初一数学暑假讲义 第10讲.含字母系数的方程和不等式.教师版

【例1】        ⑴ 已知方程的解为，则        ；

⑵ 已知是方程的解，则        ．

【解析】⑴ 根据方程解的意义，把代入原方程，得，解这个关于的方程，得．

⑵ 根据题意可得，，则．

【例2】         如果与互为相反数，且满足方程，求的值．

【解析】       ，.

【拓展】若是方程的解，求代数式的值．

【解析】将代入方程，

  得，解得．

  化简代数式：

  原式

  当时，原式．

【例3】         ⑴ 当        ，        时，方程有唯一解；

当        ，        时，方程无解；

当        ，        时，方程有无穷多个解．

⑵ 解关于的方程．

【解析】       ⑴ 为任意数；；.

⑵ 去分母，化简可得：

当时，方程的解为；

当，时，解为任意值；

       当，时，方程无解．

【例4】        ⑴ 已知关于的方程有无穷多个解，那么        ，

        ；

⑵ 已知关于的方程有无穷多个解，求与的值．

【解析】⑴ ，即，

故且，即，；

⑵ 方程可以化为：，

因为方程有无数多个解，所以，解得：，．

【巩固】已知：关于的方程有无穷多个解，

试求的解.

【解析】       原方程整理为，因为当且该方程有无数多组解，

所以，

把代入得，

解得.

【例5】        已知关于的方程无解，试求的值．

【解析】由题意得：，故且，即时方程无解．

【例6】        ⑴ 若，为定值，关于的一元一次方程，无论为何值时，

它的解总是，求和的值．

⑵ 如果不论为何值，总是关于的方程的解，

则        ，        ．

【解析】⑴ 因为该方程的解为，代入原方程可得到：，即①，

又因为原方程的解不论取何值时都是，这说明方程①有无数多个解，

即且，所以，．

⑵ 原方程整理为以为未知数的方程．

对于任何实数的方程有，所以有，求得，．

【例7】         已知：与都是关于的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于的方程的解．

（人大附中期中练习）

【解析】       由题意可知，，故题中的两个方程变为和，

由上述两个方程的解互为相反数可知，，

故方程变为，从而可知，或．

【例8】         解关于的不等式：

⑴

⑵

⑶

⑷

【解析】       ⑴ 移项得：

当时，解集为

当时，解集为

当时，不等式变为，故不等式无解

⑵ 移项，合并同类项得：

当，即时，不等式解集为

当，即时，不等式解集为

当时，即时，不等式变为，故不等式解集为任意数.

⑶ 不等式变形得：，因不知的正负性，故分类讨论

①当，即时，解集为

②当，即时，解集为

③当，即时，不等式无解.

⑷ ∵，∴不等式解集为

【例9】         ⑴ 已知关于的不等式的解集是，求的值．

⑵ 已知关于的不等式的解集是，那么的值是多少？

【解析】⑴ 解这个不等式：

∵解集是，∴，解得．

⑵ 由得，

要使其解集为，则且，即

【巩固】当时，不等式的解集是，则       

（重庆市竞赛题）

【解析】      

【例10】     ⑴ 已知是关于的不等式的解，求的取值范围．

⑵ 已知关于的不等式的解集是，求的取值范围．

【解析】⑴ 将代入不等式，得．解这个不等式，得．

⑵ ∵

∴

∵最终的解集为，

∴，

∴．

【例11】     已知，求关于的不等式的解集．

【解析】由解得，故有，

所以解关于的不等式可得．

【例12】     已知关于的不等式的解是．求的解集．

【解析】根据题意有且，可得，，所以的解集为．

【巩固】已知、为实数，若不等式的解集为，

求不等式的解集．

【解析】由不等式得，

因为它的解集为，所以有，且，

可得：且，

把代入＞0得＞，

由＜0，得解集为 ．

知识模块一  含字母系数的一元一次方程  课后演练

【演练1】   已知关于的方程的解为，

求代数式的值．

【解析】方程的解为，则有，求得，

  ．

【演练2】   ⑴ 已知关于的方程无解，那么      ，      ；

⑵ 如果关于的方程有无穷多个解，求值．

【解析】       ⑴ ，即，故且，

即，

⑵ 原方程整理得，由方程有无数个解得，．

【演练3】   若、为定值，关于的一元一次方程，无论为何值时，

它的解总是，求的值．

【解析】方程可化为：，由该方程总有解可知

  ，即，又值为任意，故，．

知识模块二  含字母系数的一元一次不等式 课后演练

【演练4】   ⑴ 解关于的不等式：；

⑵ 解关于的不等式：＜；

⑶ 解关于的不等式：．

【解析】⑴ 去分母，得

移项，合并同类项得

∴

⑵ 由原不等式，得：＜

当，即时，其解集为

当，即时，其解集为

当，即时，

若，即，解集为所有数；若，即，原不等式无解．

⑶ 由不等式得

若，则；

若，即，原不等式可变形为：恒成立，所以可取任意数；

若，则．

【演练5】   ⑴ 若不等式的解集是，则的取值范围是______．

⑵ 已知、为常数，若的解集为，则的解集是（     ）

A.         B.         C.         D.

【解析】⑴ ；⑵ B

【演练6】   已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集．

【解析】原不等式可化为．由于它的解集是，

∴，化简②，得，代入①，解得．

所以不等式的解集为，即．