初一数学暑假讲义 第12讲.相交线与平行线(一).教师版

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相交线与平行线(一)



模块一 相交线



定 义
示例剖析
相交直线：如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线．
相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
对顶角的一个重要性质是：对顶角相等.

如图中，和， 和，和，和互为邻补角.
互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角.
邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.
垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“于”
性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
简单说成：垂线段最短．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．



同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角；


如图所示，与，与，与，与都是同位角；
与，与都是内错角；
与，与都是同旁内角
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角；


同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角
注意：互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角
夯实基础

【例1】 如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是______，的对顶角是______.
若，则_______，______，_______．

【解析】 和，，，，．

【例2】 ⑴ 如图1，直线两两相交，，求的度数．
⑵ 如图2，直线、交于点，且，求的度数．
⑶ 如图3，直线、、交于点，，，求的
对顶角和邻补角的度数．
⑷ 如图4，直线、交于，平分，，求
的度数．

【解析】 ⑴ ∵，，∴，∴，
∴；
⑵ 由对顶角相等可知，，又，故
从而由、互为邻补角可知，；
⑶ 由对顶角相等可知，，故．
由、互为邻补角可知，
由对顶角相等可知，的对顶角；
⑷ 由、互为邻补角可知，．
又，故，．
由对顶角相等可知，．
又平分，故，
又因为,所以,
从而可知，．

能力提升

【例3】 已知：如图所示，直线、、交于点，，，求的度数．

【解析】 由对顶角相等可知，，
设，则，．
又，故，，故．

【巩固】如图，、、交于点，，，
求的对顶角和邻补角的度数．

【解析】由对顶角相等可知，，故．
由、互为邻补角可知，
由对顶角相等可知，的对顶角．

【例4】 ⑴ 如图，已知及点，分别画出点到射线、的垂线段、．

⑵ 如图1，已知．，垂足为，则点到直线的距离
为线段 的长；线段的长为点 到直线 的距离．

⑶ 如图2，在直角三角形中，，，，，则
．

⑷ 如图，在直角三有形中，，于，
比较线段、、的大小．

【解析】 ⑴ 如下图：

⑵ ，，； ⑶ ；
⑷ 由可知，，故（垂线段最短）又，
故（垂线段最短），故．

【备选】已知：、、三点共线，为任意一条射线，平分，平分．
求证：．
【解析】 ∵、、三点共线
∴
∵平分,平分
∴,
∴
===
又∵
∴
∴



夯实基础


【例5】 ⑴ 如图1：
①与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．
②与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．
③与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．
④与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．
⑤与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．
（清华附中统练）

⑵ 如图，图中与∠1成同位角的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 ⑴ ①与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；
②与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；
③与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角；
④与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角；
⑤与是两条直线与被第三条直线所截构成的同旁内角；
⑵ B．






【例6】 用数码标出图中与是同位角的所有角．

【解析】的两条边所在的直线是，，
若把看成是第三条直线，则有：
⑴截直线及，得的同位角为；
⑵截直线及，得的同位角为；
⑶截直线及，得的同位角为；
若把看成第三条直线，则有：
⑷截直线及，得的同位角为；
⑸截直线及，得的同位角为；
⑹截直线及得的同位角为．

能力提升

【例7】 ⑴ 如图1，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？
⑵ 如图2，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？
⑶ 如图3，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？

【解析】 ⑴ 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线所截成的内错角；与是直线、被直线所截成的同旁内角；
⑵ 图中，与是直线、被直线所截形成的内错角；
⑶ 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角.
【点评】 三线八角的判定技巧：两条直线被第三条直线所截，所形成的三线八角中，究其实质，可简单概括为“、、”型．
⑴“”型是找同位角的方法，即：如图，和就是一对同位角，现改变“”的方向，如图 等，各个图中与依然是同位角．
⑵“”型是找内错角的方法，如图， 和就是一对内错角，改变“”的方向后，各个图中和还是内错角，如等．
⑶“”型是找同旁内角的方法，如图，和就是一对同旁内角，改变“”的方向后，如 等，各个图中，和还是同旁内角．
⑴“”型中的同位角.如图.

⑵“”字型中的内错角，如图.

⑶“U”字型中的同旁内角.如图.



探索创新


【例8】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角？
⑵ 三条平行直线呢? 四条、五条呢？
⑶ 你发现了什么规律？
【解析】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角.
⑵ 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；
当有条平行线时，有对同位角，对内错角，
对同旁内角；
当有条平行线时，有对同位角，对内错角，
对同旁内角.
⑶ 当条线彼此平行时，被直线所截，即∥∥…∥，
则共有(，)、(，)、(，)、…(，)；(，)、(，)、…(，)、…
、、;
共对平行线，
每对平行线被所截，产生对同位角，对内错角，对同旁内角，
则共有对同位角，对内错角，
对同旁内角．


模块二 平行线



定 义
示例剖析
平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线. 用“”表示．
平行线之间的距离处处相等.
如，等．


平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

过直线外一点做，，则与重合．
平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行.

若，则．
平行线的性质：
⑴ 平行线不相交(根据定义)
⑵ 两条直线平行，同位角相等
⑶ 两条直线平行，内错角相等
⑷ 两条直线平行，同旁内角互补

若，则；
若，则；
若，则．
平行线的判定方法：
⑴ 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线)；
⑵ 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行；
⑶ 垂直于同一条直线的两条直线平行；
⑷ 同位角相等，两条直线平行；
⑸ 内错角相等，两条直线平行；
⑹ 同旁内角互补，两直线平行.

若，则；
若，则；
若，则．

【例9】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．以上都不对

⑵ 和是同旁内角，若，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D. 不能确定

⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）
A．∵，∴
B．∵，∴
C．∵，∴
D．∵，∴
(北京三帆中学期中)


⑷ 如图，直线，若，则（ ）
A．50°　　　B．40°　　　C．150°　　　D．130°

(北京101中期中)


⑸ 如图，直线，，为垂足，如果
，则的度数是（ ）
A． B． C． D．

(北京八中期中)

⑹ 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______

(北京八十中期中)


⑺ 如图，和互补，那么图中平行的直线有（ ）
A． B． C． D．
(北京十三分期中)


⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4


⑼ 如图，直线，，，那么的度数是 ．

(北京一六一中期中)

⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于 ．

(北京一六一中期中)
【解析】 ⑴D； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.


【例10】 ⑴ 下列说法中，不正确的是（ ）
A、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B、过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交
C、同一平面内的两条不相交直线平行
D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
⑵ 如图，于，于，平分．请找出与相等的角．

⑶ 如图，，且，那么图中与相等的角（不包括）
的个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

⑷ 在同一平面内有，，，…，共97条直线，如果，，，，，，…，那么与的位置关系是 .
【解析】 ⑴ 本题主要考察两直线平行的识别.根据平行公理及其推论可知A、D正确；
同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C正确；
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
而有无数条直线与这条直线相交，B不正确.
⑵ ∵ 平分（已知），∴（角平分线的定义）
∵，（已知），∴（垂直于同一直线的两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等），（等量代换）
∴与相等的角有和．
⑶ 本题考查平行线的性质，由图形找到与相等的角有，，，，
⑷ 寻找规律， ，，；，，，…，
4个一循环，，所以

【例11】 ⑴ 如图，,,请说明，请你完成下列填空，把解答过程补充
完整．
解：∵，
∴（ ）．
∵，
∴ （等量代换）．
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
（北京市海淀区期末）

⑵ 填空，完成下列说理过程.
如图，平分交于点，，如果，那么和相等吗？说明理由.
解：∵平分，
∴ （ ）
∵ °，且，
∴.
又∵，
∴. （ ）
∴.
（北京市朝阳区期末）
⑶ 如图,已知，，求度数．
解：∵（ 　 ），
∴ （ 　 ），
（ 　 ）
又∵（ 　 ）
∴ （ 　 ）
（ 　 ）
∴（ 　 ）
∴ （ 　 ）

【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等；
⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等
⑶ 已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；
两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义.
【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．

探索创新


【例12】 如图所示，已知，，，在上，且满足，平分．
⑴ 求的度数；
⑵ 若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
⑶ 在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．

【解析】⑴ ；⑵ ；⑶ 存在，．






实战演练


知识模块一 相交线 课后演练

【演练1】 已知：如图，、交于点，平分，．
⑴ 写出图中所有的对顶角、邻补角；⑵ 求．
【解析】 ⑴ 对顶角：与、与
邻补角：与、与、与、
与、与、与．
⑵ ∵平分（已知），∴（角平分线的定义）
∵（已知），∴
∵（对顶角相等），∴．


【演练2】 找出图中用数字表示的角中，所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是
哪两条直线被哪一条直线所截形成的．
【解析】 与是直线、被直线所截形成的同位角；
与是直线、被直线所截形成的内错角；
与是直线、被直线所截形成的同旁内角；
与是直线、被直线所截形成的同旁内角；
与是直线、被直线所截形成的同旁内角．


【演练3】 如图，直线、相交于点，是的平分线，
若，．判断把所分成的两个角
的大小关系并证明你的结论．
（西城区期末）
【解析】
证明：∵是直线上一点，∴，
∵，∴．
∵平分．
∴．
∵，∴
∴
∴
∴

知识模块二 平行线 课后演练

【演练4】 ⑴ 如图1，，，，则的度数是 ．
⑵ 如图2，直线与直线，相交．若，，则的度数是 ．
⑶ 如图3，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
图2

【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶ C．

A

B
C
D
E


【演练5】 ⑴ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的
条件： .



⑵ 如图，点在的延长线上，给出下列条件：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ .
能说明的条件有 .



A
E
B
G
C
D
M
H
F
1
2
3
⑶ 如图，直线分别与直线、相交于点、，
已知，平分交直线于点．
则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ⑴ ()等(答案不唯一)
⑵ ②④⑤； ⑶ A．


【演练6】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：
①∵（已知）
∴（ ）
②∵（已知）
∴（ ）
③∵（已知）
∴（ ）
（北京市东城区期末）


⑵ 如图：已知，，求证：① ②
证明：∵（ ）
∴（ ）（ ）（ ）
∴（ ）
又∵（ ）
∴ （ ）
∴（ ）（ ）（ ）



⑶ 如图，∵（已知），（已知）
又∵ （ ）
∴ （ ）
∴（ ）
【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；
② 内错角相等，两直线平行；
③ 同旁内角互补，两直线平行．
⑵ 已知，，；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；，；同位角相等，两直线平行．
⑶ 2；3；对顶角相等；1；；等量代换；内错角相等，两直线平行．