初一数学暑假讲义 第6讲.整式的乘除.教师版
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基础知识 | 示例剖析 |
同底数幂的乘法：，（，都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 同底数幂的除法：，（，都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相减． | 例如： |
幂的乘方：，（，都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘． | 例如： |
积的乘方：，（为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． | 例如： |
规定：（），即任何数的0次幂都等于1（0除外） | |
【例1】 ⑴ 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
⑶ 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
⑷ 下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】⑴ B；⑵ D；⑶ D；⑷ C
【例2】 速算比赛：
A组：⑴；⑵；⑶；⑷，其中，
B组：⑴； ⑵；
⑶； ⑷
【解析】A组：⑴；⑵；⑶；⑷；
B组：⑴解法一：；解法二：；
⑵；
⑶；
⑷；
【例3】 ⑴ 已知，，求的值．
⑵ 若，，则等于 ( ).
A． B．6 C．21 D．20
⑶ 若，求.
⑷ 已知：，，求．
【解析】⑴ ．
⑵ A
⑶ 由题意知，则；
⑷ 法1：；
法2：.
【拓展】已知，求．
【解析】，即，，．
【例4】 已知有理数，，满足，
求的值．
【解析】由题意得，解方程组得，
代入所求代数式得：．
定 义 | 示例剖析 |
单项式与单项式相乘：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂（同底数幂）分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． | 例如： |
单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，把单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. | |
多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． |
【例5】 计算：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
【解析】⑴ ；⑵ ；⑶ ；
⑷ ；⑸ ；⑹
【例6】 ⑴ 若，则 ，
⑵ 计算：
⑶ 计算：
【解析】⑴ ，；
⑵ 原式
⑶ 原式
．
【巩固】 计算：．
【解析】原式
【例7】 使的积中不含和，求，的值.
【解析】将原式展开得，
因为积中不含和，所以，解得.
【巩固】已知与的积不含的项，也不含的项，试求与的值．
【解析】有，解得.
单项式除以单项式:把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． | 例如： |
多项式除以单项式:多项式中的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． | 例如： |
多项式除以多项式：大除法 |
|
【例8】 ⑴ 计算的最终结果为（ ）
A． B． C． D．
⑵ 计算：
⑶ 计算：
⑷ 计算： ；
⑸ 等于( ).
A． B．
C． D．
【解析】⑴ B；⑵ 原式；
⑶ 原式；⑷ ；⑸ A
【例9】 ⑴ 计算： ；
⑵ 计算： ．
【解析】⑴ ；
⑵ 用竖式除法，商式为，余式为0．
【巩固】计算：
【解析】
所以，商式为，余式为．
【例10】 一个长方形的面积为，它的一条边长为，则它的周长为 ．
【解析】，可知长方形的另一条边长为，
那么它的周长是．
【例11】 ⑴ 计算：；
⑵ 计算：．
【解析】⑴ 原式
；
在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算．
实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，通过约分，可更容易地解决问题．其解如下：
原式．
⑵ 原式
【例12】 已知，则
【解析】 （法1）将等式右边展开得；
所以，，，；
则
（法2）等式两边取，得到，所以
【附加】设多项式，
已知当时，；
当时，．
当时，求的值．
【解析】 由于当时，；可知；
当时，；可知，则，
；
那么，当时，
知识模块一 幂的运算 课后演练
【演练1】 ⑴ 下列算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
⑵ 下列各式中计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ⑴ C；⑵ D
【演练2】 已知，，求的值．
【解析】
知识模块二 整式的乘法 课后演练
【演练3】 计算：⑴
⑵
⑶
【解析】⑴ ；⑵ ；⑶
【演练4】 计算：
【解析】原式．
知识模块三 整式的除法 课后演练
【演练5】 ⑴ 计算的结果是( ).
A. B. C. D.
⑵ 当时，代数式的值是（ ）.
A. B. C. D.
【解析】 ⑴ C; ⑵
【演练6】 先化简，再求值：，其中．
【解析】原式
当时，原式
初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版，共7页。
初一数学暑假讲义 第14讲.乘法公式（一）.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第14讲.乘法公式（一）.教师版，共8页。
初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版，共12页。
