根据题意可得:,,,所以互余的角有对:,,,. 题型一 两线四角 巩固练习【练习1】 ⑴ 下列图中和是对顶角的有( ) A.1对 B.0对 C.2对 D.3对 ⑵ 下列四个图中,与成邻补角的是( )A B C D ⑶如右图所示,直线,相交于点,若,则 _____,____. 【解析】 ⑴B;⑵C;⑶∵,,∴,.【练习2】 已知:如图,、交于点,平分,.⑴ 写出图中所有的对顶角、邻补角;⑵ 求.【解析】 ⑴ 对顶角:与、与邻补角:与、与、与、 与、与、与.⑵ ∵平分(已知),∴(角平分线的定义)∵(已知),∴∵(对顶角相等),∴.【练习3】 如图,已知直线和相交于点,是直角,平分.若,求的度数. 【解析】 ∵是直角,∴. 又∵∴. ∵平分,∴. ∴. ∵,∴.题型二 三线八角 巩固练习 【练习4】 如图,判断下列各对角的位置关系:⑴与;⑵与;⑶与;⑷与;⑸与. 【解析】 与是同位角,与是内错角,与是对顶角,与是同旁内角,与是内错角. 题型三 垂直的定义与表示 巩固练习 【练习5】 如图,直线、相交于点,是的平分线,若 ,.判断把所分成的两个角的 大小关系并证明你的结论. 【解析】 证明:∵是直线上一点,∴,∵,∴.∵平分.∴. ∵,∴∴∴.∴【练习6】 已知:如图、、共线,为任意一条射线,平分,.求证:平分.【解析】 ∵、、共线,∴,∴,又∵平分,∴∴即平分
