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初一数学暑假讲义第9讲.不等式和不等式组.教师版

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这是一份初一数学暑假讲义第9讲.不等式和不等式组.教师版，共10页。

定义	示例剖析
不等式的概念：用不等号连接的式子叫不等式．不等号包括：“”、“”、“”、“”、“”．	，，，，，等
基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．	若，则若，则
基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．	若，且，则或若，且，则或
基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．	若，且，则或若，且，则或
不等式具有互逆性	若，则；若，则．
不等式具有传递性	若，，则．
注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向． ⑵ 在不等式两边都乘以０，不等式变为等式. 以不等式为例，在不等式两边都乘同一个数时，有下面三种情形： ① 如果，那么； ② 如果时，那么； ③ 如果时，那么．

不等式的性质与等式性质的对比：

等式的性质	不等式的性质
两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式.	两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变.
两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是０），所得结果，仍是等式．	两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是０），所得结果，仍是等式．	两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不能除以０.	在不等式两边都乘以０，不等式变为等式.

【例1】 ⑴ 用不等式表示数量的不等关系．

① 是正数 ② 是非负数

③ 不比0大 ④ 与的差是负数

⑤ 的相反数不大于1 ⑥ 的相反数与的一半的差不是正数

⑵ 例：如果，则，

是根据不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；

① 如果，

则，是根据；

② 如果，

则，是根据；

③ 如果，

则，是根据；

④ 如果，

则，是根据．

【解析】 ⑴ ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； ⑥ ；

⑵ ① 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；

② 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；

③ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；

④ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．

【例2】 ⑴ 设，，都是实数，且满足：用去乘不等式的两边，不等号方向不变；用去

除不等式的两边，不等号方向改变；用去乘不等式的两边，不等号要变成等号．

则、、的大小关系是（）

A． B． C． D．

⑵ 如果，则下列各式不成立的是（）

A. B. C. D.

（北京五中期中）

⑶ 若，则下列不等式成立的是（）

A． B． C． D．

（北京师范大学附属实验中学期中）

【解析】 ⑴ 根据题意可得、、，所以选择B；

⑵ D；

⑶ A. 其中B选项中的值不确定，当时，；当时，；当时，. C选项中当时成立，当时不成立；D选项中应为.

【巩固】根据，则下面哪个不等式不一定成立（）

A． B． C． D．

【解析】 C，正确应为．

定义	示例剖析
一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.	，，
一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式（其中）.	，等都是一元一次不等式的标准形式
不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．	，，，，都是不等式的解，当然它的解还有许多．
不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．	是的解集；是的解集
解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成或形式）→系数化为（化成或的形式）．
不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．

在数轴上表示不等式的解集（示意图）：

不等式的解集	在数轴上表示的示意图	不等式的解集	在数轴上表示的示意图

【例3】 ⑴ 下列说法中，正确的是（　　）

A．是不等式的解　　　　　　 B．是不等式的唯一解

C．不是不等式的解　　　　　 D．是不等式的解集

⑵ 利用数轴表示下面未知数的取值范围：

① ② ③

⑶ 求不等式的所有整数解的和．

⑷ 如下图，天平右盘中的每个砝码的质量都是，则物体的质量的取值范围，

在数轴上可表示为（）

（北京二中期中）

【解析】 ⑴ A；

⑵ 需要注意地方：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空

心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值．

⑶ 不等式的所有整数解为、、、、，故所有整数解的和为；

⑷ A.

【例4】 ⑴ 不等式的解集是__________．

（北京中考）

⑵ 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

（北京中考）

⑶ 解不等式．

【解析】 ⑴ ；

⑵ 解：去括号，得．

移项，得．

合并，得．

系数化为1，得．

不等式的解集在数轴上表示如下：

⑶ ；

【例5】 ⑴ 不等式的正整数解是．

（人大附中期中）

⑵ 解不等式，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．

（北京五中期中）

【解析】 ⑴ 1，2，3；

⑵ ，正整数解1，2.

【巩固】求不等式的非负整数解．

【解析】解不等式得，所以其非负整数解为0，1，2．

【例6】 ⑴ 当为何值时，代数式的值总不大于的值．

⑵ 当取何值时，代数式的值大于的相反数．

【解析】 ⑴ 根据题意，列不等式得：，解得：；

⑵ 由题意可列不等式为：，解得

【点评】本题要求自己根据题意列出不等式，进而求解

【拓展】为何正整数时，关于的方程的解是非负数？

【解析】解方程得，根据题意：得，∴，解得．满足题意的正整数的值是1，2，3．

定义		示例剖析
一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．		和都是一元一次不等式组；不是一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．
解一元一次不等式组的步骤： ⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集； ⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中）
不等式	图示		解集
			（同大取大）
			（同小取小）
			（大小交叉中间找）
			无解（大大小小无解了）

【例7】 ⑴ 不等式组的解集是（　　）.

A. B. C. D.

⑵ 将不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（）

A B

C D

（北京五中期中）

【解析】 ⑴ D；

⑵ C．

【例8】解不等式组：⑴

⑵

（人大附中期中）

【解析】 ⑴ ；

⑵ ．

【例9】已知，

求的最大值和最小值．

【解析】根据绝对值的几何意义的相关结论，可知：

的最小值为3（当时取得最小值）；

的最小值为4（当时取得最小值）；

所以；

而根据题意，，

所以、及均取最小值，

则：；

于是，，

因此的最大值为15，最小值为．

【例10】已知满足不等式，并且的最大值为，最小值为，求之值．

【解析】解不等式，得；

根据绝对值的相关知识，可知当时，最大值为（当时取得），最小值为（当时取得），

所以，，

知识模块一不等式的定义和性质课后演练

【演练1】 ⑴ 利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．

① 若，则_______； ② 若，则______；

③ 若，，则______；

④ 若，，，则_______．

⑵ 如果，则下列哪个不等式是正确的（）

A． B． C． D．

⑶ 用不等式表示：

① 的与的差是负数（）

A． B． C． D．

（北京师范大学附属实验中学期中）

② 与的和的不大于．

【解析】 ⑴ ① ；② ；③ ；④ ；

⑵ D； ⑶ ① C；② ．

知识模块二一元一次不等式课后演练

【演练2】 ⑴ 不等式的解集是．

⑵ 使不等式成立的值中最大的整数是（）

A．0 B． C． D．2

（北京五中期中）

⑶ 不等式的所有正整数解的和是_______.

【解析】 ⑴ ；

⑵ B；

⑶ 3；

【演练3】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．

⑴ ⑵

【解析】 ⑴ ，图略；

⑵ ，图略．

知识模块三一元一次不等式组课后演练

【演练4】 ⑴ 不等式组的解集是．

⑵ 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【解析】 ⑴ ；

⑵ ，图略．

【演练5】解下列不等式组：

⑴

（北京市西城区期末）

⑵ 不等式组的整数解是．

【解析】 ⑴ ；

⑵ 不等式组的解集为：，整数解为.

【演练6】已知，求的最大值与最小值．

【解析】等式可化为：；

由绝对的几何意义知：当且时，上式成立，

所以当，时，取最大值6；

当，时，取最小值．