初一数学暑假讲义 第3讲.有理数四则运算.教师版
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定 义 | 示例剖析 | |
有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． |
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有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号； ②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差． | ||
有理数加法的运算技巧： ①分数与小数均有时，应先化为统一形式． ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算． ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零． ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加． ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． ⑥符号相同的数可以先结合在一起． | ||
有理数加法的运算律： ① 两个数相加，交换加数的位置，和不变． ② 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． |
(加法交换律)
(加法结合律) | |
有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． 有理数减法的运算步骤： ①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算． 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果． |
(减法法则)
它的含义是正3，负0．15，负9，正5，负11的和．
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注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式． | ||
【例1】 计算：
⑴ ⑵ ⑶
【解析】 ⑴ ；⑵；⑶ ．
【例2】 计算：
⑴
（人大附中期中）
⑵
⑶
（北京师范大学附属实验）
【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶ ．
【例3】 计算：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶ 1；⑷ ；⑸ 9．
【例4】 计算：
⑴
⑵ [4＋(－)]＋[(－)＋6]
⑶ 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999
⑷
⑸
【解析】 ⑴
⑵
⑶ 添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：
原式 = 20＋200＋2×10＋2×10＋…＋2×10-(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)
= 2222222220-45
= 2222222175．
⑷ 原式
⑸原式
定 义 | 示例剖析 |
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0． 有理数乘法运算律： ①两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． |
(乘法交换律) (乘法结合律) (乘法分配律)
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有理数乘法法则的推广： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．（奇负偶正） ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0． ③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算． | |
在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数． 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0． |
()
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有理数除法的运算步骤： 首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值． |
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【例5】 计算：
⑴ ⑵
【解析】 ⑴ ；⑵ ．
【例6】 计算：
⑴
⑵
⑶
⑷
【解析】 ⑴ 11；⑵ ；⑶ ；⑷ 0
定 义 | 示例剖析 |
有理数混合运算的运算顺序： ⑴ 先乘方（下节课学习），再乘除，最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行； ⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算． 同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的． |
运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”． |
易错点1：注意运算顺序，先乘除后加减，同级的从左到右依次运算，有括号的先算括号里的． 易错点2：如果只有乘除的，先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算． | |
【例7】 计算：
⑴
（北师大附属实验中学期中）
⑵
⑶
（清华附中期中）
【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶
【例8】 计算：⑴
⑵ 2005×－1001×
⑶
【解析】 ⑴
⑵ 原式 = (2004＋1)×－(1002－1)×
= (2003－1001)＋(＋)
=1003．
⑶ 原式
【例9】 从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是 ．
第一组：，，，；
第二组：，；
第三组：，，．
【解析】 所有乘积的总和是：
【例10】 ⑴ 用“＞”或“＜”填空
①如果，那么 0；
②如果，那么 0．
⑵ 如果，，且，试确定、、的符号.
【解析】⑴ ①；②；
⑵ 说明、异号，那么；
又因为，所以；
因为，所以，
进而得，且，
所以，.
【例11】 ⑴ 若，则是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
⑵ 已知有理数两两不等，则中负数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个
⑶ 若，，，是互不相等的整数，且，则的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．无法确定
⑷ 如果4个不同的正整数，，，满足，
那么的值是多少？
【解析】 ⑴ B．由，得，可知、的符号相反或者，故有；
⑵ B．三数乘积为1，则要么为3正，要么为1正2负；分析可知为1正2负．
⑶ A．个数分别是，所以；
⑷ ，
所以这4个数分别为，，，，
所以．
【例12】计算×(0.125＋)．
【解析】设a =，b = 0.125，c =，则
原式= ×(b＋)
=×
= 1．
【点评】此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：
，0.125，，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．
知识模块一 有理数加减法 课后演练
【演练1】 填空：
⑴ ⑵
【解析】 ⑴ ；⑵ ．
【演练2】 ⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
【解析】 ⑴ ；⑵ 0；⑶ 1； ⑷ ；⑸ ；⑹ ．
知识模块二 有理数乘除法 课后演练
【演练3】 ⑴
⑵
⑶
【解析】 ⑴ ；⑵ 2；⑶ ．
【演练4】 计算：⑴
⑵
⑶
【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶
知识模块三 有理数加减乘除混合运算 课后演练
【演练5】 计算：
【解析】
【演练6】 ⑴ 如果，，试确定的符号；
⑵ 已知整数满足，且，那么 ．
【解析】⑴ 说明、异号；说明、异号，所以、同号，所以的符号为正；
⑵ 易知，，，，则
初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版，共7页。
初一数学暑假讲义 第14讲.乘法公式（一）.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第14讲.乘法公式（一）.教师版，共8页。
初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版，共12页。
