初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版

直线、射线、线段的主要区别：

【例1】         ⑴ 下面说法中错误的是（     ）

A．直线和直线是同一条直线

B．射线和射线是同一条射线

C．线段和线段是同一条线段

D．把线段向两端无限延伸便得到直线

⑵ 下列叙述正确的是（     ）

A．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线

B．笔直的公路是一条直线

C．点一定在直线上

D．过点、可以画两条不同的直线，分别为直线和直线

⑶ 根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（     ）

【解析】       ⑴ B； ⑵C； ⑶B

【例2】         ⑴ 下列说法中，正确的是（     ）

A．两点之间的连线中，直线最短        B．若点是线段的中点，则

C．若，则点是线段的中点  D．两点之间的线段叫做这两点的距离

⑵ 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（     ）

A．两点之间，射线最短         B．两点确定一条直线

C．两点之间，线段最短        D．两点之间，直线最短

                                                             （海淀区期末）

⑶ 手枪上瞄准系统设计的数学道理是                          ．

⑷ 如图所示，填写空格：，

，．

        ⑸ 补全下面解题过程.

已知：如图，、是线段上两点，是的中点，，，

求线段 的长.．

∵，，（已知）

∴.

∵是的中点，（已知）

∴    ，（线段中点的定义）

      .

∴               .

⑹ 延长线段到，使，反向延长线段到，使，

若，求．

【解析】       ⑴ B； ⑵ C； ⑶ 两点确定一条直线；

⑷ ，．

⑸  2，4，，6

⑹ 此题培养学生根据题意画图解题的能力，易得．

【例3】         如图，，，，为4个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由．

【解析】       该建在，的交点上，如图所示．首先我们使购物中心到和的距离之和最小，那么购物中心就应该建在线段的某点处．这是因为如果点不在上，根据两点之间，线段最短，可以知道．同时我们也能看出，购物中心建在线段上的任意一点，都可以保证购物中心到，距离之和最小．同理，购物中心若到，之和距离最小，也必须建在线段上，这样购物中心就必须建在，的交点上．

【例4】         在右图中，按要求画图并填空：

如图，已知三角形及点，

⑴ 做直线；

⑵ 延长到，使得，连接；

⑶ 做射线.                     

（朝阳区期末）

【解析】⑴⑵⑶ 如图.

【例5】         ⑴ 如图，已知是线段上的两点，是的中点，是的中点，

若，，求线段的长.

⑵ 如图，已知是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，为 的中点，为的中点，求的值.

【解析】⑴ ，；

⑵ 设，，则，，

故

【附加】如图，已知线段上依次有三个点,,把线段分成四个部分，,,,分别是,,,的中点，若，求的长度.

【解析】根据题意可设

【例6】         ⑴ 判断：已知，，三点在同一条直线上，，那么是的中点．

⑵ 点A、B、C是同一直线上的三个点，若，，则AC的长度

为          .

⑶ 已知A、B、C三点在同一条直线上，若，点平分线段，，求的长.

【解析】⑴ 错误，几何中的题目如果无图，要特别注意读准题意，适时分类求解．

如下图⑴，⑵，均满足题意．

⑵ 11cm或5cm.

⑶ 情况1：如图⑴，；

情况2：如图⑵，设

【附加】已知：，，，四点共线，若，，，

画出图形，求长.

【解析】根据，，，四点共线，，，(先取前两个重要条件画图分析)可得下面两种情况(画图)：

情况1               情况2

再参看条件，

对于第一种情况可以得到下面两种可能：

                             ⑴                           ⑵

对于第二种情况可以得到下面两种可能：

                       ⑶                                 ⑷

所以共有四种可能：

如图⑴；  如图⑵；

如图⑶； 如图⑷.

【例7】         ⑴ 把换算成度、分、秒的结果；

⑵   ；  ⑶ ；

⑷ ；  ⑸ ；

⑹ ；   ⑺ ．

【解析】       ⑴ 首先在第一个空上填上，然后计算，，

⑵

⑶ 这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，，，

，．

⑷ ；

⑸ .

⑹ ；⑺ .

【巩固】计算：.

（海淀区期末）

【解析】       .

【例8】         ⑴ 在左下图中，角的表示方法正确的是（    ）

A．       B．       C．    D．    

⑵ 如右上图，将一副三角板的直角顶点重合，可得，

理由是等角（或同角）的                 ；若=，则=           º.

⑶ 如图，是直线上的一点，，，平分，

则图中彼此互补的角共有__________对；

第⑶题                          第⑷题

⑷ 如图，于，，平分，则图中与互余的角

有_________个；互补的角有_________对．

【解析】       ⑴ B； ⑵ 余角相等，130；

⑶ 根据题意可得：，

，互补的角只满足和为这个数量关系即可，与位置无关．所以共有6对：

与，与，与，

与，与，与．

⑷ 由题意可知，所以与互余的角必与相等。

由题中条件可知=，所以余角有3个；

的补角为所以与互补的角必与相等。

【例9】         ⑴ 一个角的补角比它的余角的4倍少15°，则这个角的度数为        °．

⑵       如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，

求这个角的余角度数．

【解析】⑴ 55；

⑵ 设这个角为，则它的补角和余角分别为和，

，所以，

所以这个角的余角的度数为

【附加】已知的余角是的补角的，并且，试求的度数．

【解析】       根据题意可得：，，且，

．

【例10】     如图，点B为射线OA上一点.

① 在OA的上方，画，画；

② 画出的平分线OE，交射线BD于点P．测量点O、P之间的距离（精确到1cm）．

（西城区期末）

【解析】       画，；

画的平分线OE，交射线BD于点P；

量得．

【例11】     ⑴ 如图所示，，是内部的任意一条射线，若平分，

平分，试求的度数．

⑵ 如图，平分，平分，若，，

求的小．

⑶ 如图，是直角，，且分别是、的平分

线，求的大小.

【解析】⑴ 因为是的平分线，所以，

同理可得；

所以

；

⑵ ；

⑶ ；

【例12】     、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求的值．

【解析】根据题意可知：

所以是正确答案，

【附加】平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?

【解析】       如图⑴，第一种情况，当四点在同一条直线上的时候，显然只能画一条直线．

如图⑵，第二种情况，当三点在同一条直线上的时候，而另一点却不在这条直线上，则可以画四条直线．

如图⑶，第三种情况，当任何三点不共线的时候，可以画六条直线．

知识模块一  线  课后演练

【演练1】   ⑴ 如图，下列说法中不正确的是(     )

A．直线经过点

B．射线与直线有公共点

C．点在直线上

D．直线与线段相交于点

⑵ 下列叙述正确的是(     )

A．可以画一条长的直线 

B．一根拉紧的线是一条直线

C．直线AB经过C点

D．直线AB与直线BA是不同的直线

⑶ 下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是(     )

【解析】⑴C； ⑵C； ⑶C

【演练2】   ⑴ 如图，在一条直线上顺序排列着、，三个点，

并且量得，，已知、分别是线

段、的中点，那么线段的长度是（    ）

A.         B.         C.      D.

                                                     （东城区期末）

⑵ 若线段，点C是线段AB的中点，点D是直线AB上的一点，且，则线段CD的长是          ．

【解析】       ⑴ C； ⑵ 或

【演练3】   如图，已知，在直线的两侧，在上找一点，使最小．

【解析】       如图，连接，与的交点即为所求的点，利用“两点之间线段最短”，不妨在其他处取一点，显然．

知识模块二  角 课后演练

【演练4】   ⑴ 如果两个等角互余，那么其中一个角的度数为（    ）

A．     B．     C．     D．不确定

（海淀区期末）

⑵

⑶

【解析】       ⑴ B； ⑵ ； ⑶

【演练5】   ⑴ 一个角与角之和的等于角的余角，求．

⑵ 一个角的余角的倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数．

【解析】⑴ ，．

⑵ 设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，

由题意，得：，解得：．

【演练6】   ⑴ 如图：是直角的角平分线，是的角平分线，

若，求的度数．

⑵ 如图，直线，相交于点，作，平分，

若，求．

【解析】       ⑴ ．

⑵ ，．