初一数学暑假讲义 第14讲.乘法公式（一）.教师版
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基础知识 | 示例剖析 |
常用公式(一)： ⑴平方差公式： ⑵完全平方公式： | |
常见变形： | |
公式的意义： 乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的．一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳和总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算，同时培养学生的求简意识． | 公式的特征： ⑴公式中的，既可以表示单项式，也可以表示多项式； ⑵乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用； ⑶这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜． |
【例1】 计算：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸
【解析】⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸
【例2】 计算：⑴ ；
⑵ ；
⑶
【解析】⑴ ；
⑵ 原式
⑶ 原式
【例3】 ⑴ 如果，那么的值是
⑵ 已知，则的值是_______
【解析】⑴ ∵，∴，∴
⑵ 4
【例4】 ⑴ 计算：
⑵ 计算：
⑶ 计算：
【解析】⑴ 原式
⑵ 原式
⑶ 设，两边乘以，得
∴，
即．
【备选】求的值．
【解析】观察原式的每一项，均可写成的形式，而1=2-1，
故原式．
【例5】 计算：有可能被到之间的两个整数整除，试求出这两个数．
【解析】
，这两个数是和．
【例6】 计算：⑴；⑵；⑶；
⑷；⑸；⑹
【解析】⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
【例7】 计算：⑴；⑵；⑶
【解析】⑴ ；
⑵
⑶ 原式
【例8】 ⑴ 若把代数式化为的形式，其中为常数，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
⑵ 如果多项式是一个完全平方式，那么的值为
⑶ 若是完全平方式，求的值．
⑷ 如果是完全平方式，试求的值．
【解析】⑴ 根据题意，可知选择A
⑵ 参看公式我们可以发现，学生在此极易少答案
⑶
即或
故或，解得：或
⑷ ，故．
【例9】 若整式是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式是
【解析】若把视为这一项，，
那么单项式可以是；
若把视为这一项，，那么单项式可以是；
若把视为这一项，，
那么可以是，但它不是单项式，所以此答案不符合题意．还可以是、．
【巩固】 若式子是完全平方式，请你写出所有满足条件的 ．
【解析】若把视为这一项，，此时可以为；
若把视为这一项，，此时可以为；
若把视为这一项，，此时可以为，
还可以是、．
【例10】 ⑴ 若，为有理数，且，则 ．
⑵ 若，为有理数，且，则 ．
【解析】⑴ ，
所以，则．
⑵ ，
所以，，．
【例11】 ⑴ 求的最大值；
⑵ 求的最小值．
【解析】⑴ ，故最大值为．
⑵ ，所以有最小值．
【例12】 已知无论，取何值，代数式的值都不小于代数式的值，
则a的最小值是 ．
（2012初一迎春杯复赛）
【解析】，
可得：
故
【备选】设，，若，则实数，满足的条件是 ．
【解析】由于，所以实数，满足的条件是或．
【备选】若、、、是整数，且，，
求证可表示成两个整数的平方和．
【解析】 ∵，，
∴
，
∵、、、为整数，∴，是整数，
故可以表示成两个整数的平方和．
知识模块一 平方差公式 课后演练
【演练1】 ⑴ 计算：________；
⑵ 计算 =________；
⑶ 已知 ， ，则_________；
⑷ 已知，则=_________
【解析】⑴ 0；⑵ ；⑶ ；⑷
【演练2】 已知可能被至之间的两个整数整除，求这两个整数．
【解析】
所求二整数为、．
知识模块二 完全平方公式 课后演练
【演练3】 计算：⑴；⑵；⑶
【解析】⑴ ；
⑵
⑶
【演练4】 计算：⑴；⑵
【解析】⑴ 原式
⑵ 原式
【演练5】 如果多项式是一个完全平方式，那么的值为
【解析】由完全平方公式的定义可知：
【演练6】 ⑴ 已知，求的值．
⑵ 证明：当，取任意有理数时，多项式的值总是正数．
【解析】⑴ 由，
知，，，所以
⑵ ，
所以当，取任意有理数时，多项式的值总是正数．
初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版，共7页。
初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版，共12页。
初一数学暑假讲义 第6讲.整式的乘除.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第6讲.整式的乘除.教师版，共9页。
