初一数学暑假讲义 第5讲.整式的概念及整式的加减.教师版

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  定  义示例剖析代数式的定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． ，，10， 单项式：像，，，，，……，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减的关系，且单项式的分母中不含字母．单独的一个字母或数也叫做单项式，   例如：，是单项式； 不是单项式 单项式的次数：是指单项式中字母的指数和．单独的一个数（零除外），它们的次数规定为零． 单项式，它的指数，是四次单项式． 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．叫做单项式的系数；的系数是．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．与，与， 与易错点：① 单项式的系数包括单项式前面的符号；② 是一个数，不要将它当作字母． 【例1】         指出下列各式，哪些是代数式 ？⑴   ⑵    ⑶     ⑷    ⑸ ⑹    ⑺    ⑻    ⑼ 【解析】       代数式：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑼ 【例2】         写出下列单项式的系数和次数： 单项式系数      次数       【解析】       单项式系数1次数532243 【例3】         ⑴ 单项式的系数是，次数是       ．                                                            （人大附中期中）⑵ 一个单项式：它的系数是，次数是，必须含，两个字母，请写出这样的单项式                         ．（写出一个即可）（北京101中学期中） ⑶ 系数为3，只含字母、，且次数是3的单项式共有（    ）个．A．1     B．2      C．3      D．4（人大附中期中）⑷ 下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（    ）A．与         B．与C．与         D．与                                                        （人大附中期中） ⑸ ①与2000是同类项；②与是同类项；③与是同类项；④与是同类项，上述说法正确的有（    ）A．0个    B．1个   C．2个    D．3个                                                            （人大附中期中）⑹ 写出的一个同类项                                                                  （清华附中期中）⑺ 若与是同类项，那么的值分别是（    ）A．  B．  C．  D．                                                        （三帆中学期中）⑻ 如果与是同类项，则__________                                            （北京师范大学附属实验中学期中）【解析】      ⑴ 6； ⑵等； ⑶ B；⑷ B；⑸ D； ⑹等； ⑺  B；⑻ 1或3． 定    义示例剖析多项式：几个单项式的和叫做多项式．是多项式．多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式中，、1是多项式的项，1是常数项．多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．的次数是二次．次数是四次．多项式的命名：几次几项式．是二次三项式；是四次三项式．整式：单项式和多项式统称为整式．3，，是整式． 把多项式按某个字母升幂、降幂排列升幂排列：降幂排列： 【例4】         ⑴ 多项式是       次四项式，最高次项是           ．                                                            （三帆中学期中） ⑵ 下列判断中正确的是（    ）A．与不是同类项   B．不是整式C．单项式的系数是   D．是二次三项式                                                        （三帆中学期中）⑶ 下列代数式中是五次多项式的是（     ）         A．     B．         C．    D．                                                                     （清华附中期中）【解析】      ⑴ 六，；⑵ C；⑶ A．   【例5】         是      次      项式，把它按字母的降幂排列成_________   ____ _____，排列后的第二项系数是      ，系数最小的项是_________．                                                            （人大附中期中）【解析】      六，四，，， 【例6】         在多项式（其中，为正整数）中，恰有两项是同类项，则        【解析】      若与是同类项，则，，与已知条件矛盾．故只有与为同类项，于是，且，解得，，于是   合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变．去括号与添括号：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是正号，括号里的各项均不变号，添括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是正号，括号里的各项均不变号．   【例7】         ⑴ 下列各式正确的是（    ）A．      B．     C．   D．                                                         （人大附中期中）⑵ 下列计算正确的是（       ）           A．         B．     C．      D．                                                                     （清华附中期中）⑶ 下列式子中去括号错误的是（      ）   A．    B．    C．    D．                                                                     (人大附中期中)⑷ 多项式（                    ）．                                                             （北京五中期中）【解析】      ⑴ D ；⑵ D； ⑶ C；⑷   【例8】         化简下列各式：        ⑴ ⑵                                                             （人大附中期中）        ⑶ 计算：设、、，则      ．                                                                 （人大附中期中）【解析】      ⑴ ；⑵； ⑶  【附加】若，．求：⑴ ；⑵ ．【解析】       ⑴ ⑵   【例9】         若关于、的多项式合并同类项后得到一个四次三项式，求、的值（所有指数均为正整数）【解析】      ∵x、y的多项式xm-1y3+x3-my|n-2|+xm-1y+x2m-3y|n|+m+n-1 合并同类项后得到一个四次三项式，
      ∴m-1=1，解得：m=2，
      多项式变为：xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1，
      ①当|n|=1，
      n=1时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+3xy+2，符合题意；
      n=-1时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy3+xy+xy=2xy3+2xy，不符合题意；
      ②当|n|=3，
      n=3时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy+xy+xy3+3+1=2xy3+2xy+4，符合题意；
      n=-3时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=2xy3+xy5+xy-2，不符合题意．
      故m=2，n=1或3 【附加】⑴ 当时，多项式的值等于0，此时多项式的值等于   ⑵ 三个有理数，，，其积是负数，其和是正数，当时，则代数式的值是          【解析】      ⑴ 由条件知，即，所以⑵ 由于，，三数的积是负数，所以要么是三个负数，要么是一负二正；若三个都是负数，它们的和不可能是正数，所以只能是一负二正．不妨设，，，则．将代入代数式求值，得 【附加】化简求值:        ⑴ 先化简，再求值:，其中．                                                              （人大附中期中）        ⑵ 求的值，其中，．⑶ 有这样一道题：“已知，，，当，，时，求的值”．有一个学生指出，题目中给出的，是多余的．他的说法有没有道理？为什么？⑷ 已知多项式和的差的值与字母的取值无关，求代数式的值．【解析】      ⑴ 化简为；⑵ 原式；⑶ 有道理，，因为，所以．⑷ 由于两个多项式的差的值与字母的取值无关，所以这两个多项式含的项的系数相同，即，；原式当，时，上式的值为：  【附加】先化简，再求值：已知，求的值．                                                 （北京师范大学附属实验中学期中）【解析】      易知，，原式．       
 知识模块一   单项式相关概念   课后演练 【演练1】   找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ；   ；   ；   ；   ；   ；   【解析】       ，，，，是单项式．的系数是，次数是3；的系数是，次数是1；的系数是（注意有些学校要求写成），次数是7；的系数是，次数是6；的系数为，次数为1． 【演练2】   ⑴ 的同类项是（      ）．A．      B．      C．        D．⑵ 已知和是同类项，则式子的值是（      ）A．         B．         C．         D．⑶ 若与是同类项，求的值．⑷ 如果与是同类项，且与互为负倒数，求，值．【解析】       ⑴ C；⑵ A；⑶，，；⑷，． 知识模块二   多项式相关概念    课后演练 【演练3】   ⑴ 现有五种说法：①表示负数；②若，则；③绝对值最小的有理数是0；④是5次单项式；⑤是多项式．其中正确的是（    ）A．①②       B．②③    C．③⑤    D．④⑤                                       （北京师范大学附属实验中学期中）⑵  把下列多项式按降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项：①        ② 【解析】       ⑴ C； ⑵ ① ，四次四项式，；② ，四次五项式， 知识模块三 整式加减  课后演练 【演练4】   ⑴ 一个多项式减去等于，这个多项式是（    ）A．          B．      C．          D．                                                         （三帆中学期中）⑵ 下列去括号错误的是 （    ）A．    B．C．    D．                                                               （北京五中期中）【解析】       ⑴ A；⑵ C 【演练5】   已知，，，且，求．【解析】       因为，所以 【演练6】   如果与是同类项，那么代数式的值等于        【解析】       因为与是同类项，所以，；而，当，时，原式的值为：