初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版
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基础知识 | 示例剖析 |
常用公式(二)： ⑴三元完全平方公式： ⑵立方差（和）公式： ⑶完全立方公式： | |
常见变形：
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【例1】 计算：⑴ ；⑵ ；⑶
填空：⑷ ；
⑸
【解析】⑴ 原式
⑵ 原式
⑶ 原式
⑷
⑸
【例2】 ⑴ 已知，则___________．
⑵ 已知三个数满足方程，求．
【解析】⑴ 解法一：由已知条件可知，，
故，．
解法二：由已知条件可知，，
故，．
⑵ 三式相加，得，所以，．
【例3】 ⑴ 若，，，则 ．
⑵ 已知，，求的值．
【解析】⑴
⑵ 由可知，，
故
．
【例4】 ⑴ 已知，且，则_________
⑵ 如果，，是三边的长，且，那么是( )
A． 等边三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 形状不确定
【解析】 ⑴ 由，可得;
则．
⑵ 已知关系式可化为，
即，
所以，故，，．即．选A．
【备选】 若，求．
【解析】 ∵，∴，
即，
亦即．
∴ ，
解得 ，，∴．
【例5】 计算：⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
填空：⑷ ；
⑸
【解析】⑴ ；
⑵
⑶
⑷ ；⑸ ；
【例6】 ⑴ 计算：
⑵ 计算：
⑶ 计算：
【解析】⑴ ．
⑵
；
⑶ ；
【例7】 ⑴ 已知，，求下列式的值： ；
⑵ 已知实数、满足，，求的值．
⑶ 若，求的值．
【解析】⑴
⑵ ，，．
⑶ 解法一：由，
故
从而可知，
解法二：由，
故
【例8】 若，，求证：
【证明】因为，所以，即；
因为，所以，于是，
即，所以或者；
于是，或者，；
无论哪种情况，都有
【例9】 ⑴ 已知，，求的值．
⑵ 已知，，求的值．
【解析】⑴ 由，得，即．
所以．
⑵ 由，
∴．
【例10】 ⑴ 若，则 ．
⑵ 已知，那么 ．
【解析】⑴ 令，，问题变为：，，求的值．
易知．
⑵ 令，，问题变为：，，求的值．
易知
【例11】 ⑴ 已知，则=_________．
⑵ 已知：，求的值．
【解析】⑴ ，
⑵ ∵，∴，即，
【例12】 已知：，求⑴ ；⑵ ；⑶ 的值．
【解析】⑴ ∵，∴，∴，即
⑵ ∵，∴，∴
⑶ ∵，∴，∴
【备选】若，则=__________．
【解析】
知识模块一 三元完全平方公式 课后演练
【演练1】 计算：⑴
⑵
⑶
【解析】⑴ ；
⑵ ．
⑶
【演练2】 已知，，，
求代数式的值．
【解析】由，，，可知，，，
故
【演练3】 若，，均为正数，且满足，
那么，，之间有什么关系？
【解析】 由 ，得
故
即 ，得 ,,
即 ，又由，，为正数，即得
知识模块二 立方公式 课后演练
【演练4】 ⑴ 填空：
⑵ 计算：
⑶ 计算：
【解析】⑴ ，；
⑵ ；
⑶
知识模块三 公式的应用 课后演练
【演练5】 已知，，则 ．
【解析】，所以，
．
【演练6】 已知，，求的值．
【解析】由于，得到；
于是：
【演练7】 已知：，求的值．
【解析】∵，∴，即，
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