2011年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

这是一份2011年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2011年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，则的值为                         （    ）A．1.             B．.           C．.          D．.2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为                                                                             （    ）A．5.             B．6.              C．7.              D．8.3．方程的解的个数为                                 （    ）A．1个           B．2个            C．3个            D．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有                           （    ）A．5组.          B．7组.          C．9组.            D．11组.5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则（    ）A．.     B．.        C．.         D．.6．已知，，，则的值为    （    ）A．1.          B．.         C．2.          D．.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC中，已知，，则        ．2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则       ．3．能使是完全平方数的正整数n的值为        ．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝        ．第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．            二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．           三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且．（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式．   第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.   二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且．求证：．           三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且＋＋＝＋＋）．求图象经过三点的二次函数的解析式．  第二试 （C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）如图，已知为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线．      三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.   2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2011-4-10说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，则的值为                         （    ）A．1.             B．.           C．.          D．.【答】B.由可得，即，即，即，所以．2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为                                                                             （    ）A．5.             B．6.              C．7.              D．8.【答】B.设△的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为．显然，于是由三边关系，得  解得．所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程的解的个数为                                 （    ）A．1个           B．2个            C．3个            D．4个【答】C.当时，方程为，即，解得，，均满足．当时，方程为，即，解得，满足．综上，原方程有3个解．.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有                           （    ）A．5组.          B．7组.          C．9组.            D．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为，所以正方形的边长不大于．由于；      ；    ； ；   ．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9．5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则（    ）A．.            B．.              C．.           D．.【答】 D.过F作AB的垂线，垂足为H．∵，，∴，，，又∵，∴，从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝，∴ ．6．已知，，，则的值为    （    ）A．1.          B．.         C．2.          D．.【答】C.由已知等式得，，，所以．于是，，，．所以 ，，，即。代入，得，解得．所以 ．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC中，已知，，则        ．【答】 。延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则，所以CA＝CD。作于点E，则E为AD的中点，故，.在Rt△BCE中，，所以，故 ．2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则       ．【答】 2．由已知，得，，，．过D作于点E，，则，即，得，所以或．又，所以．又，即，得．3．能使是完全平方数的正整数n的值为        ．【答】  11.当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数．若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数．当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝        ．【答】 24. 设，则．连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以．又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．在Rt△AEF中，由勾股定理得  ，即 ．设，由相交弦定理得 ，即，∴                         ①又∵ ，  ∴ ．又，∴ ，从而．在Rt△ACB中，由勾股定理得 ，即，∴ ．                     ②联立①②，解得．所以．第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．解  依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，则 两式相减，可解得．……………………5分设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以 ．                                               ……………………10分又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，则。又 ，两式相减，得 ．            ……………………15分若，则方程①无实根，所以，故．于是 ．又，解得 ．   ……………………20分二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．                  ……………………5分作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．          ……………………10分（2）作于点，则．又，∴ ，                   ……………………15分∴  Rt△≌Rt△，∴  ，又，所以，故，所以．                                                                 ……………………25分三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且．（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式．解  （1）因为，，所以，即．由，得．…………………5分又，从而有，即．                            ……………………10分（2）由，知是关于x的一元二次方程                     ①的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或．                               ………………………15分当时，方程①为，没有整数解．当时，方程①为，两根为．综合知：．                                  ………………………20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得．所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．………………………25分第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.  二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且．求证：．证明  由已知得 ，从而四点共圆，为直径．设为AC的中点，则为四边形ABCD的外接圆的圆心．………………………5分作于点，则M为BD的中点,所以＝＝，从而．    ………………………10分作于点，则．又，∴  ，                   ………………………15分∴  Rt△≌Rt△，∴，又，所以，所以，所以．………………………25分三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且＋＋＝＋＋）．求图象经过三点的二次函数的解析式．解  因为，，所以 ，即．由，得．…………………5分又，从而有，即．                            ………………………10分又，故是关于x的一元二次方程                     ①的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或．                                  ………………………15分当时，方程①为，没有整数解．当时，方程①为，两根为．综合知：．                                      ………………………20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得．所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．                                                                ………………………25分第二试 （C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）如图，已知为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线．证明  如图1，作于点，于点，于点，于点．  设，∵ ， ∴．          ………………………5分若，如图2，作，分别交于点，则△∽△，∴，∴ ，∴ ．若，则．若，同理可证．             ………………………15分∵，∴ ，∴．∵ ，∴，∴．          ………………………20分又，∴ ．又因为是的平分线，所以，∴ ．显然，即，∴ ，∴是的平分线．                            ………………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.