初一数学暑假讲义 第2讲.绝对值.教师版

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  定    义示例剖析1．绝对值的几何意义：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作．2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果总是正数或0．③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是．  ，，     3．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质；⑵ ；⑶ ⑷ 若，则；若，则；⑸ ；若，则或  非负数性质：如果若干个非负数之和为0，那么其中的每一个非负数都为0 例如：若，则， 4． 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小．总结：有理数大小的比较 【例1】         ⑴ ①          ；② 绝对值不大于3的整数有         ．⑵ 绝对值大于2而小于5的负整数是          ．⑶ 下列说法正确的是 （     ）符号相反的数互为相反数任何有理数都有倒数最小的自然数是1一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远⑷ 的绝对值为        ，的相反数为        ，的倒数为        ，的负倒数为        ．⑸ 若，和互为倒数，的绝对值为，求代数式的值.【解析】       ⑴ ① ；②，，，；⑵ ，；⑶  D；⑷ ，，，；⑸ 3． 【例2】         ⑴ 已知、为有理数，且，，，则、、、的大小关系是（   ） A．　    B．C．      D．⑵ ，则________；，则________．⑶ 若与互为相反数，则的值为（      ）．A．8       B．         C．         D．7 ⑷方程 的解的个数是（      ）．A．1       B．2         C．3         D．无穷多(5) 求出所有满足条件的非负整数对.(6) 设、同时满足①；②．那么      ． （北京一零一中学期中）【解析】       它本身，它的相反数，0；⑴ 经分析则、、、在数轴上表示如图所示：数轴上右边的数总比左边的数打，所以，选C；⑵ ，，要使，当且仅当且，有，则；变形，根据绝对值的非负性，有，，∴⑶  B⑷  D．(5) 根据题意和两个代数式的值只能在与中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对.(6) 因为，而完全平方式非负，所以，且非负．又因为，所以，观察可知，，所以．  【例3】         ⑴ 已知数、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是            ⑵ 如图，根据数轴上给出的、、的条件，试说明的值与无关.【解析】⑴ ；⑵.  【例4】         ⑴ 已知，试求 的值；⑵ 已知与互为相反数，求 【解析】       ⑴ 易得，；则原式    ．⑵ 因为与互为相反数，所以，从而得到所以原式等于． 【例5】         已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？【解析】      设甲数为x，乙数为y由题意得：， (1) 数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则4y=8，所以y=2，若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则=8，所以，x=6(2) 数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则=8，所以，若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则2y=8，所以y=4，x=12   【例6】         若，则        ．【解析】因为，所以，原式． 【例7】         化简：⑴ ；⑵ ；⑶ 【解析】       零点分段讨论法一般步骤：求零点；分区间；定性质；去符号⑴ 当时，则；当时，则，⑵ 当时，则；当时，则⑶ 先找零点，令，，则，，零点可以将数轴分成三段：若，则，，； 若，则，，；若，则，，． 【拓展】【解析】       当时，则当时，则当时，则当时，则以上各题先求零点． 【例8】         已知是非零有理数，且，求的值．【解析】因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负或者一负二正，分两种情况讨论：⑴如果是一正二负，不妨设，则原式；⑵如果是一负二正，不妨设，则原式；可知原式的值为0 【拓展】已知，且都不等于，求的所有可能值．【答案】或或  【例9】         如果为互不相等的有理数，且，那么等于（  ）A．1       B．2         C．3         D．4【解析】已知，可设，由于，所以与必互为相反数(否则，不合题意)，即.又因为，所以.由于，所以与必相等(否则，不合题意)，即，从而得.因为，所以.因此有.所以.若设，同理可得.答案为C. 【例10】     将1，2，3…100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a，另一个数记为b，代入代数式中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．【解析】先分类讨论去绝对值符号：所以，当50组中的较小的数恰好是1到50时，这50个值的和最小，
最小值为．     
 知识模块一  绝对值的定义  课后演练 【演练1】   ⑴ a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值等于2的数，则           ．（人大附中期中）⑵ 若，则=          ． （东城区期末）⑶ 已知，，则的值为（    ） A．；      B．；+7        C．7     D．（人大附中期中）⑷ 已知，，且，则            ．【解析】       ⑴ 4或0；⑵ 0或6；  ⑶ A ；⑷ 3或13． 【演练2】   若，则；．【解析】  ，． 知识模块二  绝对值代数意义的应用 课后演练 【演练3】   ⑴化简：⑵化简代数式【解析】       ⑴原式⑵当时，原式；当时，原式；当时，原式所以综上讨论，原式 【演练4】   若，求的值．【解析】法1：∵，则原式法2：由，可得，则原式点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．  【演练5】   设为非零实数，且，，．化简．【解析】 ，，；，；，，所以可以得到，，；．  【演练6】   有理数，，，满足，求的值．【解析】       2或