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初一数学暑假讲义 第1讲.有理数与数轴.教师版
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这是一份初一数学暑假讲义 第1讲.有理数与数轴.教师版，共12页。
有理数与数轴
1
模块一 有理数基本概念
定 义
示例剖析
正数：像、、等的数，叫做正数．在小学学过的数，除外都是正数．正数都大于．
负数：像、、、等在正数前加上“”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于．
既不是正数，也不是负数．
正数：1，2.5，，……
负数：，，，……
一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“”可以省略，注意与表示是同一个正数．
用正、负数表示相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量．
譬如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
有理数：整数与分数统称有理数．
正整数：1，2，10，……
负整数：，，，……
正分数：，1.5，，……
负分数：，，，……
注：⑴ 正数和零统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数；
⑶ 正整数和零统称为非负整数； ⑷ 负整数和零统称为非正整数．
夯实基础
【例1】 ⑴ 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）
A．节约汽油10升和浪费粮食
B．向东走8公里和向北走8公里
C．收入300元和支出100元
D．身高和身高
⑵ 规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（ ）
A．前进米的意义是后退米
B．万元的意义是亏损万元
C．收入的相反意义是支出
D．后退米的意义是前进米
⑶ 如果零上记作，那么零下记作（ ）
A． B． C． D．
⑷ 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降记作______，水位不升不降时水位变化记作______.
⑸ 甲，乙两地的海拔高度分别为200米，米，那么甲地比乙地高出（ ）．
A．200米 B．50米 C．300米 D．350米
⑹ 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“（）”字样，请问“”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为，， ，，，问抽查产品的容量是否合格？
⑺ 在下表适当的空格里打上“√”号．
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
【解析】 ⑴ C；⑵ B；⑶ C； ⑷ ，0； ⑸ D；
⑹ “”表示每瓶饮料容量最小可以是，最大可以是，抽出的5瓶容量均在与之间，因此合格．
⑺
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
能力提升
【例2】 ⑴ 一种零件的长度在图纸上是米，表示这种零件加工要求最大
不超过 米，最小不小于 米．
（北京师范大学附属实验中学）
⑵ 1是（ ）
A．最小的整数 B．最小的正整数 C．最小的自然数 D．最小的有理数
⑶ ，，，，，，，，，以上各数中
属于负数， 属于非正数， 属于非负有理数.
⑷ 在15，，0.15，，，中，负分数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（人大附中期中）
【解析】 ⑴ 20.05 19.95 ⑵ B ⑶属于负数的有：，，，；属于非正数的有：，，，，；属于非负有理数：6，0，， ⑷ B .
模块二 数轴
定 义
示例剖析
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
⑴ 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．
⑵ 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．
⑶ 数轴的画法
①画一条水平的直线；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
画数轴的常见错误：
没有原点
没有正方向
没有原点
单位长度不统一
没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
注意：数轴上的点不都代表有理数，如．
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
夯实基础
【例3】 ⑴ 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“”连接．
（北京101中学期中）
⑵ 和的大小关系是：____
⑶ 数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．
（北京四中期中）
⑷ 数轴上点对应的数为，那么与相距个单位长度的点所对应的数是_________．
⑸ 数轴上的点、分别表示数和，点是的中点，则点所表示的数是_________．
（人大附中单元测试）
⑹ 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的
整数为 ．
⑺ 在数轴上任取一条长度为的线段，
则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .
【解析】 ⑴ 先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的
数大，故.
⑵ ⑶ ；⑷ 或; ⑸ ; ⑹ ，，1，2; ⑺ 2000
能力提升
【例4】 ⑴在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长
度后到达终点，此时这个点表示的数是（ ）
A．5 B．1 C． D．
⑵ 一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位
长度，则终点表示的数是_________．
⑶ 数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长
度的速度爬行至点后，用秒的时间吃光了点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？点与点的距离是多少个单位长度？点对应的数是多少？
【解析】 ⑴ C；⑵；
⑶ 蚂蚁共爬行12个单位长度；点到点的距离为6个单位长度；点对应的数是5．
【例5】 ⑴ 已知数轴上有A、B两点，它们之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B
所对应的数为 .
⑵ 在数轴上，点和点的距离是点与30所对应点之间的距离的4倍，那么点
表示的数是____________.
⑶ 已知下图中数轴上线段MO(O是原点)的七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两
点对应的数是整数，点M对应的数＞，那么m可以取的不同值有 个，m的最小值为 .
【解析】⑴ 4或2或或.
⑵ N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍.
① 若N点在数0和30之间，设N点到O点的距离为x，则5x=30，x=6.所以N=24.
② 若N点在30右边，设N点到O点的距离为x，那么N点到30所对应的点的距离即为x，O点到30所对应的点的距离为3x，则3x=30，x=10.
所以4x=40.N=40.
N点表示的数是24或40.
⑶ 七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两点对应的数是整数，故可分以下几种情况讨论：
①若点F为整数，则有点A、B、C、D、E均为整数，不符合题意；
②若点E为整数，则有点A和点C都为整数，也不符合题意；
③若点D为整数，则点A为整数，符合题意；
④若点A或点B或点C为整数，则都只有一点为整数，不符合题意.
通过以上的分析，可以发现只有点A和点D对应的数为整数.
由题意得：对应的数为整数的两点为点A和点D，
∴为整数，且和都不为整数，又＞m＞，
解得：或或.
【拓展】如图，已知数轴上、、、四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距1个单位，如果对应的实数为，对应的实数为，且，那么数轴上的原点应该是、、、中的哪一点？
【解析】 从数轴上可以看出：，且，由于，所以，
所以比大5的是原点。
模块三 相反数、倒数
定 义
示例剖析
相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0．
相反数必须成对出现，不能单独存在．
例如：和互为相反数，或者说是的相反数，是的相反数；
例如：与互为相反数，而与虽然符号不同，但它们不是相反数．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．
当时，；当时，；当时，．
例如：3的相反数为
的相反数为
0的相反数为0
互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则；
反之，若，则与互为相反数．
一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
例如：3与互为相反数，则3+=0
多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）
例如：
倒数：乘积为1的两个数互为倒数．，互为倒数，则；反之亦然．
负倒数：乘积为的两个数互为负倒数．若，互为负倒数，则．反之亦然．
例如：，3与互为倒数.
若,则与互为负倒数.
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；
互为倒数的两个数的乘积一定是；0没有倒数；
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.
夯实基础
【例6】 ⑴ 7的相反数（ ）
A． B．7 C． D．
（北京市中考题）
⑵ 下列正确的是（ ）
A．一个数的相反数一定是负数 B．和互为相反数
C．所有的有理数都有相反数 D．和互为相反数
⑶ 如果，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数
① ；② ；③ ；④ ；⑤
⑷ 的倒数是（ ）
A． B． C． D．3
（北京市中考题）
【解析】 ⑴ D ⑵ C
⑶ ① ，正数；②，负数；③ ，负数；
④ ，正数；⑤ ，正数
⑷ 选A
能力提升
【例7】 ⑴ 与 互为相反数；是 的相反数．
⑵ 的相反数是 ；是 的相反数．
⑶
⑷ 与 互为相反数，与 互为相反
数，与 互为相反数．
【解析】 ⑴ ，；⑵ ，；⑶ ；⑷ 5，，
【例8】 ⑴若与互为相反数，则 ．
⑵若、都是有理数，且使得四个两两不相等的数、、、能分成两
组，每组的两个数是互为相反数，则的值等于
【解析】 ⑴；
⑵有两对相反数，初看没法确定4个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于互为相反数的两个数的和为0，所以这4个数的和仍为0，即，得到
【例9】 ⑴已知有理数a、b在数轴上表示如图，现比较a、b、、的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
⑵已知为有理数，且，，，将四个数按由小到大的顺序排列是
【解析】 ⑴C
⑵借助数轴标出的大概位置，知
探索创新
【例10】 探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，……，重复运算下去，就能得到一个固定不变量的数，我们称它为数字“黑洞”，为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘．请问，数字“黑洞” ．
【解析】 从一个具体的数操作，发现规律；
例如选择数字3，进行一次运算后的结果是；
进行第二次运算后的结果是；
进行第三次运算后的结果是；
进行第四次运算后的结果是；
……
所以结果153．
【例11】 电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数.
【解析】.设点表示的有理数为x，则，，…点所表示的有理数分别为，
，，…，由题意得：
，解得.
【例12】 动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点，的速度比是，（速度单位：单位长度/秒）
① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出，两点从原点出发运动3秒时
的位置．
② 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
③ 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点也同时从点位置出发向点运动，当遇到点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向点运动，如此往返，直到追上时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
（北京东城区期末）
【解析】 ①设的速度为单位长度/秒，的速度为单位长度/秒
依题意，
即：的速度为1单位长度/秒，的速度为4单位长度/秒．
3秒时，的位置在，的位置在12．
② 设秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
③ 设秒后追上，依题意，
点从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．
实战演练
知识模块一 有理数基本概念 课后演练
【演练1】 ⑴ 一天早上的气温是，中午上升了，半夜又下降了，那么半夜的气温
是（ ）
A． B． C． D．
（八中期中）
⑵ 如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作 ．
⑶ 下列说法正确的是（ ）
A．有最小的负整数，没有最小的正整数
B．有最小的负数，没有最大的正数
C．有最大的负数，没有最小的正数
D．有最大的负整数，没有最大的正整数
（十一学校期中）
⑷ 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
，3，2.008，，，，0，，3.14．
正有理数数集合：{ }
非负整数集合：{ }
负分数集合：{ }
【解析】 ⑴ A；⑵ 吨；⑶ D；
⑷ 正有理数：3，2.008，，，3.14
非负整数：3，0，；
负分数：，，
【演练2】 检验5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．这5个排球的记数分别为：1号球，+5；2号球，+0.7；3号球，；4号球，；5号球，+2.5．从轻重的角度看，最轻的球是 号球，最接近标准的球是 号球．
（八中期中）
【解析】 4；3.
知识模块二 数轴 课后演练
【演练3】 数轴上，点分别表示和5，则线段的中点所表示的数是
【解析】 1
【演练4】 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示：则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 A
知识模块三 相反数，倒数 课后演练
【演练5】 ⑴ 的相反数是 ，的倒数是 ，的倒数的相反数是 ；
（北京师范大学附属实验中学）
⑵ 的相反数为2，则 ；的相反数
【解析】 ⑴ 6，，；⑵2；
【演练6】 如图所示，若点是有理数在数轴上对应的点，则、、1的大小关系是
【解析】
有理数与数轴
1
模块一 有理数基本概念
定 义
示例剖析
正数：像、、等的数，叫做正数．在小学学过的数，除外都是正数．正数都大于．
负数：像、、、等在正数前加上“”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于．
既不是正数，也不是负数．
正数：1，2.5，，……
负数：，，，……
一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“”可以省略，注意与表示是同一个正数．
用正、负数表示相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量．
譬如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
有理数：整数与分数统称有理数．
正整数：1，2，10，……
负整数：，，，……
正分数：，1.5，，……
负分数：，，，……
注：⑴ 正数和零统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数；
⑶ 正整数和零统称为非负整数； ⑷ 负整数和零统称为非正整数．
夯实基础
【例1】 ⑴ 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）
A．节约汽油10升和浪费粮食
B．向东走8公里和向北走8公里
C．收入300元和支出100元
D．身高和身高
⑵ 规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（ ）
A．前进米的意义是后退米
B．万元的意义是亏损万元
C．收入的相反意义是支出
D．后退米的意义是前进米
⑶ 如果零上记作，那么零下记作（ ）
A． B． C． D．
⑷ 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降记作______，水位不升不降时水位变化记作______.
⑸ 甲，乙两地的海拔高度分别为200米，米，那么甲地比乙地高出（ ）．
A．200米 B．50米 C．300米 D．350米
⑹ 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“（）”字样，请问“”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为，， ，，，问抽查产品的容量是否合格？
⑺ 在下表适当的空格里打上“√”号．
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
【解析】 ⑴ C；⑵ B；⑶ C； ⑷ ，0； ⑸ D；
⑹ “”表示每瓶饮料容量最小可以是，最大可以是，抽出的5瓶容量均在与之间，因此合格．
⑺
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
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能力提升
【例2】 ⑴ 一种零件的长度在图纸上是米，表示这种零件加工要求最大
不超过 米，最小不小于 米．
（北京师范大学附属实验中学）
⑵ 1是（ ）
A．最小的整数 B．最小的正整数 C．最小的自然数 D．最小的有理数
⑶ ，，，，，，，，，以上各数中
属于负数， 属于非正数， 属于非负有理数.
⑷ 在15，，0.15，，，中，负分数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（人大附中期中）
【解析】 ⑴ 20.05 19.95 ⑵ B ⑶属于负数的有：，，，；属于非正数的有：，，，，；属于非负有理数：6，0，， ⑷ B .
模块二 数轴
定 义
示例剖析
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
⑴ 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．
⑵ 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．
⑶ 数轴的画法
①画一条水平的直线；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
画数轴的常见错误：
没有原点
没有正方向
没有原点
单位长度不统一
没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
注意：数轴上的点不都代表有理数，如．
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
夯实基础
【例3】 ⑴ 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“”连接．
（北京101中学期中）
⑵ 和的大小关系是：____
⑶ 数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．
（北京四中期中）
⑷ 数轴上点对应的数为，那么与相距个单位长度的点所对应的数是_________．
⑸ 数轴上的点、分别表示数和，点是的中点，则点所表示的数是_________．
（人大附中单元测试）
⑹ 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的
整数为 ．
⑺ 在数轴上任取一条长度为的线段，
则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .
【解析】 ⑴ 先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的
数大，故.
⑵ ⑶ ；⑷ 或; ⑸ ; ⑹ ，，1，2; ⑺ 2000
能力提升
【例4】 ⑴在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长
度后到达终点，此时这个点表示的数是（ ）
A．5 B．1 C． D．
⑵ 一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位
长度，则终点表示的数是_________．
⑶ 数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长
度的速度爬行至点后，用秒的时间吃光了点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？点与点的距离是多少个单位长度？点对应的数是多少？
【解析】 ⑴ C；⑵；
⑶ 蚂蚁共爬行12个单位长度；点到点的距离为6个单位长度；点对应的数是5．
【例5】 ⑴ 已知数轴上有A、B两点，它们之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B
所对应的数为 .
⑵ 在数轴上，点和点的距离是点与30所对应点之间的距离的4倍，那么点
表示的数是____________.
⑶ 已知下图中数轴上线段MO(O是原点)的七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两
点对应的数是整数，点M对应的数＞，那么m可以取的不同值有 个，m的最小值为 .
【解析】⑴ 4或2或或.
⑵ N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍.
① 若N点在数0和30之间，设N点到O点的距离为x，则5x=30，x=6.所以N=24.
② 若N点在30右边，设N点到O点的距离为x，那么N点到30所对应的点的距离即为x，O点到30所对应的点的距离为3x，则3x=30，x=10.
所以4x=40.N=40.
N点表示的数是24或40.
⑶ 七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两点对应的数是整数，故可分以下几种情况讨论：
①若点F为整数，则有点A、B、C、D、E均为整数，不符合题意；
②若点E为整数，则有点A和点C都为整数，也不符合题意；
③若点D为整数，则点A为整数，符合题意；
④若点A或点B或点C为整数，则都只有一点为整数，不符合题意.
通过以上的分析，可以发现只有点A和点D对应的数为整数.
由题意得：对应的数为整数的两点为点A和点D，
∴为整数，且和都不为整数，又＞m＞，
解得：或或.
【拓展】如图，已知数轴上、、、四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距1个单位，如果对应的实数为，对应的实数为，且，那么数轴上的原点应该是、、、中的哪一点？
【解析】 从数轴上可以看出：，且，由于，所以，
所以比大5的是原点。
模块三 相反数、倒数
定 义
示例剖析
相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0．
相反数必须成对出现，不能单独存在．
例如：和互为相反数，或者说是的相反数，是的相反数；
例如：与互为相反数，而与虽然符号不同，但它们不是相反数．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．
当时，；当时，；当时，．
例如：3的相反数为
的相反数为
0的相反数为0
互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则；
反之，若，则与互为相反数．
一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
例如：3与互为相反数，则3+=0
多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）
例如：
倒数：乘积为1的两个数互为倒数．，互为倒数，则；反之亦然．
负倒数：乘积为的两个数互为负倒数．若，互为负倒数，则．反之亦然．
例如：，3与互为倒数.
若,则与互为负倒数.
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；
互为倒数的两个数的乘积一定是；0没有倒数；
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.
夯实基础
【例6】 ⑴ 7的相反数（ ）
A． B．7 C． D．
（北京市中考题）
⑵ 下列正确的是（ ）
A．一个数的相反数一定是负数 B．和互为相反数
C．所有的有理数都有相反数 D．和互为相反数
⑶ 如果，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数
① ；② ；③ ；④ ；⑤
⑷ 的倒数是（ ）
A． B． C． D．3
（北京市中考题）
【解析】 ⑴ D ⑵ C
⑶ ① ，正数；②，负数；③ ，负数；
④ ，正数；⑤ ，正数
⑷ 选A
能力提升
【例7】 ⑴ 与 互为相反数；是 的相反数．
⑵ 的相反数是 ；是 的相反数．
⑶
⑷ 与 互为相反数，与 互为相反
数，与 互为相反数．
【解析】 ⑴ ，；⑵ ，；⑶ ；⑷ 5，，
【例8】 ⑴若与互为相反数，则 ．
⑵若、都是有理数，且使得四个两两不相等的数、、、能分成两
组，每组的两个数是互为相反数，则的值等于
【解析】 ⑴；
⑵有两对相反数，初看没法确定4个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于互为相反数的两个数的和为0，所以这4个数的和仍为0，即，得到
【例9】 ⑴已知有理数a、b在数轴上表示如图，现比较a、b、、的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
⑵已知为有理数，且，，，将四个数按由小到大的顺序排列是
【解析】 ⑴C
⑵借助数轴标出的大概位置，知
探索创新
【例10】 探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，……，重复运算下去，就能得到一个固定不变量的数，我们称它为数字“黑洞”，为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘．请问，数字“黑洞” ．
【解析】 从一个具体的数操作，发现规律；
例如选择数字3，进行一次运算后的结果是；
进行第二次运算后的结果是；
进行第三次运算后的结果是；
进行第四次运算后的结果是；
……
所以结果153．
【例11】 电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数.
【解析】.设点表示的有理数为x，则，，…点所表示的有理数分别为，
，，…，由题意得：
，解得.
【例12】 动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点，的速度比是，（速度单位：单位长度/秒）
① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出，两点从原点出发运动3秒时
的位置．
② 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
③ 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点也同时从点位置出发向点运动，当遇到点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向点运动，如此往返，直到追上时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
（北京东城区期末）
【解析】 ①设的速度为单位长度/秒，的速度为单位长度/秒
依题意，
即：的速度为1单位长度/秒，的速度为4单位长度/秒．
3秒时，的位置在，的位置在12．
② 设秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
③ 设秒后追上，依题意，
点从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．
实战演练
知识模块一 有理数基本概念 课后演练
【演练1】 ⑴ 一天早上的气温是，中午上升了，半夜又下降了，那么半夜的气温
是（ ）
A． B． C． D．
（八中期中）
⑵ 如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作 ．
⑶ 下列说法正确的是（ ）
A．有最小的负整数，没有最小的正整数
B．有最小的负数，没有最大的正数
C．有最大的负数，没有最小的正数
D．有最大的负整数，没有最大的正整数
（十一学校期中）
⑷ 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
，3，2.008，，，，0，，3.14．
正有理数数集合：{ }
非负整数集合：{ }
负分数集合：{ }
【解析】 ⑴ A；⑵ 吨；⑶ D；
⑷ 正有理数：3，2.008，，，3.14
非负整数：3，0，；
负分数：，，
【演练2】 检验5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．这5个排球的记数分别为：1号球，+5；2号球，+0.7；3号球，；4号球，；5号球，+2.5．从轻重的角度看，最轻的球是 号球，最接近标准的球是 号球．
（八中期中）
【解析】 4；3.
知识模块二 数轴 课后演练
【演练3】 数轴上，点分别表示和5，则线段的中点所表示的数是
【解析】 1
【演练4】 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示：则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 A
知识模块三 相反数，倒数 课后演练
【演练5】 ⑴ 的相反数是 ，的倒数是 ，的倒数的相反数是 ；
（北京师范大学附属实验中学）
⑵ 的相反数为2，则 ；的相反数
【解析】 ⑴ 6，，；⑵2；
【演练6】 如图所示，若点是有理数在数轴上对应的点，则、、1的大小关系是
【解析】
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