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    初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交

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    初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交

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    这是一份初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交,共12页。
                             相交还是       平面内两条直线的位置关系:平行与相交平行直线:  定义:在同一平面内,永不相交的两条线称为平行线相交直线:  定义:如果直线与直线只有一个公共点,则称直线与直线                     交,为交点,其中一条是另一条的相交线.相交线的性质:两直线相交只有一个交点.对顶角:    一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.我们也可以说,两条直线相交成四个角,其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中,是对顶角.对顶角的一个重要性质是对顶角相等.邻补角:    两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.如图中,互为邻补角.注意:      互为邻补角的两个角一定互补,但两个角互补不一定互为邻补角   【引例】       如图所示,相交所成的四个角中,的邻补角是______的对顶角是          .,则____________________ 【解析】         【例1         如图1,直线两两相交,,求的度数 如图2,直线交于点,且,求的度数. 如图3直线交于点,求对顶角和邻补角的度数. 如图4,直线交于平分,求的度数.【解析】       由对顶角相等可知,,又,故从而由互为邻补角可知, 由对顶角相等可知,,故互为邻补角可知,由对顶角相等可知,的对顶角 互为邻补角可知,,故由对顶角相等可知,平分,故又因为,所以,从而可知, 【例2         已知:如图所示,直线交于点,求的度数.  【解析】       由对顶角相等可知,,则,故,故  同位角:    两条直线被第三条直线所截,位置相同的一对角两个角分别在  两条直线的相同一侧,并且在第三条直线的同旁叫做同位角如图所示,都是同位角.内错角:    两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且位置交错,即分别在第三条直线的两旁,这样的一对角叫做内错角如图中,都是内错角.同旁内角:  两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线的同旁,这样的一对角叫做同旁内角如图中,都是同旁内角.   【引例】       下列图形中是同位角的是(            A        B        C        D海淀区期末)【解析】       B    【例3         如图1是两条直线          被第三条直线     所截构成的     角.是两条直线          被第三条直线     所截构成的     角.是两条直线          被第三条直线     所截构成的     角.是两条直线          被第三条直线     所截构成的     角.是两条直线          被第三条直线     所截构成的     角. (清华附中统练)   如图,图中与∠1成同位角的个数是(   A2        B3       C4       D5  【解析】 是两条直线被第三条直线所截构成的同位角;是两条直线被第三条直线所截构成的同位角;是两条直线被第三条直线所截构成的内错角;是两条直线被第三条直线所截构成的内错角;是两条直线被第三条直线所截构成的同旁内角;     B 【备选】找出图中用数字表示的角中,所有的同位角、内错角和同旁内角,并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的.【解析】 是直线被直线所截形成的同位角;是直线被直线所截形成的内错角;是直线被直线所截形成的同旁内角;是直线被直线所截形成的同旁内角;是直线被直线所截形成的同旁内角.  【例4         如图1,找出图中用数字表示的各角中,哪些是同位角,内错角?哪些是同旁内角?如图2,找出图中用数字表示的各角中,哪些是同位角,内错角?哪些是同旁内角?如图3,找图中用数字表示的各角中,哪些是同位角,内错角?哪些是同旁内角? 【解析】       图中,是直线被直线所截形成的同位角;是直线被直线所截成的内错角;是直线被直线所截成的同旁内角;图中,是直线被直线所截形成的内错角; 图中,是直线被直线所截形成的同位角.  【点评】 三线八角的判定技巧:两条直线被第三条直线所截,所形成的三线八角中,究其实质,可简单概括为型.⑴“型是找同位角的方法,即:如图就是一对同位角,现改变的方向,如图    等,各个图中依然是同位角.⑵“型是找内错角的方法,如图就是一对内错角,改变的方向后,各个图中还是内错角,如等.⑶“型是找同旁内角的方法,如图就是一对同旁内角,改变的方向后,如 等,各个图中,还是同旁内角.(仅作教学参考)  垂线:垂直是相交的一种特殊情况,两条直线互相垂直,其中一条另一条直线的垂线,它们的交点垂足.如图所示,可以记作“性质1:在同一平面内,过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直;简单说成:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2:连直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短;简单说成:垂线段最短.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离. 【引例】       如图,直线相交于,求的度数. 【解析】    (垂直定义).(对顶角相等).(垂直定义) 【例5         如图1,已知,垂足为,则点到直线的距离为线段        长;线段的长为点     到直线     的距离.  如图2,在直角三角形中,,则                       如图,点P是直线外的一点,点ABC在直线上,且,垂足是BPAPC,则下列不正确的语句是(  )A.线段PB的长是点P到直线的距离BPAPBPC三条线段中,PB最短C.线段AC的长是点A到直线PC的距离D.线段PC的长是点C到直线PA的距离 【解析】       C 【例6         已知:三点共线,为任意一条射线,平分平分求证: 【解析】       三点共线平分,平分,===    【例7         两条平行直线被第三条直线所截,有几对同位角,几对内错角,几对同旁内角. 三条平行直线呢? 四条、五条呢? 你发现了什么规律【解析】       两条平行直线被第三条直线所截,有对同位角,对内错角,对同旁内角.当有条平行线时,有对同位角,对内错角,对同旁内角;当有条平行线时,有对同位角,对内错角,对同旁内角;当有条平行线时,有对同位角,对内错角,对同旁内角.条线彼此平行时,被直线所截,即∥…∥则共有()()()…()()()…()对平行线,每对平行线被所截,产生对同位角,对内错角,对同旁内角,则共有对同位角,对内错角,对同旁内角. 铺垫如下图,平行直线与相交直线相交,图中的同旁内角共有       .【解析】       图中有条线段,所以有对同旁内角.                  训练1.  下列四个命题:如果两个角是对顶角,则这两个角相等.如果两个角相等,则这两个角是对顶角.如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等.如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角.其中正确的命题有 (    )A1      B2      C3      D4【解析】       B 训练2.  用数码标出图中与是同位角的所有角. 【解析】 如图所示的同位角有【点评】       的两条边所在的直线是,若把看成是第三条直线,则有:截直线,得的同位角为截直线,得的同位角为截直线,得的同位角为若把看成第三条直线,则有截直线,得的同位角为截直线,得的同位角为截直线的同位角为 训练3.  若平面上4条直线两相交,且无三线,则一共有_________对同旁内角.【解析】       共有12条线段,有24对同旁内角 训练4.  如图,为直线上的一点,分别平分,则图中互余的角有      .  【解析】       根据题意可得:所以互余的角有对:   题型一  两线四角 巩固练习【练习1   下列图中是对顶角的有(            A1       B0      C2     D3  下列四个图中,成邻补角的是(    A          B         C           D  图所示,直线相交于点,若,则  _________. 【解析】       BC【练习2   已知:如图,交于点平分 写出图中所有的对顶角、邻补角;⑵ 【解析】 对顶角:邻补角:  平分(已知),(角平分线的定义)(已知),(对顶角相等),【练习3   如图,已知直线相交于点是直角,,求的度数.     【解析】         是直角,平分题型二  三线八角 巩固练习 【练习4   如图,判断下列各对角的位置关系:. 【解析】       是同位角,是内错角,是对顶角,是同旁内角,是内错角 题型三  垂直的定义与表示 巩固练习 【练习5   如图,直线相交于点的平分线,若 判断所分成的两个角的  大小关系并证明你的结论  【解析】       证明:是直线上一点,平分【练习6   已知:如图共线,为任意一条射线,平分,.求证:平分.【解析】       共线,平分平分  

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